高中數(shù)學(xué)北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)正整數(shù)指數(shù)函數(shù) 第3章

第三章§1A級基礎(chǔ)鞏固1．下列各項對正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的理解正確的有eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814549)(D)①底數(shù)a≥0；②指數(shù)x∈N＋；③底數(shù)不為0；④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)．A．0個 B．1個C．2個 D．3個[解析]由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)定義知①錯誤，②③④正確故選D．2．函數(shù)y＝(eq\f(1,2))x，x∈N＋的值域是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814550)(D)A．R B．[0，＋∞)C．N D．{eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，…}[解析]∵n∈N＋，∴把n＝1,2,3，…代入可知選D．3．下列函數(shù)：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3·2x(x∈N＋)．其中是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814551)(B)A．0個 B．1個C．2個 D．3個[解析]由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義知，①③④不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，②是，故選B．4．函數(shù)y＝(eq\f(3,8))x，x∈N＋是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814552)(D)A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．增函數(shù) D．減函數(shù)[解析]∵0<eq\f(3,8)<1，當(dāng)x∈N＋且由小變大時，函數(shù)值由大變小，故選D．5．函數(shù)y＝7x，x∈N＋的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814553)(D)A．R B．N＋C．[0，＋∞) D．不存在[解析]由于函數(shù)y＝7x，x∈N＋的定義域是N＋，而N＋不是區(qū)間，則該函數(shù)不存在單調(diào)區(qū)間．6．滿足3x2－1＝eq\f(1,9)的x的值的集合為eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814554)(C)A．{1} B．{－1,1}C．? D．{0}[解析]3x2－1＝3－2，∴x2－1＝－2，即x2＝－1，無解．7．已知函數(shù)f(x)＝(m－1)·4x(x∈N＋)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)m＝\x(導(dǎo)學(xué)號00814555)[解析]由m－1＝1，得m＝2.8．由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計算機(jī)的成本不斷降低，若每隔5年計算機(jī)的價格降低eq\f(1,3)，則現(xiàn)在價格為8100元的計算機(jī)經(jīng)過15年價格應(yīng)降為_2400元\x(導(dǎo)學(xué)號00814556)[解析]5年后價格為8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))；10年后價格為8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2；15年后價格為8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝2400(元)．9．對于五年可成材的樹木，在此期間的年生長率為18%，以后的年生長率為10%，樹木成材后，即可以售樹木，重栽新樹木；也可以讓其繼續(xù)生長．問哪一種方案可獲得較大的木材量？(只需考慮十年的情形)eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814557)[解析]設(shè)新樹苗的木材量為Q，則十年后有兩種結(jié)果：①連續(xù)生長十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；②生長五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，則eq\f(M,N)＝eq\f(2,1＋10%5)，因為(1＋10%)5≈<2，所以eq\f(M,N)>1，即M>N.因此，生長五年后重栽可獲得較大的木材量．10．農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2023年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為23150元(其中工資性收入為17800元，其他收入為5350元)．預(yù)計該地區(qū)自2023年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年增加1160元．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求2023年該地區(qū)農(nóng)民人均收入約為多少元？(其中≈,≈,≈eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814558)[分析]本小題主要考查指數(shù)函數(shù)型的實際問題，也考查學(xué)生運(yùn)用函數(shù)知識解決實際問題的能力．[解析]農(nóng)民人均收入來源于兩部分，一是工資性收入即17800×(1＋6%)5＝17800×＝23852(元)，二是其它收入即5350＋5×1160＝11150(元)，∴農(nóng)民人均收入為23852＋11150＝35002(元)．答：2023年該地區(qū)農(nóng)民人均收入約為35002元．B級素養(yǎng)提升1．若f(x)＝3x(x∈N且x>0)，則函數(shù)y＝f(－x)在其定義域上為eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814559)(B)A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．先增后減 D．先減后增[解析]∵f(x)＝3x(x∈N且x<0)，∴y＝f(－x)＝3－x＝(eq\f(1,3))x，∴函數(shù)為減函數(shù)，故選B．2．某地區(qū)重視環(huán)境保護(hù)，綠色植被面積呈上升趨勢，經(jīng)調(diào)查，從2023年到2023年這10年間每兩年上升2%,2023年和2023年種植植被815萬m2.當(dāng)?shù)卣疀Q定今后四年內(nèi)仍按這個比例發(fā)展下去，那么從2023年到2023年種植綠色植被面積為(四舍五入)eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814560)(B)A．848萬m2 B．1679萬m2C．1173萬m2 D．12494萬m2[解析]2023～2023年為815×(1＋2%)，2023～2023年為815×(1＋2%)×(1＋2%)．共為815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1679.3．不等式(eq\f(1,3))3－x2<32x(x∈N＋)的解集是_{1,2}\x(導(dǎo)學(xué)號00814561)[解析]由(eq\f(1,3))3－x2<32x得3x2－3<32x.∵函數(shù)y＝3x，x∈N＋為增函數(shù)，∴x2－3<2x，即x2－2x－3<0，∴(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.又∵x∈N＋，∴x＝1或x＝2.4．當(dāng)x∈N＋時，用“>”“<”或“＝”填空：eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814562)(eq\f(1,2))x_<__1,2x_>__1，(eq\f(1,2))x_<__2x，(eq\f(1,2))x_>__(eq\f(1,3))x,2x_<__3x.[解析]∵x∈N＋，∴(eq\f(1,2))x<1,2x>1.∴2x>(eq\f(1,2))x.又根據(jù)對其圖像的研究，知2x<3x，(eq\f(1,2))x>(eq\f(1,3))x.也可以代入特殊值比較大?。?．已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(3,27)，eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814563)(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求f(5)；(3)函數(shù)f(x)有最值嗎？若有，試求出；若無，說明原因．[解析](1)設(shè)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)為f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因為函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝3x(x∈N＋)．(2)f(5)＝35＝243.(3)因為f(x)的定義域為N＋，且在定義域上單調(diào)遞增，所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3，f(x)無最大值．6．某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為%，試解答下面的問題：eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814564)(1)寫出該城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到萬人)；(3)計算大經(jīng)多少年以后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬人(精確到1年)((1＋%)10≈，(1＋%)15≈，(1＋%)16≈?[分析]本題是增長率問題，可以分別寫第1年、第2年，依次類推得x年的解析式．[解析](1)1年后該城市人口總數(shù)為y＝100＋100×%＝100×(1＋%)；2年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋%)＋100×(1＋%)×%＝100×(1＋%)2；3年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋%)3.x年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋%)x.(2)10年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋%)10＝100×≈(萬人)．(3)令y＝120，則有100×(1＋%)x＝120，解方程可得x≈16.即大約16年后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬人．C級能力拔高截止到1999年底，我國人口約為13億，若今后能將人口年平均遞增率控制在1‰，經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)字為y(億).eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814565)(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；(2)求函數(shù)y＝f(x)的定義域；(3)判斷函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？并指出在這里函數(shù)的增、減有什么實際意義．[解析](1)1999年年底的人口數(shù)：13億；經(jīng)過1年，2000年年底的人口數(shù)：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(億)；經(jīng)過2年，2023年年底的人口數(shù)：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(億)；經(jīng)過3年，2023年年底的人口數(shù)：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(億