高中數(shù)學北師大版5第二章幾個重要的不等式 精品獲獎

第二章§3、2一、選擇題1．用數(shù)學歸納法證明“2n>n2＋1對于n>n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取()A．2 B．3C．5 D．6解析：使2n>n2＋1，經(jīng)過計算知應選C．答案：C2．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3正確B．假使n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1正確C．假使n＝k時正確，再推n＝k＋1正確D．假使n≤k(k≥1)時正確，再推n＝k＋2時正確(以上k∈N＋)解析：因為是奇數(shù)，所以排除C、D，又當k∈N*時，A中2k＋1取不到1，所以選B．答案：B3．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達式為()A．eq\f(1,n－1n＋1) B．eq\f(1,2n2n＋1)C．eq\f(1,2n－12n＋1) D．eq\f(1,2n＋12n＋2)解析：經(jīng)過a1＝eq\f(1,3)可算出a2＝eq\f(1,3×5)，a3＝eq\f(1,5×7)，所以選C．答案：C4．用數(shù)學歸納法證明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N＋，n>1)”時，由n＝k(k>1)時不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項數(shù)是()A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：由k到k＋1，則左邊增加了eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)，共2k項．答案：C二、填空題5．用數(shù)學歸納法證明“對于足夠大的正整數(shù)n，總有2n>n3”時，驗證第一步不等式成立所取的第一個最小值n0應當是__________解析：經(jīng)過計算知n0最小應為10.答案：106．用數(shù)學歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)>eq\f(13,24)的過程，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________________.解析：應該比原來增加了eq\f(1,2k＋12k＋2).答案：eq\f(1,2k＋12k＋2)三、解答題7．求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．證明：(1)當n＝1時，等式左邊＝2，等式右邊＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假設n＝k(k∈N＋)時等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．那么n＝k＋1時，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1時等式成立．由(1)(2)可知，對任何n∈N＋等式均成立．8．用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n－1)))>eq\f(\r(2n＋1),2)成立．證明：(1)當n＝2時，左邊＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，右邊＝eq\f(\r(5),2)，左邊>右邊，∴不等式成立．(2)假設當n＝k(k≥2)時，不等式成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k＋1)))>eq\f(\r(2k＋1),2).那么當n＝k＋1時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k＋1－1)))>eq\f(\r(2k＋1),2)·eq\f(2k＋2,2k＋1)＝eq\f(2k＋2,\r(2k＋1))＝eq\f(\r(4k2＋8k＋4),2\r(2k＋1))>eq\f(\r(4k2＋8k＋3),2\r(2k＋1))＝eq\f(\r(2k＋3)·\r(2k＋1),2·\r(2k＋1))＝eq\f(\r(2k＋1＋1),2)∴當n＝k＋1時，不等式也成立．由(1)(2)知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．9．是否存在常數(shù)a，b，c使得1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(nn＋1,12)(an2＋bn＋c)對一切n∈N＋都成立？證明你的結論．解析：此題可用歸納猜想證明來思考．假設存在a，b，c使題設的等式成立．令n＝1，得4＝eq\f(1,6)(a＋b＋c)；當n＝2時，22＝eq\f(1,2)(4a＋2b＋c)；當n＝3時，70＝9a＋3b＋c，聯(lián)立得a＝3，b＝11，c＝10.∴當n＝1,2,3時，等式1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(nn＋13n2＋11n＋10,12)成立．猜想等式對n∈N＋都成立，下面用數(shù)學歸納法來證明．記Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2，設當n＝k時，上面等式成立，即有Sk＝eq\f(kk＋13k2＋11k＋10,12).則當n＝k＋1時，Sk＋1＝Sk＋(k＋1)(k＋2)2＝eq\f(kk＋1,12)·(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝eq\f(kk＋1,12)·(k＋2)(3k＋5)＋(k＋