金融數(shù)學(第四章)第十講定價模型

現(xiàn)代金融數(shù)學理論與模型浙江大學數(shù)學系李勝宏shli@2023/2/41第四章資本資產(chǎn)定價模型與套利定價理論本章前言第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念第三節(jié)

資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論第四節(jié)套利定價模型第五節(jié)CAPM與APT模型應用實例練習題2023/2/42

本章前言資本資產(chǎn)定價模型與套利定價模型是當代資本市場中具有非常重要地位的資產(chǎn)定價理論。資本資產(chǎn)定價理論從Markowitz資產(chǎn)組合理論出發(fā)，從市場角度對資產(chǎn)定價進行研究，并且得到了非常簡潔易用、同時富有金融含義的資產(chǎn)組合定價公式。另一方面，套利定價理論從漸進無套利假設出發(fā)，利用無套利思想和相對定價方法，得到了多因子線性形式的定價公式。相比于資本資產(chǎn)定價模型，由于套利定價理論中不涉及到對市場組合有效性的檢驗，因此在實證中獲得了更多的支持。2023/2/43

本章前言本章的結(jié)構(gòu)如下：首先介紹資本資產(chǎn)定價模型的基本假設以及市場組合的概念，并基于上述假設給出資本資產(chǎn)定價模型的理論推導，隨后將討論模型產(chǎn)生出的一些常用概念和指標，例如Beta系數(shù)、Treynor比率等。然后，第三節(jié)將嘗試放寬資本資產(chǎn)定價模型的部分基本假設。接下來將介紹套利定價模型。首先介紹單因子模型與多因子模型，然后討論套利定價模型的基本假設并給出嚴格理論推導，并將套利定價模型與資本資產(chǎn)定價模型進行了全面的對比。作為資本資產(chǎn)定價模型和套利定價模型的應用實例，本章最后將介紹指數(shù)復制技術(shù)與Fama-French多因子模型。2023/2/44第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

作為第四章的開始，本節(jié)著重從理論角度討論資本資產(chǎn)定價模型。首先討論其基本假設以及與Markowitz資產(chǎn)組合理論的比較，隨后介紹資本資產(chǎn)定價模型中最重要概念——市場組合，并且將其與Markowitz資產(chǎn)組合理論建立聯(lián)系，最后將給出資本資產(chǎn)定價模型的理論證明。2023/2/45第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

4.1.1從Markowitz資產(chǎn)組合理論到資本資產(chǎn)定價模型第三章在Markowitz資產(chǎn)組合理論框架下，討論了投資者對于證券投資組合的最優(yōu)選擇和構(gòu)建問題，得到了經(jīng)典的前沿邊界，同時也給出了可行資產(chǎn)組合和前沿邊界資產(chǎn)組合收益率之間的關(guān)系。特別地，在存在無風險資產(chǎn)的情形中，任何可行資產(chǎn)組合的超額期望收益率都等于一個前沿資產(chǎn)組合的超額期望收益率乘以相應的Beta系數(shù)。這樣一來，任意可行資產(chǎn)組合的定價都可以利用前沿資產(chǎn)組合給出，這無疑大大簡化了資產(chǎn)組合的定價問題。2023/2/46第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

但上述定價方法也有其一定的局限性。首先，由于不同投資者對各基礎資產(chǎn)的收益率和方差的估計可能不同，因此上述方法得出的定價公式只是對單個投資者成立。同時，定價公式中的前沿資產(chǎn)組合選擇有很大的任意性：一方面，并非所有前沿資產(chǎn)組合的信息在市場上都能得到；另一方面，選擇不同的前沿資產(chǎn)組合便可能得到不同的定價公式，因此上述方法得到的定價公式缺少統(tǒng)一性。最后，也是Markowitz資產(chǎn)組合理論固有的局限性之一，就是模型中包含很多假設，并且其中不少假設都缺乏其合理性和實證支持。2023/2/47第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

為了解決上述問題，Markowitz的學生Sharpe、Lintner和Mossin在經(jīng)典資產(chǎn)組合理論的基礎上進一步地研究了市場均衡條件下資產(chǎn)收益和風險之間的關(guān)系，得到了著名的資本資產(chǎn)定價模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）?？梢哉f，資本資產(chǎn)定價模型是現(xiàn)代金融學的核心內(nèi)容，它具有簡潔的形式和合理的金融意義，在理論和實際應用意義上均作出了重大的貢獻，被推崇為體現(xiàn)了證券市場本質(zhì)的經(jīng)典經(jīng)濟模型，其中的一些概念時至今日仍在證券行業(yè)廣泛使用。2023/2/48第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

CAPM相對于Markowitz資產(chǎn)組合理論最為關(guān)鍵的改進之一，是它從市場的角度來研究資產(chǎn)組合的定價。CAPM模型中引入了市場組合這一反映整個市場投資選擇的概念，并根據(jù)市場組合是前沿組合這一推論，利用市場組合期望收益率及相應Beta系數(shù)給出市場中資產(chǎn)組合的定價。同時，在CAPM模型中得到的一些量，例如Beta系數(shù)、Sharpe指標等有著合理的經(jīng)濟解釋。然而，CAPM模型也有著其局限性。其中最為關(guān)鍵的一點就是市場組合均方有效性檢驗的問題。研究表明，CAPM模型的檢驗等價于市場組合均方有效性的檢驗，而后者是不可行的。因此，CAPM缺乏實證證據(jù)支持。同時，在現(xiàn)實市場中，市場組合的可觀測性也存在問題。此外，建立在Markowitz資產(chǎn)組合理論上的CAPM模型也同樣有著假設不太合理的問題。2023/2/49第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

為了避開CAPM模型中市場組合有效性檢驗的問題，Ross（1976）提出了套利定價理論（ArbitragePricingTheory，APT）。從模型假設來看，套利定價理論采用了基于無套利假設的相對定價法，而非Markowitz資產(chǎn)組合理論以及CAPM模型中的均衡定價法，因此，APT模型放松了CAPM模型中一些必須的假設。從結(jié)論來看，APT是一種多因子線性定價模型，它在形式上與CAPM模型類似：利用一些“因子”的線性表示給出資產(chǎn)組合的定價。此時的“因子”不必再是市場組合期望收益率，因此APT模型不再需要對市場組合的有效性進行檢驗，從而在實證檢驗方面取得了較大的進展。2023/2/410第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

4.1.2資本資產(chǎn)定價模型的基本假設CAPM模型所得到的簡潔的定價公式，離不開一系列嚴格的假設條件。由于CAPM模型建立在Markowitz資產(chǎn)組合理論基礎上，其中一部分假設條件是Markowitz資產(chǎn)組合理論假設的繼承；另一部分假設是CAPM模型所特有的假設，它們使CAPM模型在資產(chǎn)組合定價方面相對于Markowitz資產(chǎn)組合理論更上一個臺階。本節(jié)將給出并介紹這些基本假設。2023/2/411第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

假設1～4繼承了3.2.3中Markowitz資產(chǎn)組合理論的假設，為了方便起見，此處重新敘述如下：假設1市場中有n種風險資產(chǎn)，它們的收益率分布對于每個交易個體已知（個體可以根據(jù)相關(guān)信息給出估計），并且它們的均值方差存在，均值不全相等，協(xié)方差矩陣非退化。假設2市場上資產(chǎn)的交易不存在摩擦，即不存在任何形式的交易成本，包括交易費用與市場流動性風險造成的交易成本。并且假設市場上允許對資產(chǎn)進行賣空，即允許資產(chǎn)投資權(quán)重為負數(shù)。另外，還假設資產(chǎn)無限可分，即可以買入或者賣出任意小份額的資產(chǎn)。市場是完全競爭的，單個個體的投資行為不會影響資產(chǎn)的市場價格。假設3市場交易個體按照均值-方差準則進行投資，即其期望效用函數(shù)完全或者近似地用資產(chǎn)收益率的均值方差表示。并且假設投資個體行為遵循二階隨機占優(yōu)，即在期望收益率相同的情況下偏好風險小的資產(chǎn)（組合），在風險相同的情況下偏好期望收益率大的資產(chǎn)（組合）。假設4所有市場交易個體均有相同的單期投資期限。2023/2/412第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

假設5～6為經(jīng)典CAPM模型所必須附加的假設。假設5市場中存在無風險資產(chǎn)，并且其市場買賣價格相等。假設6所有市場交易個體對市場中所有資產(chǎn)收益率分布的看法一致，即任一資產(chǎn)收益率的均值與協(xié)方差在所有個體看來都是相同的。2023/2/413第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

經(jīng)典的CAPM模型將資產(chǎn)組合的期望收益率利用無風險資產(chǎn)收益率和市場組合收益率線性表示，而假設5恰好保證了無風險資產(chǎn)的存在性。當然，后面將會放松這一假設，在不存在無風險資產(chǎn)的情況下給出類似的結(jié)論——零Beta-資本資產(chǎn)定價模型。假設6確保所有個體的資產(chǎn)組合前沿邊界和有效前沿邊界均相同，也就是說，市場中存在唯一的前沿邊界和有效前沿邊界。這一假設在一定程度上將Markowitz資產(chǎn)組合理論對投資個體的組合選擇特征刻畫推廣到宏觀市場層面，使得CAPM模型得到了適用于整個市場而不僅僅是單個個體的結(jié)論。最后再來看一下假設3。投資特征滿足假設3的個體一般被稱為“Markowitz型投資者”。由于Markowitz資產(chǎn)組合理論模型考慮的最優(yōu)問題是在期望收益率一定時使方差最?。ɑ蛘叻讲钜欢〞r使期望收益率最大），因此Markowitz資產(chǎn)組合理論所給出的是對于Markowitz型投資者的組合投資決策刻畫。在CAPM模型的基于Markowitz資產(chǎn)組合理論的推導中，假設3當然是必須的。但后面將會說明，假設3也可以放松：投資者可被假設為更為一般的“二基金分離性投資者”，同時，CAPM模型也可以在二基金分離的假設下給出。2023/2/414第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

4.1.3市場組合從本章開頭的介紹可以知道，CAPM模型利用資產(chǎn)組合和與某個表現(xiàn)市場投資選擇的“市場組合”之間的Beta系數(shù)來得到資產(chǎn)組合的期望收益率。因此，在正式討論CAPM模型之間，本節(jié)將首先引入市場組合的概念，并得到市場組合的一些重要性質(zhì)。2023/2/415第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

假設市場中共有n+1種資產(chǎn)

，其中

是風險資產(chǎn)，B為無風險資產(chǎn)。記

為市場中風險資產(chǎn)i的總投資價值在市場中風險資產(chǎn)的總投資價值中所占的比例，

。則市場組合（MarketPorfolio）定義為如下的投資組合m

：m

只包含風險資產(chǎn)，并且風險資產(chǎn)i的投資比例為

。在下文中，市場組合m

也用其收益率

得表示。

2023/2/416*[29]中給出了市場組合的另一種定義形式，那里假設市場中只有風險資產(chǎn)，并定義市場組合為這樣一種投資組合，它的權(quán)重向量為市場中各風險資產(chǎn)投資量占市場總財富的比率組成的向量。不難看出，這種定義方式和本節(jié)中的定義方式本質(zhì)相同。第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

假設市場中共有N

個投資個體，記

為個體j的初始財富，

為個體j風險資產(chǎn)投資額在初始財富中所占比例（假設大于0），

為個體j投資于資產(chǎn)i財富額占風險資產(chǎn)投資額的比例，

。假設市場中初始總財富為

，并且風險資產(chǎn)總投資額在初始總財富中所占比例為

，則下式成立：2023/2/417第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

這是因為等式兩邊均表示市場中風險資產(chǎn)i的總投資量。因此也就是說市場組合的權(quán)重是個體投資組合權(quán)重的凸組合，而該凸組合的權(quán)重即為每個個體風險資產(chǎn)投資額占市場風險資產(chǎn)投資總額的比例。2023/2/418第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

在3.3節(jié)對于存在無風險資產(chǎn)的前沿邊界的討論中，定理3.3.2表明，當無風險收益率

時，無風險前沿邊界與風險前沿邊界存在唯一的切點e，并且將該切點組合稱為“市場組合”。下面的定理說明，在一定條件下，切點e便是此處定義的市場組合。引理4.1.1在假設1～6下，如果市場處于均衡狀態(tài)，并且市場中所有風險資產(chǎn)都有嚴格正的供給量，則

2023/2/419第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

引理4.1.1的結(jié)果要求風險資產(chǎn)組成的最小方差組合的收益率A/C要比無風險資產(chǎn)高。直觀來看，對于風險厭惡投資者來說，這個要求是合理的：最小方差風險資產(chǎn)組合的風險并不為零，既然承擔了風險，其收益率應該要比無風險資產(chǎn)高。同時，該引理條件要求市場中所有風險資產(chǎn)都有嚴格正的供給量，這符合現(xiàn)實情況。而由于Markowitz資產(chǎn)組合理論和CAPM模型均在均衡市場框架中得到，因此該引理中市場均衡的條件也不過分。2023/2/420第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

引理4.1.1證明：首先，由于假設1～6成立，根據(jù)第三章的結(jié)論可知，市場上所有個體均會在同一條有效前沿邊界上選擇投資組合進行投資。如果

，根據(jù)定理3.3.2，所有個體的投資策略均為將所有財富投資于無風險資產(chǎn)

，同時持有多頭的自融資組合

，且根據(jù)(3.3.4b)，

只由風險資產(chǎn)組成。如此，市場上風險資產(chǎn)的凈需求量為0。然而條件中要求市場中所有風險資產(chǎn)都有嚴格正的供給量，因此市場中風險資產(chǎn)供大于求，這便與市場處于均衡狀態(tài)的條件相矛盾。如果

，根據(jù)定理3.3.2，所有個體的投資策略均為賣空風險組合

，并買入無風險資產(chǎn)。由于條件要求市場中所有風險資產(chǎn)都有嚴格正的供給量，因此與上一情形相同，市場必然無法處于均衡狀態(tài)，因此與條件相矛盾。綜上，唯一可能的情況是

。□2023/2/421第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

2023/2/422第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

根據(jù)定理3.3.2，當

時，無風險前沿邊界和風險前沿邊界切點e存在，且處于有效前沿邊界上。又根據(jù)假設6，市場中存在唯一無風險前沿邊界和唯一風險前沿邊界，因此切點e對應的切點組合

在市場中存在唯一。下面的定理便給出了切點組合

和市場組合的關(guān)系。定理4.1.2當

時，無風險前沿邊界和風險前沿邊界的切點e對應著市場組合。2023/2/423第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

證明：根據(jù)定理3.3.2，當

時，有效邊沿邊界上的投資策略均可表示為無風險資產(chǎn)

和切點組合

的仿射組合。記

為個體j投資于其切點組合的權(quán)重，因此個體投資于風險資產(chǎn)

的權(quán)重為

。記

為風險資產(chǎn)i在切點組合中所占權(quán)重。因此，個體j

投資于風險資產(chǎn)i的財富為

，市場中資產(chǎn)i總投資量為

，而市場中風險資產(chǎn)的總投資量為

。根據(jù)市場組合的定義，因此切點組合

即為市場組合

。上述論證中還附帶得到了一個結(jié)論：市場組合一定為有效前沿組合。這個結(jié)論在后續(xù)推導中將起到重要作用。2023/2/424第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

4.1.4資本資產(chǎn)定價模型的理論推導在證明了市場組合是有效前沿邊界組合后，CAPM模型定價公式的推導能夠很方便地完成。定理3.3.3說，對于任意可行組合

和任意前沿組合

，其期望收益率有如下關(guān)系：由于市場組合

是前沿組合，用其代替

，便得到2023/2/425第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

或者等價地其中(4.1.3)便是CAPM模型的主要結(jié)論——CAPM定價公式，而

便是著名的Beta系數(shù)。2023/2/426第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

下面先對CAPM定價公式(4.1.3)進行初步的觀察。首先，從形式上看，CAPM定價公式表明，

的超額期望收益率

表示為市場組合

的超額期望收益率

乘以一個常數(shù)

。如果市場組合可觀察，它的期望收益率

和

的信息已知，為了確定任何可行資產(chǎn)

的期望收益率，唯一需要確定的便是

和市場組合

的協(xié)方差。還有一點值得注意的是，由于假設

，而市場組合處在有效前沿邊界上，因此

。所以CAPM定價公式表明：資產(chǎn)組合q與市場組合之間的Beta系數(shù)越大，即資產(chǎn)組合q收益率與市場組合收益率相關(guān)性越大，其期望收益率也就越大。2023/2/427第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

(4.1.3)給出的是可行資產(chǎn)期望收益率與市場組合期望收益率之間的關(guān)系。事實上，可行資產(chǎn)的收益率

和市場組合收益率

之間也有類似的關(guān)系。定理4.1.3對于任何可行資產(chǎn)

，下式成立：其中特別地，若

是前沿資產(chǎn)，則且2023/2/428第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

證明：根據(jù)定理3.3.3，對于任意可行資產(chǎn)

，可做如下不相關(guān)的分解其中根據(jù)定理3.3.1，

是前沿資產(chǎn)組合，同時，前沿邊界可以由任意兩個前沿組合的仿射組合生成，不妨取這兩個前沿組合為f

和

。因此2023/2/429第一節(jié)資本資產(chǎn)定價模型基本結(jié)論與推導

由于

與任意前沿邊界資產(chǎn)的協(xié)方差均為0，故

。上式兩邊取期望，得到將(4.1.7)與(4.1.3)進行比較，可以知道此即(4.1.5)。注意到前沿邊界可由

和

生成，(4.1.6)式類似可證。根據(jù)定理3.3.2，有效前沿邊界上的投資策略均買入非負數(shù)量的市場組合，并且買入或者賣空無風險組合，因此2023/2/430第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念第一節(jié)中在Markowitz資產(chǎn)組合理論框架下得到了CAPM模型定價公式?？梢钥吹?，CAPM定價公式形式上非常簡單，同時也具有合理的經(jīng)濟、金融解釋。本節(jié)通過定義一些重要而常見的概念，從這個簡單的定價公式中發(fā)掘更多的經(jīng)濟、金融意義。2023/2/431第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念4.2.1資本市場線與Sharpe比率回顧3.3節(jié)，存在無風險資產(chǎn)情形下的有效前沿邊界在

平面上是一條從

點出發(fā)，斜率為

，經(jīng)過點e的射線，其方程為這條射線便稱為資本市場線（CapitalMarketLine，CML）2023/2/432第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念(4.2.1)左邊的分式稱為Sharpe比率（SharpeRatio），它被用來衡量資產(chǎn)組合的風險效益，也就是承擔單位風險所能帶來的超額收益。一個風險厭惡的投資者希望選擇Sharpe比率更大的資產(chǎn)組合，因此資產(chǎn)組合的“優(yōu)劣”性在一定程度上便可用Sharpe比率來衡量。不難看出，資本市場線上的任意資產(chǎn)組合的Sharpe比率等于常數(shù)

。因此，無風險有效前沿邊界的“有效”性便體現(xiàn)在，其上的任何資產(chǎn)組合的Sharpe比達到最大值，其風險效益也越大；任何可行資產(chǎn)的Sharpe比率均不會大于有效前沿邊界資產(chǎn)的Sharpe比率。2023/2/433第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念由于市場組合

位于資本市場線上，而資本市場線上的Sharpe比率為常數(shù)，因此對于任意位于資本市場線上的投資組合

，成立也即2023/2/434第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念其中(4.2.2)在形式上與CAPM定價公式(4.1.3)相似。事實上，由于

是有效前沿資產(chǎn)，根據(jù)(4.1.6)式，同時

，因此即(4.2.2)中的

就是Beta系數(shù)。但需要注意的是，此處的(4.2.2)只對前沿邊界組合

成立，因此并不是真正意義上的CAPM公式。2023/2/435第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念4.2.2市場風險與Beta系數(shù)4.1.4節(jié)給出了Beta系數(shù)的數(shù)學定義，本節(jié)將進一步刻畫Beta系數(shù)的性質(zhì)與其在市場風險衡量中的實際意義。在(4.1.5)兩邊求方差，得到

這個等式表明，資產(chǎn)組合收益率的風險可以分解為兩部分。第一部分正比于市場組合的風險

，它的存在與整個市場的風險相關(guān)，因此稱為資產(chǎn)（組合）的系統(tǒng)性風險（SystematicRisk）；另一部分是2

，它只與資產(chǎn)組合自身相關(guān)，稱為資產(chǎn)（組合）的非系統(tǒng)性風險（IdiosyncraticRisk）。2023/2/436第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念從Markowitz資產(chǎn)組合理論可以知道，若資產(chǎn)組合經(jīng)過合理配置，其風險可能比單個基礎資產(chǎn)的風險更小，這是因為通過組合，部分“反向”的風險得到對沖。下面利用(4.2.4)對這一對沖的過程進行進一步的研究。設1 為基礎資產(chǎn)，它們通過權(quán)重

構(gòu)成資產(chǎn)組合

。根據(jù)(4.1.5)，因此組合的風險為2023/2/437第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念注意到，即Beta系數(shù)關(guān)于單個下標有線性性。因此(4.2.5)變?yōu)橛捎?/p>

，不難看到，若用標準差來表示風險大小，組合的系統(tǒng)性風險其實是基礎資產(chǎn)的系統(tǒng)風險的加權(quán)平均。2023/2/438第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念下面再來看一下非系統(tǒng)性風險。假設各基礎資產(chǎn)的非系統(tǒng)性風險因素

互不相關(guān)并且一致有界，即則在特殊情形

下，2023/2/439第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念即當組合中基礎資產(chǎn)數(shù)量n足夠大時，組合的非系統(tǒng)性風險能夠任意小，即組合的非系統(tǒng)性風險能通過增加組合成分數(shù)量來減小。在一般情形下，只要配置組合使其中基礎資產(chǎn)足夠“分散”，也即比例足夠均勻使得則上述結(jié)論依然成立。因此，組合的非系統(tǒng)性風險其實是一種可分散風險（DiversifiableRisk）。與非系統(tǒng)性風險不同，系統(tǒng)性風險一般無法通過組合的分散化配置來消除。因此，系統(tǒng)性風險也稱為不可分散風險（UndiversifiableRisk）。2023/2/440第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念通過上述討論，(4.2.4)表明：組合的Beta系數(shù)衡量了系統(tǒng)性風險在資產(chǎn)組合風險中所占比例。在相同的資產(chǎn)組合風險之下，Beta系數(shù)越大，則資產(chǎn)組合的風險更多是由市場因素引起的；Beta系數(shù)越小，則資產(chǎn)組合的風險更多是由非系統(tǒng)性的個體因素造成的。另一方面，Beta值越大，說明資產(chǎn)組合的價格波動性相比于市場越大；Beta值越小，說明資產(chǎn)組合的價格波動性相比于市場越小。2023/2/441第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念4.2.3證券市場線與Treynor比率4.2.2節(jié)從風險角度考察了Beta系數(shù)的含義，而本節(jié)將從收益率角度來研究Beta系數(shù)的意義。對于任意資產(chǎn)組合

，由于Beta系數(shù)表示了資產(chǎn)組合的超額期望收益率與市場組合期望收益率之間的比例系數(shù)。注意到2023/2/442第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念故當

與

正相關(guān)時，Beta系數(shù)為正，

的期望收益率大于無風險收益率；反之，當

與

負相關(guān)時，Beta系數(shù)為負，

的期望收益率小于無風險收益率。這表明，資產(chǎn)組合要獲得超過無風險收益率的收益率，它的收益率變化方向必須和整個市場宏觀變化方向“相一致”；“逆市場而行”的資產(chǎn)組合無法獲得高于無風險資產(chǎn)的期望收益率。2023/2/443第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念同時，4.2.2節(jié)的討論表明，Beta系數(shù)衡量了系統(tǒng)性風險對資產(chǎn)組合風險的影響。則CAPM定價公式說明，由于組合承擔了系統(tǒng)性風險，組合的收益率會比無風險收益率要高，其差額便是超額收益率

。也就是說，超額收益率在某種意義上是對組合所承擔的系統(tǒng)性風險的風險補償（RiskPremium）。當然從CAPM定價公式可以看到，組合的非系統(tǒng)性風險并無相應風險補償。一種直觀的理解是：資產(chǎn)（組合）的非系統(tǒng)性風險理論上是可以通過分散而基本消除的，因此并不會被市場所承認，也不存在由此而來的補償。2023/2/444第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念由于

，組合Beta系數(shù)

越大，資產(chǎn)組合

的（超額）期望收益率就越大，風險補償也就越大；Beta系數(shù)與風險補償間存在正關(guān)系。將組合期望收益率和Beta系數(shù)的這種關(guān)系在

坐標上表示，便得到了如下的證券市場線（SecurityMarketLine，SML）。2023/2/445第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念根據(jù)前面的討論，證券市場線有正的斜率在實際應用中，等式右端的量被稱為Treynor比率（TreynorRatio），有時也稱為收益-波動率比率（Reward-to-VolatilityRatio）。Treynor比率衡量了風險補償與組合系統(tǒng)性風險的關(guān)系。Treynor比率越大，單位系統(tǒng)性風險帶來的風險補償越大。2023/2/446第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念Treynor比率和Sharpe比率都衡量了風險補償與組合風險之間的關(guān)系，但是Treynor比率中只考慮了系統(tǒng)性風險，而Sharpe比率中還包括了非系統(tǒng)性風險。對于非系統(tǒng)性風險被完全分散的組合來說，兩個比率是相同的。在實際應用中，Treynor比率和Sharpe比率均可為資產(chǎn)組合的評級提供標準，均為非常重要的指標。但Treynor比率只對完全分散的組合，或者沒有非系統(tǒng)性風險的組合（例如國庫券組合）有效，對與包含非系統(tǒng)性風險的組合，Treynor比率強調(diào)了其中系統(tǒng)風險因素，而會忽視其中的非系統(tǒng)風險因素。Sharpe比率和Treynor比率各有千秋：Sharpe比率的適用性更廣，但如果需要著重評估系統(tǒng)性風險，Treynor比率更為合適。2023/2/447第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念4.2.4Alpha指標CAPM模型給出了資產(chǎn)組合的理論期望收益率，但實際市場中，資產(chǎn)組合的收益率常常偏離CAPM給出的理論期望收益率。該偏離程度可以用Jenson的Alpha指標（Jensen’sAlpha）進行衡量。Alpha指標定義為如果資產(chǎn)有正的a值，說明資產(chǎn)的實際收益率比經(jīng)過風險調(diào)整的期望收益率還要高。因此，投資者們通常會尋找具有較高a值的組合進行投資。2023/2/448第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)概念然而，實際市場中具有正的Alpha指標的資產(chǎn)組合普遍存在嗎？許多學者認為，現(xiàn)實市場的有效性足以保證正Alpha資產(chǎn)組合不會重復出現(xiàn)，因為投資者的大量投資會導致該資產(chǎn)組合的價格上升從而收益率下降。然而RussWermers對于共同基金市場的研究表明，由于投資者（基金經(jīng)理）們的才能，投資組合往往有正的Alpha。當然，在扣除交易費用后，Alpha指標也常常會是負值。在現(xiàn)實應用（例如資產(chǎn)組合評估）中，Jensen的Alpha指標、Sharpe比率和Treynor比率往往結(jié)合在一起使用。Alpha指標的典型應用之一便是Alpha套利，它的主要思路為利用正a值組合與市場組合進行對沖，在部分消除市場風險的同時獲取正的收益。2023/2/449第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論第一節(jié)在一些假設和推導下，得到了經(jīng)典的CAPM模型。模型具有簡潔的結(jié)論，并且富有深刻的經(jīng)濟學含義。但不容忽視的一點是，CAPM模型是建立在一系列非常嚴格的模型假設上的，例如，假設3要求投資個體根據(jù)均值-方差準則進行投資決策；同時，第一節(jié)的推導中假設無風險資產(chǎn)存在。本節(jié)中將嘗試放寬這兩條假設。此外，本節(jié)最后還將對CAPM模型中的市場組合進行討論，并且給出在實證中市場組合或其替代組合的尋找方法。2023/2/450第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論4.3.1資本資產(chǎn)定價模型的二基金分離證明假設3對投資個體的效用函數(shù)的形式作出了假定，要求其（近似）存在資產(chǎn)的均值和方差表示，同時也假定投資者的決策特征服從均值-方差準則。然而，在實際中要得到個體效用函數(shù)的形式并非易事，而進一步要求其與資產(chǎn)收益率均值方差相關(guān)則更為困難。因此假設3事實上非常嚴格。一個隨之而來的問題就是：能否將假設3替換為一個更為寬松的假設，而仍能完全或者基本得到經(jīng)典CAPM模型的結(jié)論？回憶第二章中隨機占優(yōu)的概念，它有如下的思想：放棄對個體效用函數(shù)具體形式的假設，轉(zhuǎn)而研究具有某些決策特征的個體在特定形式的隨機計劃子集上的偏好關(guān)系。受其啟發(fā)，一個自然而然的想法是將假設3放松，只假設個體部分的決策特征（例如風險厭惡），同時利用隨機占優(yōu)方法來刻畫具有這樣決策特征的個體在資產(chǎn)中的偏好。本節(jié)便利用這條思路，在保持其他假設的同時，對假設3進行放松。2023/2/451第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論回憶4.1節(jié)CAPM模型的推導中，有三個關(guān)鍵點。第一點為前沿邊界的存在性，這可以由資產(chǎn)收益率協(xié)方差矩陣非退化的條件得到；第二點為前沿邊界能夠由兩個前沿資產(chǎn)仿射組合生成，從而由第三章的定理3.3.3，任何可行組合與前沿組合和無風險組合的期望收益率之間滿足關(guān)系(4.1.2)；第三點為市場組合處在前沿邊界上。如果去掉假設3，則從第三章的結(jié)論不難看出，上述第一點和第二點仍然成立，但第三點便不再成立，因為投資者甚至可能不會偏好前沿邊界組合。2023/2/452第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論為了后面敘述方便，首先給出二基金分離的定義。如果市場中存在兩個資產(chǎn)組合

和

，使得對于任何資產(chǎn)組合q，均存在實數(shù)

使得對于所有凹函數(shù)u

，則稱資產(chǎn)收益率向量

具有二基金分離（Two-FundSeparation）性質(zhì)。2023/2/453第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論根據(jù)第二章二階隨機占優(yōu)的定義，二基金分離也有如下等價表述：如果市場中存在兩個資產(chǎn)組合

和

，使得對于任何資產(chǎn)組合q，均存在實數(shù)

滿足由上述定義可知，分離基金

和

的期望收益率必不相等。如若不然，

，則根據(jù)第二章定理2.4.2，(4.3.2)蘊含著

2023/2/454第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論也就是說，所有可行資產(chǎn)組合q的期望收益率均相等。這與假設1矛盾。直接利用上述定義來判斷一組收益率向量是否具有二基金性質(zhì)是有一定困難的。下面的定理給出了二基金分離性質(zhì)的充分必要條件，簡化了二基金分離性質(zhì)的判斷。在敘述定理前，先簡要回顧一些基本結(jié)論。類似定理4.1.3的證明，可以得到對于任意可行資產(chǎn)組合

，成立其中e為切點組合，

。利用此條性質(zhì)，便有下述定理成立：2023/2/455第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論定理4.3.1資產(chǎn)收益率向量

滿足二基金分離性質(zhì)的充要條件為證明：可參見[29]?！醮送?，下面的定理4.3.2表明，分離基金一定是前沿邊界資產(chǎn)組合。2023/2/456第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論定理4.3.2若資產(chǎn)收益率向量具有二基金分離性質(zhì)，則分離基金

和

是前沿資產(chǎn)組合。證明：假設不然，則不妨設

不是前沿資產(chǎn)組合，因此存在前沿資產(chǎn)組合

使得由于

和

是分離基金，對于可行資產(chǎn)

，存在實數(shù)

使得2023/2/457第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論根據(jù)第二章定理2.4.2后的討論，上式蘊含著由于

，由(4.3.6)和(4.3.4)知

。因此(4.3.7)變?yōu)?/p>

這與(4.3.5)矛盾?！?023/2/458第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論在上述兩個定理的基礎上，根據(jù)本節(jié)開始的思想，現(xiàn)將假設3換為如下的假設：假設3’市場交易個體風險厭惡，同時資產(chǎn)收益率向量滿足二基金分離性質(zhì)。假設3’表明，市場中存在兩個在二階隨機占優(yōu)意義下“最優(yōu)”的資產(chǎn)組合

和

。同時由于市場中交易個體均為風險厭惡，故從直觀上看，這兩個最優(yōu)資產(chǎn)組合的仿射組合要“優(yōu)于”市場中其他的資產(chǎn)組合。因此市場中的個體在面臨資產(chǎn)選擇問題時，最優(yōu)的投資組合一定是

和

的仿射組合。由于

和

是前沿組合，因此個體一定會選擇前沿資產(chǎn)進行投資。2023/2/459第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論在一定的條件下，假設3’相比于原假設3確實更為寬松。首先，假設3蘊含著個體是風險厭惡的，同時下面的定理說明，在收益率分布的正態(tài)性假設下，資產(chǎn)收益率向量具有二基金分離性質(zhì)。因此，假設3完全符合假設3’的條件。定理4.3.3在假設1、2和假設4-6下，若

均服從正態(tài)分布，則資產(chǎn)收益率向量滿足二基金分離性質(zhì)。2023/2/460第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論證明：類似(4.3.3)式，對于所有

，成立

由于

均服從正態(tài)分布，作為它們的線性組合，

和

也是正態(tài)分布變量。又由于

，即

與

線性無關(guān)，因此

與

相互獨立，故

利用定理4.3.1便可得證?！?023/2/461第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論不難看出，定理4.3.3事實上還證明了在一定條件下分離基金的存在性。那么一個自然而然的問題是：如果兩個分離基金存在，它們是唯一的嗎？回憶資產(chǎn)組合理論中，“最優(yōu)”的前沿邊界可以由其上的兩個資產(chǎn)組合仿射生成，而這兩個資產(chǎn)組合不是唯一的。因此直覺表明，在二基金分離中的兩個分離基金的選擇同樣不是唯一的。下面的定理證明了這個直覺。2023/2/462第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論定理4.3.4若資產(chǎn)收益率向量滿足二基金分離性質(zhì)，那么任意兩個前沿組合都可以作為分離基金。證明：任取前沿組合

和

，根據(jù)定理3.3.1，

和

可以仿射生成前沿邊界，特別地，可以生成作為前沿組合的分離基金

和

，因此存在實數(shù)

和

使得2023/2/463第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論根據(jù)定義，分離基金

和

滿足對于任何資產(chǎn)組合

，均存在實數(shù)

使得對于所有凹函數(shù)u

，成立上式說明，前沿組合

和

滿足對于任何資產(chǎn)組合q，均存在實數(shù)

使得對于所有凹函數(shù)u，2023/2/464第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論因此

和

也可以作為兩個分離基金?！醺鶕?jù)上面的論述不難看到，當資產(chǎn)收益率向量滿足二基金分離性質(zhì)時，無風險資產(chǎn)和切點組合e

也可以作為兩個分離基金，因此個體始終會選擇它們進行投資。類似定理4.1.2的證明，不難得到，當

時，無風險前沿邊界和風險前沿邊界的切點e對應著市場組合。既然市場組合位于前沿邊界上，利用4.1.4節(jié)中的證明，可以同樣得到(4.1.3)式。也就是說，在將假設3替換為假設3’后，在二基金分離的框架下，CAPM定價公式仍然成立。這也便完成了本小節(jié)的目標。2023/2/465第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論4.3.2不存在無風險資產(chǎn)的資本資產(chǎn)定價模型觀察4.1節(jié)得到的經(jīng)典CAPM定價公式(4.1.3)，其中包含了無風險利率

項。這說明，上述定價公式離不開假設5；若市場中不存在無風險資產(chǎn)，則上述定價公式便不再成立。為此，本部分將討論在去除假設5后，經(jīng)典的CAPM模型所需要進行的改變。2023/2/466第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論首先回憶第三章中的結(jié)論。當市場中不存在無風險資產(chǎn)時，前沿邊界不再是兩條射線，而是在標準差-期望平面中的一支雙曲線，這支雙曲線的上半部分是有效前沿邊界。根據(jù)第三章定理3.2.3，對于任意可行資產(chǎn)q，對于任意前沿資產(chǎn)p，它們的期望收益率有如下關(guān)系式：其中zc(p)是資產(chǎn)組合p的零協(xié)方差資產(chǎn)組合，2023/2/467第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論此外，在假設1～假設4下，投資者只會選擇在有效前沿邊界上進行投資。通過類似4.1.3節(jié)的論證（在(4.1.1)中將

和各

均取1），不難得到，在不存在無風險資產(chǎn)的情形下，市場組合仍然是個體最優(yōu)投資組合的凸組合。根據(jù)第三章定理3.2.1，有效前沿資產(chǎn)組合的凸組合仍然是有效前沿邊界資產(chǎn)，因此市場組合m

也是有效前沿組合。進一步假設市場組合不是最小方差組合mvp，則由根據(jù)定理3.2.2可知，有效前沿組合存在零協(xié)方差組合，因此zc(m)存在。故將市場組合m

代入(4.3.8)式，便得到2023/2/468這條假設有其合理性。例如，當個體效用為二次效用并且資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布時，利用均衡理論可以證明，個體的最優(yōu)投資組合落在除最小方差組合外的有效前沿邊界上。關(guān)于具體證明，感興趣的讀者可以參見[29]。第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論(4.3.9)是便是Black（1972）和Lintner（1969）發(fā)明的零-Beta資本資產(chǎn)定價模型，也被稱為Black定價公式。2023/2/469第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論4.3.3市場組合的有效性以及可替代性CAPM模型在出現(xiàn)的初期在實證方面得到了不少的支持，其中包括了Black，Jensen和Scholes（1972）以及Fama和MacBeth（1973）。但從上世紀80年代開始，各種針對CAPM模型的批評層出不窮。其中最為典型的是Banz（1981）發(fā)現(xiàn)的公司規(guī)模效應（sizeeffect）以及Fama和French（1992）的批評。因此，關(guān)于CAPM是否成立的爭論一直持續(xù)著。Fama（1976）指出，對于CAPM模型的直接檢驗等價于對市場組合的均值-方差有效性的檢驗。然而，CAPM模型中的市場組合需要包含市場中所有個體的投資狀況，是不可觀測的。這使得對市場組合的有效性的檢驗無法進行。因此可以說，CAPM模型處于缺乏實證證據(jù)的支持的境地。2023/2/470第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論另一方面，在實際應用中，CAPM模型定價公式(4.1.3)也需要市場組合收益率

的信息。如果市場組合不可觀測，則上述定價公式便無法運用。為了解決此問題，一個直觀的想法是：利用一個可以觀察的、能大致反映市場信息的組合來替代市場組合進行實證分析。事實上，實證中經(jīng)常使用道?瓊斯（DowJones）指數(shù)、上證綜指等市場指數(shù)作為市場組合的替代組合，“粗略地”地應用CAPM模型。然而，這種替代方法是否合理？替代組合的有何選擇標準或者選擇方法？下面便圍繞著這些問題進行討論。2023/2/471第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論首先，定理4.3.5表明，在一定條件下，將具有單位Beta系數(shù)的組合作為替代組合是不錯的選擇。定理4.3.5設組合

的收益率滿足

，即

。而資產(chǎn)組合q的收益率與

的收益率之間有如下關(guān)系其中

。則資產(chǎn)q的Beta系數(shù)

。2023/2/472第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論證明：定理4.3.5給出了替代組合的一個判斷條件。那么，如何在市場中尋找市場組合的替代組合呢？下面的定理給出了一種方法。2023/2/473第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論定理4.3.6假設有N個資產(chǎn)組合

，它們的收益率

的協(xié)方差矩陣

非退化，并且它們真實的Beta系數(shù)向量

已知。則存在該N

個資產(chǎn)組合的仿射組合

，使得

，其中

為資產(chǎn)組合i關(guān)于組合

的“Beta系數(shù)”。2023/2/474第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論證明：取資產(chǎn)組合

，它關(guān)于資產(chǎn)組合

的權(quán)重向量為

。則不難看出，確實是資產(chǎn)

的仿射組合，且這便是所要證明的結(jié)論?！?/p>

2023/2/475第三節(jié)資本資產(chǎn)定價模型進一步的討論定理4.3.6表明，只要部分基礎資產(chǎn)的真實Beta系數(shù)已知，則可以利用這些基礎資產(chǎn)構(gòu)造一個替代組合

。由協(xié)方差的線性性易知，對于這些基礎資產(chǎn)的仿射組合來說，利用替代組合

計算得到的Beta系數(shù)與真實的Beta系數(shù)相吻合，因此

在這些基礎資產(chǎn)生成的“子市場”中也是不錯的替代組合。2023/2/476第四節(jié)套利定價模型資本資產(chǎn)定價理論是現(xiàn)代金融經(jīng)濟學領域最經(jīng)典的理論之一，它的一個最大的特點是將資產(chǎn)的期望收益率用無風險收益率和市場組合收益率進行線性表示，從而為資產(chǎn)定價提供了極大的便利。然而由于資本資產(chǎn)定價理論繼承了Markowitz資產(chǎn)組合理論的嚴格假設，以及模型中關(guān)鍵量市場組合無法觀察的特性，CAPM模型在實證方面存在很大的局限性。在CAPM模型的實際應用中，往往選擇一些以可觀察的資產(chǎn)組合（如股票指數(shù)）作為市場組合的替代組合。其實，從CAPM模型的推導過程中可以看出，將市場組合替換為任何非零方差的前沿資產(chǎn)組合，形如(4.1.3)的定價公式也應該成立。其實，這些方法的本質(zhì)思路和CAPM是相同的，即將某資產(chǎn)組合的期望收益用無風險收益率和另一資產(chǎn)組合的期望收益率線性表示。2023/2/477第四節(jié)套利定價模型實證研究表明，使用了替代組合的CAPM模型的實證效果并不好，誤差比較大。這可能有以下兩方面的原因。一方面，影響到某資產(chǎn)組合收益率的因素除了另一個資產(chǎn)組合的收益率外還有很多，例如Banz提出的公司規(guī)模，又如一些宏觀因素例如國內(nèi)生產(chǎn)總值等，它們可能比資產(chǎn)收益率這個因素表現(xiàn)更為出色。由此產(chǎn)生的一種自然的想法是，能否類似CAPM模型，在經(jīng)過適當?shù)臉藴驶?，研究這些因素與資產(chǎn)收益率之間的線性關(guān)系？這便是因子模型的思想。另一方面，CAPM用來線性表示的期望收益率（也就是因子）除了無風險收益率外只有一個，若增加因子數(shù)目，從理論上來說，定價公式的效果可能會更好。根據(jù)這個思想，多因子模型也就應運而生了。2023/2/478第四節(jié)套利定價模型基于多因子模型和一些基本假設，利用漸進無套利的思想，便能得到經(jīng)典的套利定價模型（ArbitragePricingModel，APT）。套利定價模型由Ross（1976）首先得到，它刻畫了資產(chǎn)的超額期望收益率與一些“因子”的風險溢價（RiskPremium）之間的近似線性關(guān)系。從形式上看，APT模型是CAPM模型的推廣；然而，它們之間最為根本的不同點是，CAPM模型基于效用理論，而APT模型則基于漸近無套利思想得到.因此，APT模型能夠避免CAPM模型中市場模型均方有效性檢驗的要求，這使得APT模型的應用相比與CAPM模型更有實證基礎。此外，由于APT模型有著與CAPM模型類似的簡潔的形式，這使得它在實證應用中十分簡便。2023/2/479第四節(jié)套利定價模型4.4.1單因子模型根據(jù)定理4.1.3，將(4.1.5)稍作整理，得到其中無風險收益率

是常數(shù)，

為市場組合的超額收益率，

是期望為零、并且與市場組合收益率

不相關(guān)的隨機項。上式表明，資產(chǎn)收益率受市場組合超額收益率影響，因此可以將后者看作資產(chǎn)收益率的一個影響因子。將上式推廣，便得到任意可行資產(chǎn)組合

與其影響因子

間的如下線性關(guān)系：2023/2/480第四節(jié)套利定價模型其中

為常數(shù)，為隨機變量。進一步假設上式滿足如下三個條件：(1)不同可行資產(chǎn)組合i、j

對應的殘差

不相關(guān)，即：(2)任意可行資產(chǎn)組合i對應的殘差期望為零：(3)殘差與因子不相關(guān)：這便是單因子模型。2023/2/481第四節(jié)套利定價模型由上述單因子模型可以推得資產(chǎn)組合收益率的協(xié)方差。事實上，其中最后一個等式用到了上述假設(1)-(3)，

為Kronecker記號：2023/2/482第四節(jié)套利定價模型當

時，(4.4.2)變?yōu)橐簿褪钦f，任意兩個不同的可行資產(chǎn)組合的協(xié)方差可以表示為三個部分的乘積：因子的方差

，以及兩個資產(chǎn)組合

和

對因子

的敏感程度系數(shù)

和

。而當

時，(4.4.2)式變?yōu)?023/2/483第四節(jié)套利定價模型該式形如(4.2.4)式，并且有著類似的解釋：任意可行資產(chǎn)組合的風險可以分解為系統(tǒng)性風險也即因子方差，以及個體風險也即隨機項的方差。若將因子

選為市場組合的超額收益率

，類似4.2.2節(jié)可以得到，

其實就是資產(chǎn)關(guān)于市場組合的Beta系數(shù)。因此，在一般情形下，也將此處的

稱為資產(chǎn)

關(guān)于因子

的Beta系數(shù)。2023/2/484第四節(jié)套利定價模型4.4.2多因子模型單因子模型在市場中所有可行資產(chǎn)組合與因子之間建立起了一種線性的關(guān)系，本質(zhì)上體現(xiàn)了一種線性定價法則。當然，能夠解釋資產(chǎn)組合收益率變化的因子可能有多個，例如：市場中其他資產(chǎn)組合收益率、市場指數(shù)的增長率、宏觀經(jīng)濟指標增長率，資產(chǎn)發(fā)行公司相關(guān)信息等。從數(shù)學角度來看，若將單因子模型(4.4.1)中的因子

數(shù)量增加，其擬合誤差應該會減小。基于這種思想，多因子模型也便產(chǎn)生了。2023/2/485第四節(jié)套利定價模型假設影響資產(chǎn)收益率的因素有K個，分別記為

。假設資產(chǎn)組合i的收益率與這K

個因子之間存在如下線性關(guān)系：其中

和

為常數(shù)，

為隨機變量。類似單因子模型，進一步作如下假設：2023/2/486第四節(jié)套利定價模型(1)不同可行資產(chǎn)組合對應的殘差項

不相關(guān)，即(2)任意可行資產(chǎn)組合i對應的殘差項的期望為零，即(3)殘差項與因子不相關(guān)，即這便是多因子模型。當因子個數(shù)為K時，該模型也被稱為K

因子模型。2023/2/487第四節(jié)套利定價模型多因子模型中的上述三條假設為多因子模型的相應推導提供了很大的便利，并且也有其一定的合理性。假設(1)要求殘差項無關(guān)，這導致了不同資產(chǎn)組合間的相關(guān)性只能通過它們與因子的關(guān)系來體現(xiàn)（接下來的討論便表明了這點）。殘差項

對兩個資產(chǎn)組合收益率間的相關(guān)性沒有任何貢獻，而只是對資產(chǎn)i本身的收益率產(chǎn)生影響。因此，殘差項體現(xiàn)了資產(chǎn)組合的個體風險，而資產(chǎn)組合收益率和因子間的關(guān)系體現(xiàn)了資產(chǎn)組合的系統(tǒng)性風險。當然，在假設(1)的限制下，該因子模型的應用范圍將受到一定的限制。2023/2/488第四節(jié)套利定價模型假設(2)要求殘差項期望為零。這是一個自然的要求。在這個假設下，(4.4.3)右邊的非殘差項構(gòu)成了資產(chǎn)組合收益率變量的一個無偏估計，也就是說，這個要求很容易滿足，因為即使殘差項的期望

不為零，將其合并入

并將

組作為新的殘差項即可滿足假設(2)。2023/2/489第四節(jié)套利定價模型假設(3)給出了殘差項與因子間的不相關(guān)性。從線性回歸角度來說，這條假設也是比較自然的，并沒有給模型帶來很大的限制。事實上，在將資產(chǎn)組合收益率

關(guān)于因子

進行線性回歸時，要求做到殘差項的方差最小，而此時殘差項與因子的協(xié)方差必然為零，否則通過調(diào)整回歸系數(shù)

減少該協(xié)方差必然會降低殘差項的方差。2023/2/490第四節(jié)套利定價模型在多因子模型下，單因子模型的一些結(jié)論也類似成立。例如，可以通過計算直接得到不同可行資產(chǎn)收益率之間的協(xié)方差。事實上，2023/2/491第四節(jié)套利定價模型其中

，而當

時，(4.4.4)變?yōu)?023/2/492第四節(jié)套利定價模型也就是說，任意兩個不同的可行資產(chǎn)組合的協(xié)方差可以表示為三個部分的乘積：因子的協(xié)方差矩陣

，以及兩個資產(chǎn)組合

和

對因子

的敏感程度向量

和

。而當i=j時，(4.4.4)變?yōu)樗兄黠@的經(jīng)濟學解釋：某資產(chǎn)收益率的風險由K個因子造成的系統(tǒng)性風險（因子協(xié)方差）加權(quán)之和與資產(chǎn)的個體風險（殘差方差）組成。2023/2/493第四節(jié)套利定價模型之所以將殘差項對應的不確定性稱為個體風險，是因為該風險可以通過資產(chǎn)的高度多樣化的組合而被消除。此處高度多樣化有如下兩個含義。第一，市場中的基礎資產(chǎn)數(shù)量n

充分大；第二，資產(chǎn)組合投資于每種基礎資產(chǎn)i的權(quán)重

一致充分?。ɡ?，

）。事實上，記基礎資產(chǎn)收益率向量為

，投資組合p的權(quán)重向量為

，因此

。而收益率方差2023/2/494第四節(jié)套利定價模型其中

。結(jié)合(4.4.4)，(4.4.5)可化為2023/2/495第四節(jié)套利定價模型其中假設

，則個體風險2023/2/496第四節(jié)套利定價模型當

時，由于資產(chǎn)組合投資于每種基礎資產(chǎn)i的權(quán)重

一致充分小，即

，因此上式右端趨向于零。所以，當基礎資產(chǎn)數(shù)量足夠大時，高度多樣化資產(chǎn)組合的個體風險可以小到忽略不計，資產(chǎn)組合的風險全部由系統(tǒng)性風險所體現(xiàn)，即

2023/2/497第四節(jié)套利定價模型最后討論多因子模型(4.4.3)中的系數(shù)

與資產(chǎn)組合i關(guān)于因子

的Beta系數(shù)之間的關(guān)系。事實上，2023/2/498第四節(jié)套利定價模型因此可以從上述線性方程組中求解得到。特別地，若進一步假設各因子之間也是不相關(guān)的，則上式可以化簡為

從而此時，因子模型中的回歸系數(shù)

即為資產(chǎn)組合i關(guān)于因子

的Beta系數(shù)。

2023/2/499第四節(jié)套利定價模型4.4.3套利定價模型的基本假設本節(jié)開始套利定價模型的具體介紹。正如本章開頭所介紹，APT模型刻畫了資產(chǎn)的超額期望收益率與一些“因子”的風險溢價（RiskPremium）之間的近似線性關(guān)系。簡單地說，套利定價模型表明，當市場中的資產(chǎn)數(shù)量足夠多時，下面的等式近似成立其中

為常數(shù)，也被稱為因子載荷（FactorLoading），l

為第

個因子lf%的風險溢價，即

2023/2/4100第四節(jié)套利定價模型如同CAPM模型，APT模型的成立也離不開一系列的基本假設。然而，從下面的論述不難看出，相比與CAPM模型，APT模型的假設更為寬松，更符合市場實際情況。假設1市場上資產(chǎn)的交易不存在摩擦，即不存在任何形式的交易成本，包括交易費用與市場流動性風險造成的交易成本。并且假設市場上允許對資產(chǎn)進行賣空，即允許資產(chǎn)投資權(quán)重為負數(shù)。另外，還假設資產(chǎn)無限可分，即可以買入或者賣出任意小份額的資產(chǎn)。市場是完全競爭的，單個個體的投資行為不會影響資產(chǎn)的市場價格。2023/2/4101第四節(jié)套利定價模型假設2市場是無套利的。市場中存在足夠多的套利者，一旦市場中出現(xiàn)套利機會，他們會構(gòu)造盡可能多的套利組合進行套利，從而消除套利機會。假設3市場中存在無風險資產(chǎn)，并且其市場買賣價格相等。假設4所有個體對市場中資產(chǎn)收益率有著相同的預期，任何資產(chǎn)的收益率滿足K因子模型。假設5市場中資產(chǎn)的數(shù)量足夠多；特別地，資產(chǎn)數(shù)量大于因子的數(shù)目。2023/2/4102第四節(jié)套利定價模型假設1和假設3延續(xù)了CAPM模型的假設，它為APT模型的建立以及推導提供了方便。假設2是關(guān)于市場的無套利假設，它的引入可以說是APT模型與前面的Markowitz資產(chǎn)組合理論和CAPM模型的一個最本質(zhì)的區(qū)別。Markowitz資產(chǎn)組合理論和CAPM模型是基于個體效用的理論，它們通過研究并假設個體效用函數(shù)或者偏好特征，對市場中的資產(chǎn)進行絕對定價。因此，這兩個模型的假設中包含了對個體偏好的假設，例如4.1.2節(jié)中的假設3。而APT模型是無套利模型，通過假設市場中不存在套利機會，它得到了所需定價的資產(chǎn)與市場中其它資產(chǎn)價格間必須存在的關(guān)系，從而對資產(chǎn)進行相對定價。因此，相比于CAPM模型的假設，APT模型的無套利假設占據(jù)了與CAPM模型關(guān)于個體偏好的假設同等的地位。2023/2/4103第四節(jié)套利定價模型根據(jù)4.4.2節(jié)的內(nèi)容，假設4可以用如下的方式更準確地進行表述：任何資產(chǎn)組合i的收益率

與K個因子

之間存在如下線性關(guān)系：其中

和

為常數(shù)，

為隨機變量。并且假設4是APT模型的核心假設。它的存在確保了APT模型近似線性定價公式的成立。假設5的提出是APT模型估計式成立的理論基礎，同時避免推導過程中出現(xiàn)退化的情況。2023/2/4104第四節(jié)套利定價模型4.4.4套利定價模型的理論推導本節(jié)將給出APT模型的理論推導。在市場中構(gòu)造一個子市場序列

，它滿足：(1)單調(diào)遞增性：(2)在

中，有n個風險資產(chǎn)和一個無風險資產(chǎn)。結(jié)合假設4，子市場

中的風險資產(chǎn)收益率滿足如下模型：2023/2/4105第四節(jié)套利定價模型其中此外進一步假設其中s是一個正常數(shù)。這個假設要求對于子市場中的所有資產(chǎn)，K因子模型的殘差可以被控制，從而做到一致的小。此外，為了推導的方便，本節(jié)中假設K個因子均為資產(chǎn)收益率。2023/2/4106第四節(jié)套利定價模型首先考慮一個簡單的情形：假設K因子模型沒有誤差。那么如下結(jié)論成立：定理4.4.1假設(4.4.6)中殘差項 ,則定理4.4.1表明，如果K因子模型對資產(chǎn)收益率給出了精確的估計，那么資產(chǎn)收益率的APT線性定價公式將嚴格成立。2023/2/4107第四節(jié)套利定價模型證明：結(jié)合定理假設和(4.4.6)知，

根據(jù)上式和(4.4.8)，只需證明

而該式可利用反證法用經(jīng)典的無套利方法證明。假設(4.4.10)不成立，則存在

，使得2023/2/4108第四節(jié)套利定價模型或者

成立。構(gòu)造資產(chǎn)組合

，它由無風險資產(chǎn)與K

個因子資產(chǎn)組成，其中投資于無風險資產(chǎn)的權(quán)重為

，而投資于因子l的權(quán)重為

。因此，資產(chǎn)組合

的收益率為2023/2/4109第四節(jié)套利定價模型當

時，，通過買入1元的資產(chǎn)組合

同時賣空1元的資產(chǎn)j構(gòu)造的資產(chǎn)組合顯然是一個自融資組合，并且利用(4.4.9)和(4.4.11)可得其收益為因此，這個自融資組合當前價值為零，而在將來有著嚴格正的收益，是一個套利組合，這與假設2所要求的市場無套利性相矛盾。2023/2/4110第四節(jié)套利定價模型當

時，同理可證明，通過賣空1元的資產(chǎn)組合

同時買入1元的資產(chǎn)j

構(gòu)造的自融資資產(chǎn)組合也是一個套利組合，同樣與假設2所要求的市場的無套利性相矛盾。綜上，(4.4.10)成立。在(4.4.9)兩邊取期望，定理得證。2023/2/4111第四節(jié)套利定價模型定理4.4.1所得到的線性定價公式嚴格成立，這是一個非常漂亮的結(jié)論。但是不難發(fā)現(xiàn)，為了得到這樣的結(jié)論，定理所需附加的條件也極為嚴格：多因子模型的殘差項為零。從經(jīng)濟學意義上說，這樣的假設要求風險資產(chǎn)的風險只來源于系統(tǒng)性風險，而不存在非系統(tǒng)性風險。這樣的假設顯然是不合理的。下面的定理放松了殘差項為零的假設，嘗試得到相似的結(jié)論。當然，此時的結(jié)論也相應地變?nèi)酰壕€性定價公式只是對大部分資產(chǎn)近似地成立。2023/2/4112第四節(jié)套利定價模型由于下面的推導過程以及結(jié)論是基于極限意義得到的，假設2中的無套利概念需要進行相應的推廣。極限意義下的套利機會是指這樣一個自融資套利組合序列，它們的期望收益率有嚴格大于零的下界，同時方差收斂于0。嚴格地說，套利組合序列

滿足2023/2/4113第四節(jié)套利定價模型從直觀意義上來看，假設市場中存在足夠多的資產(chǎn)，如果市場中存在極限意義下的套利機會，則存在一個資產(chǎn)組合，它的構(gòu)建成本為0，而期望收益率嚴格大于0，并且風險小到可以被忽略。對于套利者來說，這樣的資產(chǎn)組合幾乎是免費的午餐。如果套利者構(gòu)造盡可能多的這樣的組合進行套利，市場上不應該存在極限意義下的套利機會。因此，在下面的論述中，我們在4.4.3節(jié)假設的基礎上，引入漸進無套利假設：2023/2/4114第四節(jié)套利定價模型假設2’（漸近無套利假設）市場中不存在極限意義下的套利機會。下面開始近似線性定價公式的證明。首先需要證明如下引理，它弱于(4.4.10)，但為近似線性定價公式的成立提供了必要條件。引理4.4.2對于任意實數(shù)

，存在正整數(shù)

，使得對于任意子市場

，除了至多

個資產(chǎn)外，其余資產(chǎn)i均滿足2023/2/4115第四節(jié)套利定價模型證明：對于任意

，記

為

中不滿足(4.4.12)的資產(chǎn)的數(shù)量。則由于

的單調(diào)性，

關(guān)于n單調(diào)遞增。定理結(jié)論等價于存在

使得

假設結(jié)論不成立，則存在

，使得2023/2/4116第四節(jié)套利定價模型不失一般性地，假設

中不滿足(4.4.12)的資產(chǎn)下標集合為

對于每個經(jīng)濟體

中的資產(chǎn)

，構(gòu)造資產(chǎn)組合

，它由無風險資產(chǎn)與K個因子資產(chǎn)組成，其中投資于無風險資產(chǎn)的權(quán)重為

，而投資于因子l的權(quán)重為

。然后構(gòu)造如下自融資組合

：2023/2/4117第四節(jié)套利定價模型則通過直接的計算可知，自融資組合

的收益額為2023/2/4118第四節(jié)套利定價模型其中

為符號函數(shù)。接著，對于

，取資產(chǎn)組合2023/2/4119第四節(jié)套利定價模型即

為

個自融資資產(chǎn)組合

的權(quán)重為

的等權(quán)重凸組合。因此

也是自融資組合，同時其期望收益率為并且根據(jù)(4.4.7)，其方差為2023/2/4120第四節(jié)套利定價模型由于(4.4.13)，上式可以推出因此，自融資組合序列

是極限意義下的套利組合，這與漸近無套利假設（假設2’）矛盾。因此引理得證。2023/2/4121第四節(jié)套利定價模型引理4.4.2有下面的直觀理解。在殘差項不為零的情形下，(4.4.10)不再嚴格成立，而往往只能做到近似成立，即然而，對這個近似式的精度可以做出要求。不管精度要求多高（也即不管

多?。?，除了有限個（

個）資產(chǎn)外，(4.4.16)對于市場中其余資產(chǎn)均成立。2023/2/4122第四節(jié)套利定價模型因此，當市場中資產(chǎn)數(shù)量足夠多（遠遠大于

時），近似式(4.4.16)對于市場中絕大部分資產(chǎn)都是成立的。將(4.4.16)代入(4.4.6)并取期望，可以得到如下的套利定價模型：定理4.4.3（套利定價模型）在4.4.3節(jié)的假設下，對于資產(chǎn)

，下式近似成立：2023/2/4123第四節(jié)套利定價模型4.4.5套利定價模型與資本資產(chǎn)定價模型的區(qū)別與聯(lián)系在現(xiàn)代金融經(jīng)濟學領域中，CAPM和APT是兩個具有深遠影響的資產(chǎn)定價理論。它們有著相似的形式，但同時也有著很多不同之處。CAPM和APT模型最大的一個相似之處，在于它們都將資產(chǎn)的期望收益率與一些影響因子進行關(guān)聯(lián)，從市場上可以得到影響因子已知數(shù)據(jù)，進而對資產(chǎn)進行定價。從形式上看，它們都是將資產(chǎn)的超額期望收益率表示為一個或者多個因子的線性求和形式。特別地，如果APT模型中只有一個因子，并且該因子就是市場組合的超額收益率，那么不難看出，這樣的APT模型在形式上是與CAPM一致的。從根本上說，CAPM模型與APT模型都體現(xiàn)了線性定價的思想。2023/2/4124第四節(jié)套利定價模型當然，除了形式上的相似性之外，CAPM模型與APT模型有著很多的不同之處。首先，CAPM模型和APT模型的一個最為根本的不同點在于它們的定價基本框架不同。CAPM模型是均衡定價模型，它從投資個體的效用出發(fā)，著眼于個體效用最大化，從而研究市場均衡時的定價。因此，這種定價方式也被稱為“絕對定價”。另一方面，APT模型是無套利定價模型。它基于市場中不存在（極限意義下的）套利機會的假設，指出在此假設下，不同資產(chǎn)價格間應當存在一定的關(guān)系。因此，資產(chǎn)的價格可以由其他一些較為基礎的資產(chǎn)的已知價格所表示，從而達到定價的目的。因此，這種定價方式也被稱為“相對定價”。2023/2/4125第四節(jié)套利定價模型由于定價框架不同，CAPM與APT的模型假設自然也有不同之處。其中最突出的區(qū)別便是CAP