高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明單元測(cè)試

第二章綜合素質(zhì)檢測(cè)時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．命題“所有有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601100)()A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但大前提錯(cuò)誤D．使用了“三段論”，但小前提錯(cuò)誤[答案]C[解析]大前提是錯(cuò)誤的，故選C．2．已知a<b<0，下列不等式中成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601101)()A．a(chǎn)2<b2 B．eq\f(a,b)<1C．a(chǎn)<4－b D．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)[答案]C[解析]令a＝－2，b＝－1，滿足a<b<0，則a2>b2，eq\f(a,b)＝2>1，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，選C．3．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601102)按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[答案]C[解析]歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝6n＋2.4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2、a3、a4，猜想an＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601103)()A．eq\f(2,n＋12) B．eq\f(2,nn＋1)C．eq\f(2,2n－1) D．eq\f(2,2n－1)[答案]B[解析]a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝eq\f(1,3)，a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×eq\f(1,3)，∴a3＝eq\f(1,6).a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×eq\f(1,6)，∴a4＝eq\f(1,10).由此猜想an＝eq\f(2,nn＋1).5．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3a)”，索的因應(yīng)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601104)()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c<0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0[答案]C[解析]eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，即證b2－ac<3a2.∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)．只需證(a＋c)2－ac<3a2，即證2a2－c2－ac>0，即證a2－c2＋a2－ac>0，即證(a＋c)(a－c)＋a(a－c)>0，即證(a－c)[(a＋c)＋a]>0.又b＝－(a＋c)，即證(a－c)(a－b)6．已知圓x2＋y2＝r2(r>0)的面積為S＝πr2，由此類比橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面積最有可能是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601105)()A．πa2 B．πb2C．πab D．π(ab)2[答案]C[解析]圓的方程可以看作是橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，a＝b時(shí)的情形，∵S圓＝πr2，∴類比出橢圓的面積為S＝πab.7．用反證法證明命題“如果a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601106)()A．eq\r(3,a)＝eq\r(3,b) B．eq\r(3,a)<eq\r(3,b)C．eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)且eq\r(3,a)<eq\r(3,b) D．eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)<eq\r(3,b)[答案]D[解析]eq\r(3,a)與eq\r(3,b)的大小關(guān)系包括eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)，eq\r(3,a)<eq\r(3,b)三種關(guān)系，∴eq\r(3,a)>eq\r(3,b)的反設(shè)應(yīng)為eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)<eq\r(3,b).8．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，則f2023(x)等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601107)()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx[答案]A[解析]由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以歸納出：f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以f2023(x)＝f4(x)＝sinx.9．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}，定義向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命題中真命題是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601108)()A．若?n∈N*總有cn∥bn成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列B．若?n∈N*總有cn∥bn成立，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列C．若?n∈N*總有cn⊥bn成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列D．若?n∈N*總有cn⊥bn成立，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列[答案]A[解析]∵對(duì)?n∈N*總有cn∥bn，則存在實(shí)數(shù)λ≠0，使cn＝λbn，∴an＝λn，∴{an}是等差數(shù)列．10．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對(duì)任意x1、x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)”的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601109)()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)[答案]A[解析]若滿足題目中的條件，則f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在A、B、C、D四選項(xiàng)中，由基本函數(shù)性質(zhì)知，A是減函數(shù)，故選A．11．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝b，則f(－a)等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601110)()A．b B．－bC．eq\f(1,b) D．－eq\f(1,b)[答案]B[解析]f(x)定義域?yàn)?－1,1)，f(－a)＝lgeq\f(1＋a,1－a)＝lg(eq\f(1－a,1＋a))－1＝－lgeq\f(1－a,1＋a)＝－f(a)＝－b.12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601111)()A．一定大于零 B．一定等于零C．一定小于零 D．正負(fù)都有可能[答案]A[解析]f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，由a＋b>0得a>－b，所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上)13．“因?yàn)锳C、BD是菱形ABCD的對(duì)角線，所以AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601112)[答案]菱形對(duì)角線互相垂直且平分14．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，觀察：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601113)f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.[答案]eq\f(x,2n－1x＋2n)[解析]由已知可歸納如下：f1(x)＝eq\f(x,21－1x＋21)，f2(x)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).15．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601114)①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c≠0，a·c＝b·c?a＝b”；④“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑤“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上類比得到的結(jié)論正確的是________．[答案]①②[解析]①②都正確；③⑥錯(cuò)誤，因?yàn)橄蛄坎荒芟喑虎芸捎蓴?shù)量積定義判斷，所以錯(cuò)誤；⑤向量中結(jié)合律不成立，所以錯(cuò)誤．16．觀察下列等式：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601115)1＝113＝11＋2＝313＋23＝91＋2＋3＝613＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝1013＋23＋33＋43＝1001＋2＋3＋4＋5＝1513＋23＋33＋43＋53＝225……可以推測(cè)：13＋23＋33＋…＋n3＝________.(n∈N*，用含有n的代數(shù)式表示)[答案]eq\f(n2n＋12,4)[解析]由條件可知：13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不難得出．13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[eq\f(nn＋1,2)]2＝eq\f(n2n＋12,4).三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本題滿分10分)已知a、b、c∈R＋，求證：eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601116)[解析]分析法：要證eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)，只需證：eq\f(a2＋b2＋c2,3)≥(eq\f(a＋b＋c,3))2，只需證：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，只需證：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，只需證：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而這是顯然成立的，所以eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)成立．綜合法：∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3).18．(本題滿分12分)(1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601117)(2)探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)，并加以說(shuō)明．[解析](1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列．(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an.∴等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)也相等．19．(本題滿分12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601118)(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°.(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°.(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°.(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18)°cos48°.(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25)°cos55°.①試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；②根據(jù)①的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．[解析]①選擇(2)式計(jì)算如下sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin230°＝eq\f(3,4).②三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).20．(本題滿分12分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601119)求證：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[分析]利用分析法得出c2＋a2＝b2＋ac，再利用綜合法證明其成立．[解析]要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，只需證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3.化簡(jiǎn)，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需證c2＋a2＝b2＋ac.因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，即a2＋c2－b2＝ac成立．∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．21．(本題滿分12分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92601120)(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N＋)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．[解析](1)設(shè)等差數(shù)列公差為d，則3a1＋eq\f(3×2,2)d＝9＋3eq\r(2)，解得d＝2，∴an＝1＋eq\r(2)＋(n－1)×2＝2n＋eq\r(2)－1，Sn＝eq\f(1＋\r(2)＋2n＋\r(2)－1,2)n＝n(n＋eq\r(2))．(2)bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).用反證法證明．設(shè)bn，bm，bk成等比數(shù)列(m、n、k互不相等)，則bnbk＝beq\o\al(2,m)，即(n＋eq\r(2))(k＋eq\r(2))＝(m＋