拋物型偏微方程

第七章解拋物型偏微分方程的差分解法穩(wěn)定性討論是差分法的重要問題。常遇到的拋物型偏微分方程有：與上一章的邊值問題不同,這些問題一般都是初值問題.基本作法：按等間隔剖分，用各離散點上的差商來近似代替該點的偏微商，把偏微分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組，進(jìn)而解出各離散點上的待求函數(shù)隨時間的變化。主要內(nèi)容§7.1簡單差分法及其不穩(wěn)定性§7.2隱格式差分法與三對角方程§7.3二維擴散方程的差分格式§7.4含時間薛定格方程的差分格式§7.1簡單差分法及其不穩(wěn)定性一、差分格式二、例設(shè)，初條件和邊界條件為：

容易檢驗，滿足微分方程(7.4)和條件(7.8)的理論解為：

現(xiàn)在，我們利用遞推式

作數(shù)值計算，并比較它與理論解(7.9)的誤差。

取空間間隔，時間間隔，時間步數(shù)為20(t=0.015)和60(t=0.045)。

當(dāng)取時，數(shù)值解與理論解的誤差很小。但當(dāng)取時，結(jié)果就變得很糟。

DO20ITER=1,NITERPOLD=0.DO30IX=1,NSTEP-1PNEW=PHI(IX)+DTH*(POLD+PHI(IX+1)-*2*PHI(IX))EXACT(X,T)=GAUSS(X,T)-GAUSS(X-1.,T)-*GAUSS(X+1.,T)POLD=PHI(IX)PHI(IX)=PNEW30CONTINUEIF(MOD(ITER,10).EQ.0)THENPRINT*,'iteration=',ITER,*'time=',ITER*DTT=ITER*DTDO40IX=1,NSTEP-1DIFF=PHI(IX)-EXACT(IX*H,T)PRINT*,'phi=',PHI(IX),'error=',DIFF40CONTINUEENDIF20CONTINUEGOTO50END71.FORPARAMETER(NSTEP=25)DIMENSIONPHI(0:NSTEP)GAUSS(X,T)=EXP(-20.*(X-.5)**2/*(1.+80*T))/SQRT(1+80*T)H=1./NSTEP50PRINT*,'Entertimestepand*totaltime(0tostop)'READ*,DT,TIMEIF(DT.EQ.0.)STOPNITER=TIME/DTDTH=DT/H**2T=0.PHI(0)=0.PHI(NSTEP)=0.DO10IX=1,NSTEP-1PHI(IX)=EXACT(IX*H,T)10CONTINUE這個差分遞推公式在超過一定條件時是不穩(wěn)定的。三、穩(wěn)定性分析。利用該算符，差分格式(7.7)可改寫成矩陣形式： (7.12)令為算符的本征函數(shù).相應(yīng)的本征本值為由于是厄密算符,所以本征值是實數(shù).由于所以有精確解而從差分格式我們有因此,只要步長選得足夠小,它近似于精確解.但當(dāng)步長過大,以至于對于最大本征值的分量這種方法就變得不穩(wěn)定.可以從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明，算符H的本征值都是正值，最大值為.為了使計算穩(wěn)定，則要求

當(dāng)時,差分格式的穩(wěn)定性條件要求

§7.2隱格式差分法與三對角方程把方程中的空間導(dǎo)數(shù)換成n+1時刻有用矩陣H并寫成矩陣形式形式解可寫成顯然，對于任意的的本征值，都會使。因此這種計算格式是穩(wěn)定的。

但上式不是顯格式而不能直接計算?，F(xiàn)討論該式的計算方法。

把代入，具體化后得

即

上式是一個三對角方程。它表明，在時刻，要求空間各格點上的場，就必須解一個三對角方程。可直接調(diào)用解三對角方程的標(biāo)準(zhǔn)程序。

使用上式編程計算的結(jié)果示于下圖中。計算結(jié)果表明，這種格式很穩(wěn)定，任取時間間隔Dt都是穩(wěn)定的這里要注意一點的是：穩(wěn)定性和準(zhǔn)確度是兩個不同的概念。即使計算是穩(wěn)定的，其準(zhǔn)確度不一定高。隨著時間的向后推移，誤差會有所增大。一般而言，要使計算精度高，應(yīng)取較小的空間間隔和時間步長?！?.3二維擴散方程的差分格式討論下述形式的二維擴散方程平面區(qū)域內(nèi)取間距為h的方形網(wǎng)格，使用§7.1定義的算符擴散方程被離散成注意到

其中略去了高階項。

從而得

再把上式改寫成

把算符的表達(dá)式代入，得兩個三對角方程組：

系數(shù)表達(dá)式與一維的表達(dá)式相同。解這兩個三對角方程組，就可向后遞推一步得新時刻的結(jié)果。容易把這個方法推廣到三維情況以及其它偏微分方程。

§7.4含時間薛定格方程的差分格式一、差分格式得隱格式：

其中

若用上式來處理，因為出現(xiàn)了復(fù)數(shù)，其穩(wěn)定范圍變小，精度也不理想。同時,波函數(shù)隨時間的演化算符不具有精確解的幺正性質(zhì).幸運的是我們發(fā)現(xiàn)則得隱格式

二、差分格式的進(jìn)一步改寫引入中間變量

得