小波動控制圖

小波動控制圖第一頁，共五十頁，2022年，8月28日CUSUM控制圖概述CUSUM控制圖的設(shè)計思想就是對數(shù)據(jù)的信息加以積累。CUSUM控制圖分別可用于計量性數(shù)據(jù)（正態(tài)分布），缺陷數(shù)（泊松分布），不合格品率（二項分布）。利用樣本數(shù)據(jù)的累積和建立控制圖最早由佩吉提出，理論基礎(chǔ)是序貫分析原理中的序貫概率比檢驗，這是一種基本的序貫檢驗法。該控制圖通過對信息的累積，將過程的小偏移累加起來，達到放大的效果，提高檢測過程小偏移的靈敏度。

第二頁，共五十頁，2022年，8月28日

對于不同的累積和控制圖，有一個基本的共同點即：首先提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，其次對假設(shè)進行檢驗并做出結(jié)論。本章所講的累積和控制圖指傳統(tǒng)意義上的累積和控制圖。構(gòu)造累積和控制圖，最關(guān)鍵的就是對所選質(zhì)量特性的描述，所以它與休哈特控制圖的基本構(gòu)建程序及應(yīng)用范圍有一定區(qū)別。在實際應(yīng)用中，用累積的統(tǒng)計值構(gòu)建的控制圖其敏感性和檢出效果要明顯強于憑單個樣本值構(gòu)建的控制圖，原因在于該圖是通過對樣本均值、樣本波動、極差等質(zhì)量特性值的累積和建立的。它也可以對屬性值進行累積。第三頁，共五十頁，2022年，8月28日7.1傳統(tǒng)的CUMSUM主要講述在樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的前提下，基于過程均值的單側(cè)檢驗和雙側(cè)檢驗的CUMSUM的構(gòu)造步驟與方法。（1）序貫概率比檢驗

序貫概率比檢驗是每次只從需檢測的一批產(chǎn)品中抽檢一個樣本的產(chǎn)品，然后根據(jù)過去抽檢的各樣本的測試結(jié)果，比較在兩種不同假時出現(xiàn)上述序貫測試結(jié)果的概率，以這兩種概率的比值（統(tǒng)計上稱為對的似然比）作為判斷的依據(jù)。如果概率比遠大于1，說明成立的可能性大；如果概率比遠小于1，說明成立的可能性大。如果兩種假設(shè)下的概率相差不大，則繼續(xù)抽檢下一個樣本，再重復(fù)上述過程，直到能明確做出接受假設(shè)為止。第四頁，共五十頁，2022年，8月28日命題1：若（為遠大于1的數(shù)），則接受；若（為遠小于1的數(shù)），則接受；若，繼續(xù)抽檢下一個樣本。A.wald對此有詳細的論述，并證明在使用時可近似取

當為真時接受的概率近似等于，其中為第一類錯誤概率；當為真時接受的概率近似等于，其中為第二類錯誤概率。

第五頁，共五十頁，2022年，8月28日（2）單側(cè)檢驗和雙側(cè)檢驗的CUMSUM建立在假設(shè)檢驗的理論基礎(chǔ)之上，分別作出原假設(shè)和備擇假設(shè)，對連續(xù)的似然比率進行檢驗步驟如下：原假設(shè)：H0：μ=μ0

備擇假設(shè)：H1：μ=μ1(μ1>μ0),

當β/(1-α)<序貫概率比〈1-β/α（7.1）時，不能作出接受或拒絕H0和H1的判斷。第六頁，共五十頁，2022年，8月28日公式7.1可用來對呈上升趨勢的均值構(gòu)造一個單側(cè)檢驗控制圖。假如我們有一組按時間順序測得的獨立樣本數(shù)據(jù)即：X1X2…Xt，且服從正態(tài)分布組且樣本方差已知為，均值未知，序貫概率比用如下公式計算：

(7.2)第七頁，共五十頁，2022年，8月28日現(xiàn)對其進行檢驗，則：△1=μ1－μ0

（7.3）St是對兩個均值平均數(shù)的偏差的累積和，如圖7.1所示。上下控制限分別根據(jù)方程7.2確定。按抽樣程序，在抽到第6個樣本點時，停止抽樣并接受H0：μ=μ0，因為樣本差的累積和超出了下控制線。同樣在第18個樣本點，接受：H1：μ=μ1

因為此時樣本點超出上控制線。

第八頁，共五十頁，2022年，8月28日-20-100-30樣本數(shù)，t+1010020累積和控制圖上控制線圖7.1連續(xù)抽樣的累積和控制圖St第九頁，共五十頁，2022年，8月28日

在單側(cè)檢驗控制圖中，可接受上限常常定為控制圖上控制限，而下控制限由于無實際意義，一般不預(yù)研究，所以圖7.1中雖然第六個點已超出下控制限也就無須采取補救措施，而第18個樣本點則相反?？傊瑔芜吙刂茍D主要研究均值向下偏移的趨勢。若需要同時對大于和小于μO的兩種情況加以研究時，我們可以借助一對單側(cè)檢驗控制圖，分別對向上和向下的變動進行研究。目標均值分別記為μ1>μO和μ2<μO，對應(yīng)的發(fā)生第二類錯誤的風險概率分別為β1和β2，發(fā)生第一類錯誤的風險概率為2α，第十頁，共五十頁，2022年，8月28日將公式（7·2）與（7·3）合并，則得出累積和上下控制線為：

(7.4)(7.5)第十一頁，共五十頁，2022年，8月28日公式（7·4）和（7·5）是樣本數(shù)t的線性函數(shù)。結(jié)果見圖7.2（a）。一般情況下無論Δ1和Δ2取何值，CUMSUM都可用于對過程進行雙邊檢驗。圖7·2（α）顯示了向上和向下兩種變動。

一般的連續(xù)抽樣的累積和控制圖模型7·2（b），圖中有三個判斷區(qū)域來接受相應(yīng)的假設(shè)：Ho：μ=μO，H１：μ=μO+Δ1，H2：μ=μO+Δ2，如陰影部分表示。當樣本累積和落到任何三個區(qū)域之一時，就停止抽樣。在控制圖中，僅僅向外擴張的上下控制線用于檢測對均值的偏離。注意：在所有情況下的累積和是偏離過程均值的累積。第十二頁，共五十頁，2022年，8月28日接受H1接受H2繼續(xù)抽樣繼續(xù)抽樣接受H0LCLUCL樣本數(shù)樣本數(shù)（a）雙側(cè)檢驗的累積和控制圖（b）連續(xù)取樣區(qū)間圖7.2雙側(cè)檢驗的累積和控制圖的不同序貫概率比的可接受區(qū)間接受H1接受H2繼續(xù)抽樣繼續(xù)抽樣接受H0LCLUCL樣本數(shù)樣本數(shù)（a）雙側(cè)檢驗的累積和控制圖（b）連續(xù)取樣區(qū)間第十三頁，共五十頁，2022年，8月28日（3）CUMSUM的V型摸板當均值向上和向下波動的幅度相同時（如：Δ1=Δ2=Δ），常常用一個V型摸板對稱的兩臂做為上下控制限來分析累積和圖。僅僅觀測一下近期數(shù)據(jù)而非全部就可以從累積和的變動中對非隨機模式做出判斷。由圖7·2（a）得出圖7·3。轉(zhuǎn)動V型摸板，使其下控制限平行于X軸，中心o作為最近數(shù)據(jù)的始點。橫軸代表時間，以此判斷何時的數(shù)據(jù)落到兩臂上。當一個或數(shù)個點被任一臂覆蓋時，表明過程均值已發(fā)生波動。當一個或數(shù)個點落被下臂覆蓋時，則表明過程均值向上波動，被上臂覆蓋，表明過程均值向下波動。第十四頁，共五十頁，2022年，8月28日圖7.3累積和控制圖的V型模板t-7tt-3樣本數(shù)累積和dф可能發(fā)生偏移的時間第十五頁，共五十頁，2022年，8月28日圖7·3描述了一個典型的CUMSUM的具體運用，圖中清晰地顯示了第t時刻樣本點的具體位置。在3—7期間，均值明顯向上移動，所以累積控制圖的優(yōu)勢就是借助該圖能夠?qū)^程均值發(fā)生變動的時間做出較準確的判斷。由β1=β2=β分別計算出：前置距離d，即：模板的頂點V到基點0的水平距離，角度Φ：即模板兩邊線UV與LV之間夾角的一半。為均值可允許的偏移量，則

第十六頁，共五十頁，2022年，8月28日

其中A稱為刻度因子，表示縱軸上一個刻度單位相當于橫軸上A個刻度單位，通常取至2間的值。第十七頁，共五十頁，2022年，8月28日

用V型模板判斷過程是否發(fā)生異常時，把透明的模板放在累積和圖上，使它的基點O與圖上剛描上的點重合，模板與累積和圖的水平軸平行。如果以前所描的點都在V型模板的兩條斜線內(nèi)，則過程沒有發(fā)生異常；

1）如果有一點碰到或被V型模板下臂覆蓋，則判斷過程平均水平異常增大；

2）如果有一點碰到或被V型模板上臂覆蓋，則判斷過程平均水平異常減小。碰到或被V型模板覆蓋的點則可能是過程發(fā)生變化的起點。第十八頁，共五十頁，2022年，8月28日（4）樣本均值的傳統(tǒng)CUMSUM前述的CUMSUM是個體計量值控制圖，而對于樣本規(guī)模為n，均值分別為（…）的獨立樣本，構(gòu)造CUMSUM的步驟為：計算上下控制限：（7.7）（7.8）第十九頁，共五十頁，2022年，8月28日其中?1=μ1–μ0，?2=μ2–μ0，Cusum統(tǒng)計量為：

V型模板的前置距離d和角?的計算公式如下：第二十頁，共五十頁，2022年，8月28日（4）樣本極差的傳統(tǒng)CUMSUM

利用樣本累積和統(tǒng)計值對過程變動進行控制類似于對連續(xù)的似然比率進行檢驗。實際應(yīng)用中，用樣本極差考查I、П類錯誤概率分別為和時，標準差σX從σ0到σ1發(fā)生的位移。由此得出V型模板兩個系數(shù)的計算公式：(7.9)第二十一頁，共五十頁，2022年，8月28日樣本累積統(tǒng)計量為：，其中：Ri為第i個樣本極差。為原假設(shè)。ω為由樣本規(guī)模決定的常數(shù)。第二十二頁，共五十頁，2022年，8月28日樣本規(guī)模，nω30.23340.18850.16060.14270.12880.11890.110100.103表7.1決定樣本極差Cusum的常數(shù)第二十三頁，共五十頁，2022年，8月28日7·3闡釋CUMSUM

由于構(gòu)成CUMSUM的樣本數(shù)據(jù)之間相互依賴，所以要研究處于控制限線數(shù)據(jù)間的非隨機因素引起的波動就存在一定的難度，也就無法利用分析休哈特均值控制圖的原則和方法分析CUSUM。原因在于圖中樣本點是對歷史數(shù)據(jù)的累積，有些點就會遠離中心線，再根據(jù)具體落點位置解釋圖形也就失去了意義。

如果一系列點隨機地排列在與中心線平行的某一位置，那么出現(xiàn)這種情況的原因很可能是中心線定位有問題。

第二十四頁，共五十頁，2022年，8月28日

一般地，當圖中出現(xiàn)幾個樣本點連續(xù)呈上升或下降趨勢時則表明過程有可能產(chǎn)生了波動；另一種發(fā)生波動的信號是圖中連續(xù)的樣本點成線性趨勢向下傾斜。圖7·5（b）出了一天中每個樣本點與平均9個樣本均值之差的累積，圖中顯示，從第72天起，每天至少出現(xiàn)三次上偏和一次下偏趨勢。而圖（a）（休哈特圖）則無法顯示該信息。由此可以看出，在檢測過程中的微小波動方面，CUMSUM的檢出功效明顯高于休哈特控制圖。第二十五頁，共五十頁，2022年，8月28日102007.5

(a)X單值圖30每天變化數(shù)樣本數(shù)，天204006080UCLX=21.00=9.50LCLX=0.00返回第二十六頁，共五十頁，2022年，8月28日4002080-207.5

(b)累積和圖（m=9）204006060累積和：樣本數(shù)，天801234第二十七頁，共五十頁，2022年，8月28日有些時候，由于計算累積和方法的差別，CUSUM也會提供錯誤信號。例如參數(shù)值m、目標均值的選擇等都可能造成控制圖錯發(fā)信號。圖7·5（c）(d)是利用不同的參照值對同一批數(shù)據(jù)構(gòu)造出的CUSUM，但對過程波動顯示出的統(tǒng)計信號卻明顯不同。

第二十八頁，共五十頁，2022年，8月28日-10-30-2010-407.5

(c)累積和圖（m=10）2000累積和：樣本數(shù)，天406080-50第二十九頁，共五十頁，2022年，8月28日20-20060-407.5

(d)累積和圖（m=9.5）204006040累積和：樣本數(shù)，天80第三十頁，共五十頁，2022年，8月28日7.4類似于休哈特圖的Cusum傳統(tǒng)的Cusum很大程度上依賴于對目標過程參數(shù)和移動檢測區(qū)間(n)的準確估計。事實上，這有時很難做到，這種情況下，最好不要隨意地選取參數(shù)值來構(gòu)造Cusum，可以利用累積和作為樣本點，按照休哈特控制圖的原理來作圖。這些圖無備擇假設(shè)。我們先討論基于個體變量值之上的過程均值控制圖。隨后我們將討論樣本均值的Shewhart-likeCusumControlCharts。第三十一頁，共五十頁，2022年，8月28日（1）Cusum能被有效地應(yīng)用于個體測量數(shù)據(jù)它通過求和或求均值來對過去的樣本數(shù)據(jù)進行總結(jié)。記t個個體觀測值為X1X2….Xt，則它們的和為：

St=∑（Xi–m）=St–1+(Xt–m)，這里m是任意參數(shù)值，通常為過程均值。St是樣本偏差的累積量。如果過程處于良好控制之下并且過程均值等于m，則CusumsSi將圍繞m波動，不顯示任何傾向。當過程向上或向下偏離m時，Si就會顯示上移或下移的趨勢，如果偏移是持續(xù)的，這種趨勢就是線形的。因此，在檢測這些圖時，要特別注意這些趨勢。第三十二頁，共五十頁，2022年，8月28日

沒有偏移的傾向，事實上累積統(tǒng)計量的均值始終圍繞一條水平直線隨機波動一般認為過程穩(wěn)定。因為是累積量，它對細微波動很敏感。傳統(tǒng)的Cusum遵循統(tǒng)計假設(shè)的思想，給出一個接受值和拒絕值以及相應(yīng)的錯誤概率。下面所講的是一種轉(zhuǎn)換方法。設(shè)個體觀測值服從均值為μx方差為σX正態(tài)分布，記個體觀測值為Xi,i=1,2…t,實行標準化得：

Zi=（Xi–μx）/σX，此時，累積統(tǒng)計量為：它服從正態(tài)分布，將它描繪在中心線為0，控制線為±3的控制圖上即可。第三十三頁，共五十頁，2022年，8月28日（2）CusumChart的制作步驟

1、收集至少k=25個個體觀測值，記：X1X2….Xk。

2、計算它們的均值和方差的估計值。

3、實行標準化求Zi。

4、對每t個樣本數(shù)據(jù)求和，t=1,2,3,…k。

sumt=∑Zi。

5、對上述值進行標準化。

6、繪制標準的Cusum圖。這里：

centerlineline=0UCL=3LCL=–37、解釋控制圖。第三十四頁，共五十頁，2022年，8月28日案例實踐下面用磨砂著色的例子中的(31—57)數(shù)據(jù)來說明標準化的csusum圖的步驟。已知：

=13.777Sx=0.1270其控制圖如7.6所示。從圖7.6中可看出，所有的累積量都在中心線之上，且呈向下傾斜的趨勢。這可能歸于如下原因：

1、樣本的均值下降致使累積和下降，反之亦然。

2、過程均值持續(xù)不明顯的波動使累積和呈現(xiàn)出向上或向下的非線性趨勢。第三十五頁，共五十頁，2022年，8月28日2-204-4樣本7.6

31-57批磨砂數(shù)據(jù)的標準化累積和控制圖每批重量的標準化的累積和UCL＝3.0LCL＝－3.0CL＝0.01020300第三十六頁，共五十頁，2022年，8月28日

3、參數(shù)估計值存在誤差。

4、受前期波動的影響。

5、由上述兩個或兩個以上原因共同作用的結(jié)果。圖7.6在中，27個數(shù)據(jù)下移趨勢十分明顯，表明有特殊的因素在起作用。為進一步說明，現(xiàn)舍棄前五個數(shù)據(jù)，重新作一新的控制圖。剩余22個樣本的均值和標準差發(fā)生了變化。新樣本的標準化控制圖如7.7所示。圖7.7顯示，新的數(shù)據(jù)點圍繞估計均值隨機波動，最后一段

基本上貼近或與中心線重合，這是因為以為中心線，同時以它作為參數(shù)造成的。第三十七頁，共五十頁，2022年，8月28日2-204-47.7調(diào)整后的36-57批磨砂數(shù)據(jù)的累積和圖標準化的累積和UCL＝3.0LCL＝－3.0CL＝0.01020300第三十八頁，共五十頁，2022年，8月28日

現(xiàn)假設(shè)由于特殊原因，表7.2中樣本點從13—17逐級增加0.5個單位重量，重新作一個控制圖見圖7.8。顯然，這些假設(shè)的偏移在圖中通過非隨機的波動傾向表現(xiàn)出來。這表明：1、cusum圖能迅速地反映均值的波動；2、cusum圖能確定波動開始產(chǎn)生的點的位置。

第三十九頁，共五十頁，2022年，8月28日2-1013-2-37.8設(shè)定幅度后36-57批磨砂數(shù)據(jù)的累積和圖標準化的累積和UCL＝3.0LCL＝－3.001020CL＝0.0均值的下降幅度為0.5均值的上升幅度為0.5第四十頁，共五十頁，2022年，8月28日

因為對cusum圖的解釋主要基于數(shù)據(jù)的可能傾向上，同真實水平關(guān)系不大，將控制線去掉，它仍然能反映明顯的變動趨勢。這使得此類控制圖適用于各種不同的數(shù)據(jù)，包括業(yè)務(wù)和管理記錄數(shù)據(jù)。第四十一頁，共五十頁，2022年，8月28日（3）類似與休哈特圖的均值累積和控制圖

在擁有按時間序列測得的樣本均值數(shù)據(jù)的情況下，可以制作累積量的休哈特控制圖。如果已知反因反映質(zhì)量特性的變量X的總體均值μx和方差σX，以及樣本均值同μx之間偏差累積和為St,且,St的均值為0，方差為，以為控制線的Csusum控制圖類似圖7.9。將累積統(tǒng)計量標準化得：

這個統(tǒng)計量近似服從標準正態(tài)分布，其控制圖的示意圖如7.10所示第四十二頁，共五十頁，2022年，8月28日10-200-10020102030St圖7.9樣本均值的累積合控制圖UCLLCL第四十三頁，共五十頁，2022年，8月28日+2-10