高中數(shù)學(xué)北師大版1第三章變化率與導(dǎo)數(shù)變化的快慢與變化率 學(xué)業(yè)分層測評1

學(xué)業(yè)分層測評(十一)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．已知函數(shù)y＝f(x)＝sinx，當(dāng)x從eq\f(π,6)變到eq\f(π,2)時，函數(shù)值的改變量Δy＝()A．－eq\f(1,2)\f(1,2)\f(π,3)\f(3,2)【解析】Δy＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\f(π,2)－sineq\f(π,6)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).【答案】B2．在曲線y＝x2＋1上取一點(1,2)及鄰近一點(1＋Δx，2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)＝()A．Δx＋eq\f(1,Δx＋2) B．Δx－eq\f(1,Δx)－2C．Δx＋2 D．2＋Δx－eq\f(1,Δx)【解析】Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝Δx＋2.【答案】C3．函數(shù)f(x)＝－eq\f(2,x)，在2到2＋Δx之間的平均變化率為()A．－eq\f(2,Δx) B．－eq\f(1,2＋Δx)\f(1,2＋Δx) D．eq\f(2,2＋Δx)【解析】eq\f(f2＋Δx－f2,2＋Δx－2)＝eq\f(－\f(2,2＋Δx)＋1,Δx)＝eq\f(1,2＋Δx).【答案】C4．一塊木頭沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s＝eq\f(1,8)t2，則t＝2時，此木頭在水平方向的瞬時速度為()A．2 B．1\f(1,2) D．eq\f(1,4)【解析】因為Δs＝eq\f(1,8)(2＋Δt)2－eq\f(1,8)×22＝eq\f(1,2)Δt＋eq\f(1,8)(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)Δt，當(dāng)Δt趨于0時，eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)Δt趨于eq\f(1,2)，因此t＝2時，木塊在水平方向瞬時速度為eq\f(1,2).【答案】C5．水以恒速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中，按順序與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖像相對應(yīng)的一項是()A．①②③④ B．②①③④C．②①④③ D．②④①③【解析】以第二個容器為例，由于容器上細下粗，所以水以恒速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快，反映在圖像上，①符合上述變化情況．而第三個容器在開始時高度增加快，后來時高度增加慢，圖像④適合上述變化情況．故應(yīng)選C.【答案】C二、填空題6．函數(shù)f(x)＝lnx＋1從e到e2的平均變化率為________．【解析】Δy＝f(e2)－f(e)＝(lne2＋1)－(lne＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,e2－e).【答案】eq\f(1,e2－e)7．質(zhì)點按規(guī)律s(t)＝at＋1運動，若在t＝2時刻的瞬時速度為eq\f(1,2)，則a的值為________．【解析】由eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝a，得a＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．質(zhì)點的運動方程是s(t)＝eq\f(1,t2)，則質(zhì)點在t＝2時的速度為________.【導(dǎo)學(xué)號：63470057】【解析】eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(\f(1,2＋Δt2)－\f(1,4),Δt)＝－eq\f(4＋Δt,42＋Δt2)，當(dāng)Δt趨于0時，eq\f(Δs,Δt)＝－eq\f(1,4).【答案】－eq\f(1,4)三、解答題9．如果一個質(zhì)點從定點A開始運動，時間t的位移函數(shù)為y＝f(t)＝t3＋3，當(dāng)t1＝4，且Δt＝時，求：(1)Δy；(2)eq\f(Δy,Δt).【解】(1)∵Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝(t1＋Δt)3＋3－(teq\o\al(3,1)＋3)＝3teq\o\al(2,1)Δt＋3t1(Δt)2＋(Δt)3.∴當(dāng)t1＝4，Δt＝時，Δy＝3×42×＋3×4×＋＝201.(2)∵eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(3t\o\al(2,1)·Δt＋3t1·Δt2＋Δt3,Δt)＝3teq\o\al(2,1)＋3t1·Δt＋(Δt)2.∴當(dāng)t1＝4，Δt＝時，eq\f(Δy,Δx)＝3×42＋3×4×＋＝1.10．設(shè)某跳水運動員跳水時，相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系為h(t)＝－5t2＋6t＋10.(1)求該運動員從時間t＝1到時間t＝3的平均速度；(2)求該運動員在時間t＝1處的瞬時速度．【解】(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得該運動員從時間t＝1到時間t＝3的平均速度；eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(h3－h(huán)1,3－1)＝－14.故該運動員從時間t＝1到時間t＝3的平均速度為－14m/s；(2)∵eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(h1＋Δt－h(huán)1,Δt)＝eq\f([－51＋Δt2＋61＋Δt＋10]－－5×12＋6×1＋10,Δt)＝eq\f(－5Δt2－4Δt,Δt)＝－5·Δt－4，∴當(dāng)Δt趨于0時，eq\f(Δh,Δt)趨于－4，即該運動員在時間t＝1處的瞬時速度為－4m/s.[能力提升]1．一物體作直線運動，其運動方程為s＝3t－t2，其中位移s單位為米，時間t的單位為秒，那么該物體的初速度為()A．0米/秒 B．－2米/秒C．3米/秒 D．3－2t米/秒【解析】物體的初速度就是t＝0時的瞬時速度．eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(s0＋Δx－s0,Δx)＝eq\f(3Δx－Δx2,Δx)＝3－Δx.當(dāng)Δx→0時，3－Δx→3，∴物體初速度為3米/秒．【答案】C2．已知點P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點，若函數(shù)在x0處的瞬時變化率為0，則點P的坐標(biāo)為()A．(1,10) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－1,10)【解析】Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3xeq\o\al(2,0)－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝6x0＋3Δx＋6，由題意，當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→6x0＋6＝0，∴x0＝－1，∴y0＝－2.【答案】B3．經(jīng)過研究，某個嬰兒從出生到第24個月的體重變化如圖3-1-1所示，那么該嬰兒體重的平均變化率哪一年較大？________.(填“第一年”或“第二年”)【導(dǎo)學(xué)號：63470058】圖3-1-1【解析】由題圖知，第一年該嬰兒體重的平均變化率是eq\f－,12－0)＝；第二年該嬰兒體重的平均變化率是eq\f－,24－12)＝.因為>，所以第一年該嬰兒體重的平均變化率較大．【答案】第一年4．路燈距地面8m，一個身高為m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上射影點C沿某直線離開路燈．(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式；(2)求人離開路燈的第一個10s內(nèi)身影的平均變化率．【解】(1)如圖所示，設(shè)人從C點運動到B點的路程為xm，AB為身影長度，AB的長度為ym，由于CD∥BE，則eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(y,y＋x)＝eq\f,8)，所以y＝f(x)＝eq\f(1,4)x.(2)84m/min＝m/s，在