高中數(shù)學(xué)人教B版第三章基本初等函數(shù) 高質(zhì)作品冪函數(shù)

第三章一、選擇題1．下列命題中正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號65165001)(D)A．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,1)C．若冪函數(shù)f(x)＝xa是奇函數(shù)，則f(x)是定義域上的增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限[解析]冪函數(shù)y＝x2經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，排除A；冪函數(shù)y＝x－1不經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，排除B；冪函數(shù)y＝x－1是奇函數(shù)，但它在定義域上不具有單調(diào)性，排除C，故選D．2．函數(shù)y＝(k2－k－5)x2是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號65165002)(C)A．k＝3 B．k＝－2C．k＝3或k＝－2 D．k≠3且k≠－2[解析]由冪函數(shù)的定義知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.3．如圖曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，已知n取±2，±eq\f(1,2)四個值，相應(yīng)于曲線C1、C2、C3、C4的n依次為eq\x(導(dǎo)學(xué)號65165112)(B)A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)[解析]根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，C1、C2在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，C3、C4在第一象限內(nèi)為減函數(shù)，因此排除A、C．又C1曲線下凸，所以C1、C2中n分別為2、eq\f(1,2)，然后取特殊值，令x＝2,2－eq\s\up4(\f(1,2))>2－2，∴C3、C4中n分別?。璭q\f(1,2)、－2，故選B．4．已知冪函數(shù)y＝(m2－5m－5)x2m＋1在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號65165003)(B)A．1 B．－1C．6 D．－1或6[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－5m－5＝1,2m＋1<0))，解得m＝－1.5．函數(shù)y＝x3與函數(shù)y＝xeq\s\up4(\f(1,3))的圖象eq\x(導(dǎo)學(xué)號65165004)(D)A．關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱[解析]y＝x3與y＝xeq\s\up4(\f(1,3))互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故選D．6．設(shè)函數(shù)y＝ax－2－eq\f(1,2)(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在冪函數(shù)y＝xα的圖象上，則該冪函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\x(導(dǎo)學(xué)號65165005)(C)A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)[解析]函數(shù)y＝ax－2－eq\f(1,2)(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A(2，eq\f(1,2))，又點(diǎn)A(2，eq\f(1,2))在冪函數(shù)y＝xα的圖象上，∴eq\f(1,2)＝2α，∴α＝－1.∴冪函數(shù)y＝x－1，其單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)．二、填空題7．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－eq\s\up4(\f(1,2))x>0,－2x＝0,x＋3eq\s\up4(\f(1,2))x<0))，則f{f[f(0)]}的值為\x(導(dǎo)學(xué)號65165006)[解析]當(dāng)x＝0時，f(x)＝－2，∴f(0)＝－2；當(dāng)x<0時，f(x)＝(x＋3)eq\s\up4(\f(1,2))，∴f(－2)＝(－2＋3)eq\s\up4(\f(1,2))＝1；當(dāng)x>0時，f(x)＝x－eq\s\up4(\f(1,2))，∴f(1)＝1.∴f{f[f(0)]}＝1.8．若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up4(\f(3,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up4(\f(3,5))，c＝(－2)3，則a、b、c的大小關(guān)系為__a>b>\x(導(dǎo)學(xué)號65165007)[解析]∵y＝xeq\s\up4(\f(3,5))在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up4(\f(3,5))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up4(\f(3,5))>0.又c＝(－2)3＝－8<0，∴a>b>c.三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m為何值時，f(x)(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)二次函數(shù)；(4)冪函數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號65165008)[解析](1)若f(x)為正比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1,m2＋2m≠0))，解得m＝1.(2)若f(x)為反比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1,m2＋2m≠0))，解得m＝－1.(3)若f(x)為二次函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝2,m2＋2m≠0))，解得m＝eq\f(－1±\r(13),2).(4)若f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m解得m＝－1±eq\r(2).10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(xeq\s\up4(\f(1,3))－x－eq\s\up4(\f(1,3)),5)，g(x)＝eq\f(xeq\s\up4(\f(1,3))＋x－eq\s\up4(\f(1,3)),5).eq\x(導(dǎo)學(xué)號65165009)(1)證明f(x)是奇函數(shù)，并求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)分別計算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出f(x)和g(x)對所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個等式，[解析](1)∵函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．又∵f(－x)＝eq\f(－xeq\s\up4(\f(1,3))－－x－eq\s\up4(\f(1,3)),5)＝－eq\f(xeq\s\up4(\f(1,3))－x－eq\s\up4(\f(1,3)),5)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．在(0，＋∞)上任取x1，x2，且x1<x2，則x1eq\s\up4(\f(1,3))<x2eq\s\up4(\f(1,3))，x2－eq\s\up4(\f(1,3))<x1－eq\s\up4(\f(1,3))，從而f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1eq\s\up4(\f(1,3))－x1－eq\s\up4(\f(1,3)),5)－eq\f(x2eq\s\up4(\f(1,3))－x2－eq\s\up4(\f(1,3)),5)＝eq\f(1,5)(x1eq\s\up4(\f(1,3))－x2eq\s\up4(\f(1,3)))＋eq\f(1,5)(x2－eq\s\up4(\f(1,3))－x1－eq\s\up4(\f(1,3)))<0，∴f(x)＝eq\f(xeq\s\up4(\f(1,3))－x－eq\s\up4(\f(1,3)),5)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．又∵f(x)是奇函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在(－∞，0)上也是增函數(shù)．故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)f(4)－5f(2)g(2)＝eq\f(4eq\s\up4(\f(1,3))－4－eq\s\up4(\f(1,3)),5)－5×eq\f(2eq\s\up4(\f(1,3))－2－eq\s\up4(\f(1,3)),5)×eq\f(2eq\s\up4(\f(1,3))＋2－eq\s\up4(\f(1,3)),5)＝0；f(9)－5f(3)g(3)＝eq\f(9eq\s\up4(\f(1,3))－9－eq\s\up4(\f(1,3)),5)－5×eq\f(3eq\s\up4(\f(1,3))－3－eq\s\up4(\f(1,3)),5)×eq\f(3eq\s\up4(\f(1,3))＋3－eq\s\up4(\f(1,3)),5)＝0.由此可推測出一個等式f(x2)－5f(x)g(x)＝0(x≠0證明如下：f(x2)－5f(x)g(x)＝eq\f(x2eq\s\up4(\f(1,3))－x2－eq\s\up4(\f(1,3)),5)－5×eq\f(xeq\s\up4(\f(1,3))－x－eq\s\up4