等差數(shù)列的前n項(xiàng)和課件 【備課精講精研】 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和某倉庫堆放的一堆鋼管，怎樣計(jì)算這堆鋼管的總數(shù)呢？1＋2＋31＋2＋3＋4＋51＋2＋3＋4＋5＋6計(jì)算：1＋2＋3＋…＋2034＋2035=問題1需要抽象，需要公式！已知{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋…＋an.運(yùn)算角度：想找到一個(gè)沒有…且關(guān)于n的簡(jiǎn)單的代數(shù)式！問題1記為Sn問題：求前n個(gè)正整數(shù)的和:就是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“三角形數(shù)”.如何求呢？畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）約公元前580年—約前500年古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家f(1)＝1f(2)＝3f(3)＝6f(4)＝10f(5)＝15問題1問題：求前n個(gè)正整數(shù)的和：f(n)＝1＋2＋…＋n.目標(biāo)：將f(n)寫成關(guān)于n的簡(jiǎn)單表達(dá)式.ssstttgggiii數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會(huì)有很好地效果。——陳省身探究2已知{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋…＋an.運(yùn)算角度：歸納3f(n－1)已知{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋…＋an.形式角度：a1a1a2a1＋d……an-1a1＋d＋…＋dana1＋d＋…＋d＋dd＋d＋…＋d＋a1and＋…＋d＋a1an-1……d＋a1a2a1a1歸納3已知{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋…＋an.形式角度：結(jié)論1：a1＋an＝a2＋an-1＝…＝an＋a1；結(jié)論2：2Sn＝n(a1＋an).IIII＋I(xiàn)Ia1a1d＋d＋…＋d＋a1ana1＋ana2a1＋dd＋…＋d＋a1an-1a2＋an-1……

………an-1a1＋d＋…＋dd＋a1a2an-1＋a2ana1＋d＋…＋d＋da1a1an＋a1SnSn2Sn你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論呢？從而歸納3等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式或(和用首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)表示）(和用首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)表示）歸納3應(yīng)用4(和＝均值×項(xiàng)數(shù)）應(yīng)用4和式是寬度為1的矩形面積之和.n12345678910an33.544.555.566.577.5能否聯(lián)想到物理學(xué)中某種表示？應(yīng)用4例2.在等差數(shù)列中，完成如下問題：(1)第1項(xiàng)到第3項(xiàng)的和為3，第4項(xiàng)到第6項(xiàng)的和為6，求第7項(xiàng)到第9項(xiàng)的和;(2)第1項(xiàng)到第5項(xiàng)的和為5，第6項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為10，求第11項(xiàng)到第15項(xiàng)的和;(3)第1項(xiàng)到第4項(xiàng)的和為4，第5項(xiàng)到第8項(xiàng)的和為8，求第9項(xiàng)到第12項(xiàng)的和.91512你能發(fā)現(xiàn)什么呢？應(yīng)用4猜想：已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差數(shù)列.探索：在等差數(shù)列{an}中a1+a2+…+an，an+1+an+2+…+a2n，a2n+1+a2n+2+…+a3n，…成等差數(shù)列.成首項(xiàng)是

，公差是

的等差數(shù)列.Snn2d應(yīng)用4發(fā)現(xiàn)問題提出問題分析問題解決問題升華5問題探究抽象化歸建模歸納猜想倒序相加應(yīng)用優(yōu)化計(jì)算數(shù)據(jù)意識(shí)二次建模升華5楊輝在《詳解九章算法》(1261)提出“三角垛”：下廣一面十二個(gè)，上尖.問：計(jì)幾何？術(shù)文說：下廣加一乘之.下廣加二，乘之，立高方積，如六而一.答數(shù)：364.思考：你能用今天的研究方法加以研究嗎？楊輝，字謙光，漢族，南宋杰出的數(shù)學(xué)家升華5若n為偶數(shù)，則f(n)＝1＋2＋…＋(n－1)＋n

＝(1＋n)＋(2＋(n－1))＋…

＝分組配對(duì)若n為奇數(shù)，則f(n)＝f(n－1)

＋n

＝

＝幾何直觀n＋1列n行歸納猜想f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝6，f(4)＝10，f(5)＝15，…猜測(cè)：f(n)＝An2＋Bn＋C,解得：n12345f(n)1361015猜想正確嗎？裂項(xiàng)相消22－12＝3，32－22＝5，…(n＋1)2－n2＝2n＋1，將這n個(gè)等式的左、右分別相加，得(n＋1)2－12＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n＋1)，即2(1＋2＋…＋n)＋n＝n(n＋2)，