求極限總復(fù)習(xí)

廈門大學(xué)第九屆“景潤杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽

系列講座

第一講

極限方法的思考

極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，極限理論是高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，它貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終。

所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。

借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)到曲線形，從量變認(rèn)識(shí)到質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)到精確。

正是極限思想，使人們?cè)谡J(rèn)識(shí)自然和改造自然的思想上產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍。

如果要問：“高等數(shù)學(xué)是一門什么學(xué)科？”，那么可以概括地說：“高等數(shù)學(xué)就是用極限思想來研究函數(shù)，研究自然科學(xué)的一門學(xué)科”。

極限的思想方法是微積分的基本思想，也是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別所在。高等數(shù)學(xué)之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題，例如瞬時(shí)速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題正是由于采用了極限的思想方法。

高等數(shù)學(xué)中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的因此掌握求極限的方法是理解極限思想的重要的基礎(chǔ)訓(xùn)練步驟之一。

求極限的方法是多種多樣的，有的還需要較高的技巧，因此要較好地掌握極限的方法，需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中不斷地總結(jié)、歸納、類比、記憶。更為重要的是還要善于把所學(xué)過的知識(shí)串起來，并加于靈活運(yùn)用。

下面我們將討論幾類重要的求極限方法，它是我們所學(xué)過求極限方法的深化拓廣和提高，也是綜合利用導(dǎo)數(shù)、微分中值定理、定積分等知識(shí)解決極限問題的重要方法。1、

用導(dǎo)數(shù)定義求極限導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的，現(xiàn)在反其道而行之，利用導(dǎo)數(shù)定義來計(jì)算某些數(shù)列和函數(shù)的極限。如下是我們所熟知的導(dǎo)數(shù)定義的一種變形例1計(jì)算解例2設(shè)解在點(diǎn)可導(dǎo)，計(jì)算例3設(shè)解計(jì)算1、計(jì)算分析：K為自然數(shù)。舉一反三練習(xí)2、

設(shè)f(x)在x0處二階可導(dǎo)分析：可以利用洛必達(dá)法則，但根據(jù)題設(shè)條件只能用一次，然后再利用導(dǎo)數(shù)的定義。2、用拉格朗日中值定理求極限如下是拉格朗日中值定理應(yīng)用的一種變形例4計(jì)算例5計(jì)算間。間。1、

計(jì)算分析舉一反三練習(xí)2、計(jì)算思考：可否利用柯西中值定理。3、用等價(jià)無窮小代換求極限先利用拉格朗日中值定理給出下述一般命題：設(shè)下列兩個(gè)條件滿足(1)

(x),(x)是連續(xù)函數(shù),且(2)

f(x)在x=c的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)且在x=c處連續(xù)，且則證：由拉格朗日定理和題設(shè)條件于是即由此命題，可得到如下的等價(jià)代換式子。它給求極限帶來很大方便。容易知道，把xx0換成x

時(shí)，相應(yīng)條件還滿足，則上述結(jié)論仍然成立。此命題的特點(diǎn)是：相減的兩項(xiàng)的外層的函數(shù)必須是相同的，里面復(fù)合的自變量函數(shù)(x)，(x)可以是不一樣。x在某種趨近方式下，且(x)(x)解：利用等價(jià)關(guān)系式子解：利用等價(jià)關(guān)系式子解：利用等價(jià)關(guān)系式子1、

計(jì)算舉一反三練習(xí)提示：2、設(shè)提示：附近有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且在存在,求對(duì)乘除運(yùn)算求極限，利用等價(jià)無窮小代換簡(jiǎn)便而有效，但對(duì)加減運(yùn)算下的無窮小代換則需特別注意。下面定理給出了加減運(yùn)算求極限時(shí)可以進(jìn)行等價(jià)代換的條件。

4、加減運(yùn)算下的等價(jià)代換命題設(shè)(x),1(x),(x),1(x)均為xx0時(shí)的無窮小，且(x)1(x),(x)1(x)，證明：當(dāng)xx0時(shí)，(x)+(x)1(x)+1(x)。且不等于-1，命題證明:只需證注意到由等價(jià)關(guān)系(5)1、

計(jì)算舉一反三練習(xí)提示：Talor公式是用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的一種有效工具，具有廣泛的應(yīng)用。帶有Peano余項(xiàng)的Talor公式常被應(yīng)用在求極限的過程中。

5、利用Taylor公式求極限公式成立的條件是：存在即可，不需要n+1階導(dǎo)數(shù)的存在。例12設(shè)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且1、

求舉一反三練習(xí)和求處可導(dǎo),且2、設(shè)在Stolz定理則

下面介紹的Stolz定理被譽(yù)為數(shù)列極限的洛比達(dá)法則它為求離散型的未定型極限問題帶來很大的方便。

6、利用Stolz公式求極限證：例14例151、舉一反三練習(xí)定理

七、利用廣義洛必達(dá)法則求極限例19

1、

求舉一反三練習(xí)證明在2、設(shè)

連續(xù),且當(dāng)所求的極限表達(dá)式是連乘積形式，或可表成n項(xiàng)之和的形式時(shí)，可聯(lián)想到用定積分的定義來求極限。

8、利用定積分定義求極限連乘積形式的極限表達(dá)式可通過取對(duì)數(shù)把它轉(zhuǎn)化成n項(xiàng)之和的形式。例20求極限解：記取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成和的形式故例21設(shè)又解：因?yàn)?/p>

由夾逼定理即得我們把例21的解題思路歸納總結(jié)并一般化而所以

一般地，等價(jià)的表達(dá)式具有相同的極限.例22故解：因?yàn)?/p>

1、求舉一反三練習(xí)2、求

若級(jí)數(shù)收斂，則有下列兩條性質(zhì)：

9、利用級(jí)數(shù)的收斂性求極限（通項(xiàng)趨于零.）（級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和Sn有極限.）例23求極限故解：構(gòu)造級(jí)數(shù)

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法所以級(jí)數(shù)收斂，則通項(xiàng)必趨于零.例24設(shè)故解：構(gòu)造級(jí)數(shù)

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法所以級(jí)數(shù)收斂，則通項(xiàng)必趨于零.證明存在.例25設(shè)則有解：由

依次取求.令將上面的不等式相加，得

依次取則有即

由夾逼定理和的任意性，得而1、求舉一反三練習(xí)2、求

10、用單調(diào)有界定理求數(shù)列極限當(dāng)某種數(shù)列{xn}是由遞推關(guān)系對(duì)這種由線性遞推關(guān)系所定義的數(shù)列，我們可以將其視為差分方程，通過求其差分方程的特征根，寫出xn的通項(xiàng)公式，從而可求出{xn}的極限。所給出,其中p,q為常