高中數(shù)學(xué)人教B版2第三章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù) 第3章2

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．(2023·泰安高二檢測)－(2－eq\r(2)i)的虛部是()A．－2 B．－eq\r(2)\r(2) D．2【解析】∵－(2－eq\r(2)i)＝－2＋eq\r(2)i，∴其虛部是eq\r(2).【答案】C2．如果C，R，I分別表示復(fù)數(shù)集，實數(shù)集和純虛數(shù)集，其中C為全集，則()A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝?【解析】復(fù)數(shù)包括實數(shù)與虛數(shù)，所以實數(shù)集與純虛數(shù)集無交集．∴R∩I＝?，故選D.【答案】D3．(2023·肇慶高二檢測)若xi－i2＝y(tǒng)＋2i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi＝()【導(dǎo)學(xué)號：05410061】A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i【解析】由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，則由題意得1＋xi＝y(tǒng)＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.【答案】B4．下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；②若a，b∈R且a>b，則a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0.A．0 B．1C．2 D．3【解析】對于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的實部和虛部，故①是假命題；對于②，由于兩個虛數(shù)不能比較大小，故②是假命題；③是假命題，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.【答案】A5．復(fù)數(shù)i－2的虛部是()A．i B．－2C．1 D．2【解析】i－2＝－2＋i，因此虛部是1.【答案】C二、填空題6．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)m【解析】依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－3＝0，,m－1≠0，))解得m＝－3.【答案】－37．以3i－eq\r(2)的虛部為實部，以3i2＋eq\r(2)i的實部為虛部的復(fù)數(shù)是__________．【解析】3i－eq\r(2)的虛部為3,3i2＋eq\r(2)i＝－3＋eq\r(2)i的實部為－3，所以所求的復(fù)數(shù)是3－3i.【答案】3－3i8．有下列說法：①兩個復(fù)數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等；②兩個復(fù)數(shù)不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等；③1－ai(a∈R)是一個復(fù)數(shù)；④純虛數(shù)的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一個，即為－i；⑥i是方程x4－1＝0的一個根；⑦eq\r(2)i是一個無理數(shù)．其中正確的有________(填序號)．【解析】若兩個復(fù)數(shù)相等，則有它們的實部、虛部均相等，故①正確；若虛部不相等，則兩個復(fù)數(shù)一定不相等，故②正確；因滿足形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)均為復(fù)數(shù)，故③正確；純虛數(shù)的平方，如i2＝－1，故④錯誤；－1的平方根不止一個，因為(±i)2＝－1，故⑤錯誤；∵i4－1＝0成立，故⑥正確；eq\r(2)i是虛數(shù)，而且是純虛數(shù)，故⑦錯誤．綜上，①②③⑥正確．【答案】①②③⑥三、解答題9．已知復(fù)數(shù)z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，則當(dāng)實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)(1)是實數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)．【解】z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.(1)令m2－m－6＝0?m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2時，z為實數(shù)．(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3時，z是虛數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋3m＋2＝0，,m2－m－6≠0，))解得m＝－1，所以m＝－1時，z是純虛數(shù)．10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求實數(shù)m【解】∵M∪P＝P，∴M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝2.綜上可知，m＝1或m＝2.[能力提升]1．若復(fù)數(shù)z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(4,5)))i是純虛數(shù)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))的值為()A．－7 B．－eq\f(1,7)C．7 D．－7或－eq\f(1,7)【解析】∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,5)＝0，,cosθ－\f(4,5)≠0，))∴sinθ＝eq\f(3,5)且cosθ≠eq\f(4,5)，∴cosθ＝－eq\f(4,5).∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(3,4).∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(－\f(3,4)－1,1－\f(3,4))＝－7，故選A.【答案】A2．已知關(guān)于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實根n，且z＝m＋ni，則復(fù)數(shù)z＝()A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i【解析】由題意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1，))所以z＝3－i.【答案】B3．設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,m＋5)＋(m2＋2m－15)i為實數(shù)，則實數(shù)m的值是__________.【導(dǎo)學(xué)號：05410062】【解析】依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－15＝0，,m＋5≠0，))解得m＝3.【答案】34．如果logeq\f(1,2)(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然數(shù)m，n的值．【解】因為logeq\f(1,2)(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以logeq\f(1,2)(m＋n)－(m2－3m)i是實數(shù)，從而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4