高二物理競賽周期性勢場中單電子一般特性課件

周期性勢場中單電子一般特性

kikr

(r)

u

(r)euk(r

Rn)

uk(r)（布洛赫波、布洛赫函數(shù)）（具有晶格周期性的振幅函數(shù)）周期性勢場中單電子一般特性一、布洛赫定理及證明1、布洛赫定理在單電子近似下，如果電子勢能具有晶格周期性，則滿足薛定諤方程的電子本征波函數(shù)是具有晶格周期性的調(diào)幅平面波函數(shù)：振幅函數(shù)k電子平面波，

為實矢量結(jié)論在絕熱近似、單電子近似和周期性勢場近似下，晶體多粒子體系問題轉(zhuǎn)化為求解晶格周期性勢場作用下的單電子問題：222mE

(r)

r V

(r)

(r)

V

(r)

V

(r

Rn

)

Rn

n1a1

n2a2

n3a31 2 3(n,n

,

n

0,1,2,3,)能帶論建立在上述近似基礎(chǔ)上的固體電子理論稱為固體能帶論。布洛赫定理的證明平移算符定義：T?(Rn)f(r)

f(r

Rn

)性質(zhì)：T?(Rm

)T?(Rn

)

f

(r)

T?(Rm

)

f

(r

Rn

)

f

(r

Rn

Rm

)

T?(Rn

)T?(Rm

)

f

(r)T?(Rm

)T?(Rn

)

T?(Rn

)T?(Rm

)

[T?(Rm

),T

(Rn

)]

0

（對易性）T?(Rn)T?(Rm

)

f

r

T?(Rn)

f

(r

Rm

)

f

(r

Rm

Rn

)

T?(Rm

Rn

)

f

rT?(Rn)T?(Rm)

T?(Rm

Rn

)哈密頓算符是平移算符R

n

a

n

a

n

an 1 1 2 2 3 31 2 3(n,n

,

n

0,1,2,3,)V

(r)

V

(r

Rn

)r

xi

yj

z

k

Rn

Rnxi

Rnyj

Rnzk

r

(x

R

)i

(

y

R

)

j

(z

R

)k

Rn nx ny nz哈密頓算符與任何一個平移算符對易T?(Rn)H?(r)

H?(r

Rn)

H?

(r)T?(Rn

)H?

(r)

f

(r)

H?

(r

Rn

)

f

(r

Rn

)

H?

(r)T?(Rn)

f

(r)T?(Rn

)H?

(r)

H?

(r)T?(Rn

)

[T?(Rn

),

H?

(r)]

0布洛赫定理證明根據(jù)量子力學原理，對易的算符具有共同的本征函數(shù)。設它們共同的本征函數(shù)：

r得到：H?r

(r)

E

(r)哈密頓算符的本征值T?(Rn

)

(r)

(r

Rn

)

(Rn

)

(r)平移算符的本征值

T

a

T

a

nnnnnn

r

a

a a

r

3213213213213 31 1 2 2???

Ta

T?(na

)T?(n

a

)T?(na

)

r

根據(jù)晶格平移矢量的意義，得到：T?(R )

r

T?(n

a

n

a

na

)

r

n 1 1 2 2 3 3n(R)

321321nnna

a

a(n1,

n2

,

n3

0,1,2,3,)所以：1 23

個原胞，由周期性邊界條件2、N設晶體在

a、

a

、

a

方向各有N1、N3

r

r

N1a1

r

r

N2a2

r

r

N3a3

得到：N

r

N

a

rr

1 111 11)

r

aT(N

a?N

r

N

a

rr

2 222 22)

r

aT(N

a?N

r

Na

rr

3 333 33)

r

aT(N

a?11

1Na

22

1Na

33

1Na

設：1

a

2eik1a1ik2

a2a

e3ik3

a3a

e11

1Na

22

1Na

3

1N3a

1eiN1k1a1

2

1eiN2k2

a

1eiN3k3

a3

N1k1

a1

2l1N2k2

a2

2l23 3 3 3

N

k

a

2lb1l1k1

222NN1l2k

b333bNl3k l1、l2、l3

0,1,2,得到：1 111il1

N

b

aa

e2 222Nl2i baa

e3l3e

N3

i b3

a3a

n(R)

321321nnna

a

a2 31 11b2a2

N b3a3

Nba

Ni

e

n2l2

n3l3

n1l1

令：33 221

1bNl3b Nl2b

N

l1k

3 3n

aR

n

a

n

an 1 1 2 2(n1,

n2

,

n3

0,1,2,3,)而且：得到：nn

ik

R(R)

enn

(r)

ik

R

(r

R

)

e晶格周期性勢場中，平移任意晶格平移矢量后，電子波函數(shù)相差一個模為1的相位因子。得到電子波函數(shù)

(r)

必須滿足：模為1的相位因子另一方面，對于電子平面波，其波函數(shù)：

(r)

eik

rn

(r

)ik

Rnik

r

ik

Rnik

(r

Rn

)

e

eR)

e

(r

Gh h1b1

h2b2

h3b3n

r

e

ei(k

Gh)Rni(k

Gh

)r

ik

Rni(k

Gh

)(r

Rn

)R)

e

(r

當電子波矢增加一個倒格矢，

3 3n

a對于晶體，當增加一個平移矢量，R

na

nan 1 1 2 2也滿足：nn

(r)

ik

R

(r

R

)

eh1、h

2、h

3

0，1，

2，

3，所以，晶體電子波函數(shù)是電子平面波的線性疊加：hhhh

iG

rik

r

ehk ha(k

G

)ea(k

G

)e)ri(k

G

設：hhkh

iG

ru r

a(k

G

)e而且：kkik

r

u

rekiGhhlhhhhhhhhh nhnh

u r

u r

R

riGriG

Rk n