2.1空間向量的坐標(biāo)運算課件

3.1.4

空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示:如圖，設(shè)i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，且有公共起點O。對于空間任意一個向量p=OP,設(shè)點Q為點P在i,j所確定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在OQ,k所確定的平面上，存在實數(shù)z，使得OP=OQ+zk,而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前數(shù)對(x,y)，使得OQ=xi+yj.從而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO一、空間向量基本定理：:xyzkijQPO如果i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，對空間任一個向量p，存在一個有序?qū)崝?shù)組使得p=xi+yj+zk.xi,yj,zk為向量p在i,j,k上的分向量。:考慮：在空間中，如果用任意三個不共面向量a,b,c代替兩兩垂直的向量i,j,k,能得到類似的結(jié)論嗎？空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.空間所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量。:二、空間直角坐標(biāo)系單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用i,j,k表示空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底i、j、k。以點O為原點，分別以i、j、k的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O--xyz點O叫做原點，向量I、j、k都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。:在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中，對空間任一點，A,對應(yīng)一個向量OA，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使OA=xi+yj+zk在單位正交基底i,j,k中與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).:例題講解：例4、如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，P，Q是MN的三等分點。用向量OA，OB，OC表示OP和OQ。BANCOMQP:三、向量的直角坐標(biāo)運算.設(shè)那么:設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),那么AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).空間向量坐標(biāo)運算法則，關(guān)鍵是