自動控制原理第三章

引言一階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差復合控制本章小結

第三章時域分析法

一、時域分析法

在時間域內，研究控制系統(tǒng)性能的方法。通過拉氏反變換，求解系統(tǒng)的微分方程，得到系統(tǒng)的時間響應；根據(jù)響應表達式和響應曲線，分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

3.1引言上升時間峰值時間最大超調（量）過渡過程時間振蕩次數(shù)反應系統(tǒng)響應速度反應系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)性，即系統(tǒng)阻尼程度動態(tài)性能指標：3.1引言

上升時間

階躍響應曲線從零首次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間稱為上升時間。若階躍響應曲線不超過穩(wěn)態(tài)值，則定義階躍響應曲線從穩(wěn)定值的10%上升到90%所需時間為上升時間。

峰值時間階躍響應曲線（超過穩(wěn)態(tài)值）到達第一個峰值所需的時間稱為峰值時間。3.1引言

3.1引言最大超調量

響應曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。即：

過渡過程時間

響應曲線開始進入并保持在誤差范圍內所需的最小時間，稱為過渡過程時間或調節(jié)時間。

振蕩次數(shù)N

在調節(jié)時間以內，階躍響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。

二、典型輸入信號

階躍函數(shù)

斜坡函數(shù)3.1引言

加速度函數(shù)

正弦函數(shù)3.1引言

單位脈沖函數(shù)3.2

一階系統(tǒng)時域分析一、一階系統(tǒng)定義

輸入信號r(t)與輸出信號c(t)的關系用一階微分方程表示的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。

3.2

一階系統(tǒng)時域分析二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量慣性時間常數(shù)3.2一階系統(tǒng)時域分析三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量四、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應3.2一階系統(tǒng)時域分析斜率瞬態(tài)分量

3.2一階系統(tǒng)時域分析五、一階系統(tǒng)的單位加速度響應

3.2一階系統(tǒng)時域分析輸出響應輸入信號

系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)。系統(tǒng)對輸入信號積分的響應，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分，而積分常數(shù)由零初始條件確定。3.3

二階系統(tǒng)時域分析一、二階系統(tǒng)定義：無阻尼振蕩頻率：阻尼比以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。3.3

二階系統(tǒng)時域分析二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應

3.3

二階系統(tǒng)時域分析（1）欠阻尼狀態(tài)其中——有阻尼振蕩頻率其中3.3

二階系統(tǒng)時域分析——振蕩周期（2）無阻尼狀態(tài)（3）臨界阻尼狀態(tài)（4）過阻尼狀態(tài)3.3

二階系統(tǒng)時域分析3.3

二階系統(tǒng)時域分析無阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼發(fā)散特征方程3.3

二階系統(tǒng)時域分析三、二階欠阻尼系統(tǒng)的動態(tài)性能指標

3.3

二階系統(tǒng)時域分析（1）上升時間（2）峰值時間（3）最大超調量（4）調整時間（5）振蕩次數(shù)N3.3

二階系統(tǒng)時域分析四、二階系統(tǒng)計算舉例

已知性能指標，求系統(tǒng)參數(shù)2.已知系統(tǒng)參數(shù)，求性能指標3.3

二階系統(tǒng)時域分析3.3

二階系統(tǒng)時域分析3.3

二階系統(tǒng)時域分析例2

3.3

二階系統(tǒng)時域分析3.3

二階系統(tǒng)時域分析例3根據(jù)過渡過程曲線確定質量M、黏性摩差系數(shù)f和彈簧剛度K的值。3.3

二階系統(tǒng)時域分析3.3

二階系統(tǒng)時域分析五、初始條件不為零時二階系統(tǒng)的時間響應零初始條件下的響應分量初始條件響應分量，又稱零輸入響應分量

當初始條件不為零時，對上式作拉氏變換：對上式作反拉氏變換：3.3

二階系統(tǒng)時域分析DATE：Saturday,February4,2023一、穩(wěn)定概念3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)所有輸入信號為零時，在非零初始條件作用下，如果系統(tǒng)的輸出信號隨時間的推移而趨于零，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。DATE：Saturday,February4,2023二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件零輸入響應：考慮初始條件：3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性輸出是系統(tǒng)閉環(huán)極點對應的運動模態(tài)的線性組合，包含4種形式：和分別表示閉環(huán)極點的實部和虛部其中，3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有特性（結構、參數(shù)），與輸入信號無關。穩(wěn)定的系統(tǒng)，輸出信號中的瞬態(tài)分量都趨于零。線性系統(tǒng)不穩(wěn)定時，輸出信號往往形成大幅值的等幅振蕩，或趨于最大值。如有閉環(huán)極點實部為零（位于虛軸上），其余極點都具有負實部，稱系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。這時系統(tǒng)輸出信號將出現(xiàn)等幅振蕩，振蕩的角頻率就是純虛根的正虛部。反之，如做等幅振蕩，可知有純虛根。3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性DATE：Saturday,February4,20233.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、勞思穩(wěn)定判據(jù)勞思表DATE：Saturday,February4,2023穩(wěn)定的必要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定特征方程不缺項，所有系數(shù)均為正值穩(wěn)定的充要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定

勞思表中第一列的各項元素均為正值3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

若勞斯表中第一列各項元素的符號有變化，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號變化的次數(shù)等于該特征方程式在S右半平面上根的個數(shù)（實部為正數(shù)的根的個數(shù)）。例1根據(jù)特征方程判斷穩(wěn)定性。解：列勞思表

第一列元素符號改變兩次，有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性例2已知系統(tǒng)框圖，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。

解閉環(huán)傳遞函數(shù)：勞思表：3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

兩種特殊情況：

1.勞思表中某一行的第一項為零，而該行其余項不全為零。列勞思表時用一個很小的正數(shù)ε來代替零元素繼續(xù)列表。3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一列元素符號改變兩次，有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2.勞思表中某一行中所有項均為零。列表時先用全零行的上一行構成輔助方程（它的根就是原方程的特殊根），再將輔助方程求導，用求導后的方程系數(shù)代替全零行，完成勞斯表的排列。勞思表第一列元素符號相同，故系統(tǒng)不含正實部的根，而含一對純虛根，可由輔助方程解出，為。系統(tǒng)做等幅振蕩，振蕩的頻率為1

3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性DATE：Saturday,February4,2023特征方程式的根在S平面上的分布情況？令S=Z-a代入原方程式中，得到以Z為變量的特征方程式。然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線S=-a右側。3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性DATE：Saturday,February4,2023是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂直S=-1的右方第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。解：勞思表為例1：3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性DATE：Saturday,February4,2023勞思表為：3.4

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念誤差：偏差：偏差信號為零時的輸出量為期望輸出當即單位反饋時，此時當，先求穩(wěn)態(tài)偏差，再求誤差信號3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差DATE：Saturday,February4,2023給定輸入引起的誤差：3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擾動輸入引起的誤差：DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差誤差的穩(wěn)態(tài)分量反映控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時跟蹤參考輸入信號或抑制擾動信號的能力，反映控制系統(tǒng)的精度，屬于穩(wěn)態(tài)性能。3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差二、穩(wěn)態(tài)誤差的求法終值定理型別法長除法當?shù)娜繕O點（原點除外）具有負實部，則3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（1）終值定理

例1r(t)=t,f(t)=-1(t)，求穩(wěn)態(tài)誤差終值。

解：3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差由勞思判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定,極點全部具有負實部DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差則，時，系統(tǒng)就為0型、1型、2型、……2、偏差傳遞函數(shù)中，s=0零點的個數(shù)代表系統(tǒng)型別1、開環(huán)傳遞函數(shù)(2)系統(tǒng)的型別與參考輸入的穩(wěn)態(tài)誤差DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差例：的值均為已知量，要使系統(tǒng)為II型，求解：1.單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)：2.單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)：DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.單位加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)：DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差以上結論是以穩(wěn)定的單位負反饋系統(tǒng)為對象，如果不是單位負反饋，則求出的是穩(wěn)態(tài)偏差。減小或消除參考輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差的方法：提高系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)和型別數(shù)。DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差例1單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

時的穩(wěn)態(tài)誤差終值。解：用勞思穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1型單位負反饋穩(wěn)定系統(tǒng)，求輸入

例2，求r(t)=1(t)時的穩(wěn)態(tài)誤差。

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)是0型穩(wěn)定系統(tǒng)，3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差解：用勞思穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

例3單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為分別求出

時的穩(wěn)態(tài)誤差終值。

解：用勞思穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1）這是1型系統(tǒng)，2）

3）這是1型系統(tǒng)，3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（3）長除法

將誤差傳遞函數(shù)的分子分母按s的升冪排列，作多項式除法：3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.5

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差例：單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為輸入信號r(t)=4+6t+3t2求穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)解：單位負反饋系統(tǒng)，偏差就是誤差

例：單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別求出輸入信號r(t)=1(t),t時的穩(wěn)態(tài)誤差的時間函數(shù)。解：單位負反饋系統(tǒng)，偏差就是誤差。