高中數(shù)學(xué)北師大版第二章解析幾何初步單元測試 學(xué)業(yè)分層測評20

學(xué)業(yè)分層測評(二十)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．圓x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周長等于()\r(2)π B．2πC．2eq\r(2)π D．4π【解析】圓的方程配方后可化為(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圓的半徑r＝eq\r(2)，∴周長＝2πr＝2eq\r(2)π.【答案】C2．如果過A(2,1)的直線l將圓x2＋y2－2x－4y＝0平分，則l的方程為()A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0【解析】由題意知直線l過圓心(1,2)，由兩點式可得l的方程為eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－2,1－2)，即x＋y－3＝0.【答案】A3．圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是()A．2 B．1＋eq\r(2)C．2＋eq\f(\r(2),2) D．1＋2eq\r(2)【解析】圓的方程變?yōu)?x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圓心為(1,1)，半徑為1，圓心到直線的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，∴所求的最大值為1＋eq\r(2).【答案】B4．當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，eq\r(5)為半徑的圓的方程為()A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0【解析】直線(a－1)x－y＋a＋1＝0可化為(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0，))得C(－1,2)，∴圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.【答案】C5．若Rt△ABC的斜邊的兩端點A，B的坐標(biāo)分別為(－3，0)和(7,0)，則直角頂點C的軌跡方程為()A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25【解析】線段AB的中點為(2,0)，因為△ABC為直角三角形，C為直角頂點，所以C到點(2,0)的距離為eq\f(1,2)|AB|＝5，所以點C(x，y)滿足eq\r(x－22＋y2)＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．【答案】C二、填空題6．以點A(2,0)為圓心，且經(jīng)過點B(－1,1)的圓的一般方程為______．【解析】由題意知，圓的半徑r＝|AB|＝eq\r(－1－22＋1－02)＝eq\r(10)，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝10，化為一般方程為x2＋y2－4x－6＝0.【答案】x2＋y2－4x－6＝07．已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是________．【解析】由題意知，直線y＝2x＋b過圓心，而圓心坐標(biāo)為(－1,2)，代入直線方程，得b＝4，圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1.【答案】(－∞，1)8．點P(x0，y0)是圓x2＋y2＝16上的動點，點M是OP(O為原點)的中點，則動點M的軌跡方程是________．【解析】設(shè)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y，))又P(x0，y0)在圓上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.【答案】x2＋y2＝4三、解答題9．若點A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)，D(a,1)共圓，求a的值.【導(dǎo)學(xué)號：10690062】【解】設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將A，B，C三點坐標(biāo)代入，整理得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D－E＋F＝－2，,D＋4E＋F＝－17，,4D－2E＋F＝－20，))解得D＝－7，E＝－3，F(xiàn)＝2，∴圓的方程為x2＋y2－7x－3y＋2＝0.又∵點D在圓上，∴a2＋1－7a－3＋2＝0，∴a＝0或a＝7.10．已知△ABC的邊AB長為2a，若BC邊上的中線為定長m，求頂點C的軌跡．【解】以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，則A(－a,0)，B(a,0)，設(shè)C(x，y)，BC中點D(x0，y0)，∴x0＝eq\f(x＋a,2)，y0＝eq\f(y,2)， ①∵|AD|＝m，∴(x0＋a)2＋yeq\o\al(2,0)＝m2， ②將①代入②，整理得(x＋3a)2＋y2＝4m2.∵點C不能在x軸上，∴y≠0.綜上，點C的軌跡是以(－3a,0)為圓心，以2m為半徑的圓，挖去(－3a＋2m,0)和(－3a－2m,0)兩點．[能力提升]1．若圓x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有點都在第二象限，則a的取值范圍為()A．(－∞，2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)【解析】由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圓心坐標(biāo)為(－a,2a)，半徑為2，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a<0，,2a>0，,|－a|>2，,2a>2，))解得a>2，故選D.【答案】D2．已知定點P1(－1,0)，P2(1,0)，動點M滿足|MP1|＝eq\r(2)|MP2|，則構(gòu)成△MP1P2面積的最大值是()\r(2) B．2eq\r(2)\f(2\r(3),3) D．2eq\r(3)【解析】設(shè)M(x，y)，由|MP1|＝eq\r(2)|MP2|，可得eq\r(x＋12＋y2)＝eq\r(2)eq\r(x－12＋y2)，化簡得(x－3)2＋y2＝8，即M在以(3,0)為圓心，2eq\r(2)為半徑的圓上運動，又S△MP1P2＝eq\f(1,2)·|P1P2|·|yM|＝|yM|≤2eq\r(2).故選B.【答案】B3．若點(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－2ay－4＝0的內(nèi)部(不包括邊界)，則a的取值范圍是________．【解析】∵點(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－2ay－4＝0內(nèi)部，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋12＋a－12－2aa－1－4<0，,－2a2－4×－4>0，))即2a<2，a<1.【答案】a<14．(2023·沈陽高一檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C.(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問圓C是否經(jīng)過某定點(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論．【解】(1)令x＝0，得拋物線與y軸交點是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由題意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個根為