高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明單元測(cè)試【省一等獎(jiǎng)】

課時(shí)作業(yè)(11)習(xí)題課(三)作業(yè)目標(biāo)①?gòu)?fù)習(xí)鞏固綜合法、分析法在解題中的應(yīng)用．②復(fù)習(xí)鞏固反證法在解題中的應(yīng)用．作業(yè)設(shè)計(jì)限時(shí)：40分鐘滿分：90分一、選擇題：每小題5分，共30分．1．已知y＞x＞0，且x＋y＝1，那么()A．x＜eq\f(x＋y,2)＜y＜2xy B．2xy＜x＜eq\f(x＋y,2)＜yC．x＜eq\f(x＋y,2)＜2xy＜y D．x＜2xy＜eq\f(x＋y,2)＜y解析：∵y＞x＞0，且x＋y＝1，∴設(shè)y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，則eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8)，∴x＜2xy＜eq\f(x＋y,2)＜y，故選D.答案：D2．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝b，則f(－a)等于()A．b B．－b\f(1,b) D．－eq\f(1,b)解析：∵f(－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：B3．已知∠A、∠B為△ABC的內(nèi)角，則∠A＞∠B是sin∠A＞sin∠B的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，又A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA＞0，sinB＞0，∴sinA＞sinB?2RsinA＞2RsinB?a＞b?A＞B.答案：C4．已知a＞0，且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P，Q的大小關(guān)系是()A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．與a的值有關(guān)解析：當(dāng)a＞1時(shí)，a3＋1＞a2＋1，所以P＞Q；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a3＋1＜a2＋1，所以P＞Q.答案：A5．若定義在R上的二次函數(shù)f(x)＝ax2－4ax＋b在區(qū)間[0,2]上是遞增函數(shù)，且f(m)≥f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．0≤m≤4 B．0≤m≤2C．m≤0 D．m≤0或m≥4解析：∵二次函數(shù)f(x)＝ax2－4ax＋b的對(duì)稱軸為x＝2，又∵f(x)在[0,2]上是遞增函數(shù)，∴a＜0，∵f(m)≥f(0)，∴0≤m≤4.答案：A6．如果x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，則x＋y的最小值是()\f(3,2) B．2eq\r(3)－2C．1＋eq\r(3) D．2－eq\r(3)解析：由x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，則2－(x＋y)＝xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0，∴x＋y≥2eq\r(3)－2或x＋y≤－2－2eq\r(3).∵x＞0，y＞0，∴x＋y的最小值為2eq\r(3)－2.答案：B二、填空題：每小題5分，共15分．7．設(shè)e1、e2是兩個(gè)不共線的向量，eq\o(AB,\s\up15(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up15(→))＝e1＋3e2，若A、B、C三點(diǎn)共線，則k＝__________.解析：A、B、C三點(diǎn)共線，則eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(CB,\s\up15(→))，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)．∴λ＝2，k＝6.答案：68．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，則a＋b、2eq\r(ab)，a2＋b2,2ab中最大的是__________．解析：由0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，得a＋b＞2eq\r(ab)，a2＋b2＞2ab.又a＞a2，b＞b2，知a＋b＞a2＋b2，從而a＋b最大．答案：a＋b9．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是__________________________．解析：“任何三角形”的否定是“存在一個(gè)三角形”，“至少有兩個(gè)”的否定是“最多有一個(gè)”．答案：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角三、解答題：每小題15分，共45分．10．已知a＞0，b＞0，用兩種方法證明：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).證明：方法1(比較法)：因?yàn)閍＞0，b＞0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))－eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))－\r(a)))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(b))－\f(1,\r(a))))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).方法2(分析法)：要證eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需證aeq\r(a)＋beq\r(b)≥aeq\r(b)＋beq\r(a)，即證(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))≥0，因?yàn)閍＞0，b＞0，a－b與eq\r(a)－eq\r(b)同號(hào)，所以(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))≥0成立，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)成立．11．已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0＜x＜1.證明：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc.證明：要證logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc，只需要證明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))＜logx(abc)，由0＜x＜1知，只需證明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc.由基本不等式得eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)＞0，又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞eq\r(a2b2c2)＝abc.即eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc成立．∴l(xiāng)ogxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc成立．12．已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．證明：假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，又a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac