小波變換和多分辨率處理

小波變換和多分辨率處理第一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日參考資料教材：RafaelC.Gonzalez,etc，DigitalImageProcessing(ThirdEdition)，電子工業(yè)出版社，2010參考書籍：（美）多布著，李建平譯，小波十講，國防工業(yè)出版社，2011孫延奎著，小波變換與圖像、圖形處理技術(shù)，清華大學(xué)出版社，2012朱希安，曹林編著，小波分析及其在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用，電子工業(yè)出版社，2012第二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日“小波”（wavelet)就是一種“尺度”很小的波動，并具有時(shí)間和頻率特性。

時(shí)間A時(shí)間B什么是小波？

第三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日小波函數(shù)必須滿足以下兩個(gè)條件：小波必須是振蕩的；小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零，即是局部化的。如：圖1小波例1圖2小波例2第四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日小波變換具有良好的局部時(shí)頻聚焦特性，而被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。從數(shù)學(xué)來說是大半個(gè)世紀(jì)“調(diào)和分析”的結(jié)晶（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。小波變換是20世紀(jì)最輝煌科學(xué)成就之一。在信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘探、流體力學(xué)、電磁場、CT成象、機(jī)器視覺、故障診斷、分形、數(shù)值計(jì)算等已有重大突破。第五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日小波分析發(fā)展簡史時(shí)間標(biāo)志性事件人物1822Fourier變換，在頻域的定位最準(zhǔn)確，無任何時(shí)域定位能力。如：δ函數(shù)，時(shí)域定位完全準(zhǔn)確，頻域無任何定位能力。Fourier1910提出規(guī)范正交基。Harr1946Gabor變換(STFT)，窗函數(shù)的大小和形狀與時(shí)間和頻率無關(guān)而保持固定不變。不構(gòu)成正交基。Gabor1984提出連續(xù)小波變換。Morlet1985提出離散小波變換。Meyer,Daubecies1986Meyer證明了不可能存在時(shí)域頻域同時(shí)具有正則性的正交小波基，證明了小波的自正交性。Meyer1987統(tǒng)一了多分辨率分析和小波變換，給出了快速算法。Mallat1988Daubecies在NSF的小波專題研討會進(jìn)行了講座。Daubecies第六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日InridDaubechies于1988年最先揭示了小波變換和濾波器組(filterbanks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實(shí)。RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn)。在信號處理領(lǐng)域中，自從InridDaubechies完善了小波變換的數(shù)學(xué)理論和StephaneMallat構(gòu)造了小波分解和重構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個(gè)工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，典型的如語音信號處理、醫(yī)學(xué)信號處理、圖像信息處理等。小波理論與工程應(yīng)用

第七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日傅里葉變換與小波變換傅里葉變換的基礎(chǔ)函數(shù)是正弦函數(shù)。小波變換基于一些小型波，稱為小波，具有變化的頻率和

有限的持續(xù)時(shí)間。第八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日傅里葉變換與小波變換傅里葉變換反映的是圖像的整體特征，其頻域分析具有很好的局部性，但空間(時(shí)間)域上沒有局部化功能。與傅里葉變換相比，小波變換是空間(時(shí)間)和頻率的局部變換，它通過伸縮平移運(yùn)算對信號逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動適應(yīng)時(shí)頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)。第九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日小波變換是基于具有變化的頻率和有限持續(xù)時(shí)間的小型波進(jìn)行的。它是多分辨率理論的分析基礎(chǔ)。多分辨率理論將多種學(xué)科的技術(shù)有效地統(tǒng)一在一起，其優(yōu)勢很明顯—某種分辨率下所無法發(fā)現(xiàn)的特性在另一種分辨率下將很容易被發(fā)現(xiàn)。本章將從多分辨率的角度解釋小波變換。第十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容背景多分辨率展開一維小波變換快速小波變換二維小波變換小波包第十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容背景圖象金字塔子帶編碼哈爾變換多分辨率展開一維小波變換快速小波變換二維小波變換小波包第十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日1.背景物體的尺寸很小或者對比度不高的時(shí)候，通常采用較高的分辨率觀察。物體尺寸很大或者對比度很強(qiáng)，只需要較低的分辨率。物體尺寸有大有小，強(qiáng)弱對比度同時(shí)存在，則適合用不同的分辨率對其進(jìn)行研究。第十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，圖像是一個(gè)亮度的二維矩陣，邊界和強(qiáng)烈變化的區(qū)域局部直方圖統(tǒng)計(jì)特性不同。無法對整個(gè)圖象定義一個(gè)簡單的統(tǒng)計(jì)模型。一幅自然圖像及其直方圖的局部變化1.背景第十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日(1)圖像金字塔以多分辨率來解釋圖像的一種簡單有效的結(jié)構(gòu)。一幅圖像的金字塔是一系列以金字塔形狀排列的分辨率逐步降低的圖像集合。金字塔的底部是帶處理圖像的高分辨率表示，而頂部是低分辨率的近似。當(dāng)向金字塔的上層移動時(shí)，尺寸和分辨率就降低?；A(chǔ)級J的大小為N×N（J=log2N）頂點(diǎn)級0的大小為1×1第j級的大小為2j×2j（0jJ）共有J+1級，但是通常我們截短到P＋1級，其中1PJ第十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日J(rèn)-1級近似輸出用來建立近似值金字塔；作為金字塔基級的原始圖像和它的P級減少的分辨率近似都能直接獲取并調(diào)整；J級的預(yù)測殘差輸出用于建立預(yù)測殘差金字塔；近似值和預(yù)測殘差金字塔都通過迭代計(jì)算獲得。金字塔方框圖(1)圖像金字塔第十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日(1)圖像金字塔迭代算法初始化，原始圖象大小2J×2J，j＝Jj-1級，以2為步長進(jìn)行子抽樣，計(jì)算輸入圖像減少的分辨率近似值——j-1級近似值，生成子抽樣金字塔。對j-1級近似值進(jìn)行步長為2的內(nèi)插，并進(jìn)行過濾，生成與輸入圖像等分辨率的預(yù)測圖像。計(jì)算輸入圖像和預(yù)測圖像之間的差異，產(chǎn)生預(yù)測殘差金字塔。重復(fù)2、3、4步驟。第十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日圖象的高斯近似值金字塔，分辨率分別為：512×512，256×256，128×128，64×64。金字塔的分辨率越低，伴隨的細(xì)節(jié)越少;低分辨率圖像用于分析大的結(jié)構(gòu)或圖像的整體內(nèi)容，高分辨率圖像用于分析單個(gè)物體的特性。相應(yīng)拉普拉斯預(yù)測殘差金字塔，分辨率分別為：512×512，256×256，128×128，64×64。從低級開始通過內(nèi)插和濾波獲得高級高斯金字塔的預(yù)測殘差圖象。(1)圖像金字塔兩種圖像金字塔和它的統(tǒng)計(jì)特性。（a）高斯金字塔（近似），（b）拉普拉斯金字塔（預(yù)測殘差）(a)(b)第十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日子帶編碼也是多分辨率相關(guān)的重要圖像技術(shù)在子帶編碼中，一幅圖像被分解為一系列限帶分量的幾何，稱為子帶。子帶可以重組在一起無失真地重建原始圖象。每個(gè)子帶通過對輸入進(jìn)行帶通濾波而得到。子帶帶寬小于原始圖像帶寬，子帶可以進(jìn)行無信息損失的抽樣原始圖象的重建可以通過內(nèi)插、濾波、和疊加單個(gè)子帶來完成(2)子帶編碼第十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日系統(tǒng)輸入是一個(gè)一維的帶限時(shí)間離散信號x(n)分析濾波器h0(n)和h1(n)是半波數(shù)字濾波器，理想傳輸函數(shù)H0,H1如下圖所示。H0低通濾波，輸出x(n)的近似值H1高通濾波，輸出x(n)的高頻或細(xì)節(jié)部分綜合濾波器g0(n)和g1(n)

為重構(gòu)的結(jié)果(2)子帶編碼（a）一維子帶編碼和解碼的兩頻帶濾波器組，（b）頻譜分離特性(a)(b)第二十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日序列x(n)的Z變換時(shí)域以2為因子的抽樣對應(yīng)到Z域同樣，以2為因子的內(nèi)插對應(yīng)的變換為X(n)先抽樣再內(nèi)插得到(2)子帶編碼第二十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日系統(tǒng)輸出濾波h0(n)的輸出整理第二項(xiàng)含有－z，代表了抽樣-內(nèi)插過程帶來的混疊(2)子帶編碼第二十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日對于輸入的無失真重建，假定下列條件：矩陣表達(dá)消除混疊消除幅度失真&(2)子帶編碼分析調(diào)制矩陣第二十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日證明分析濾波器和綜合濾波器雙正交由性質(zhì)，以及奇次方相互抵消(2)子帶編碼24第二十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日將H0和G0表示成G1和H1的函數(shù)(2)子帶編碼滿足該條件的濾波器組稱為具有雙正交性第二十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日分析濾波器和綜合濾波器滿足上述條件，所以具有雙正交性(2)子帶編碼(正交鏡像濾波器)(共軛正交濾波器)完美重建濾波器族第二十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日一維濾波器用于圖像處理的二維可分離濾波器可分離濾波器首先應(yīng)用于某一維（如水平方向），在應(yīng)用于另一維（如垂直方向）

a(m,n),dV(m,n),dH(m,n)和dD(m,n)分別表示近似值、垂直細(xì)節(jié)、水平細(xì)節(jié)和圖象的對角線細(xì)節(jié)子帶(2)子帶編碼第二十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日4個(gè)8抽頭Daubechies正交濾波器的沖激響應(yīng)。(2)子帶編碼低通濾波器h0(n)的系數(shù)為：-0.01059740，0.03288301，0.03084138，-0.18703481，-0.02798376，0.63088076，0.71484657，0.23037781。其余正交濾波器參數(shù)可以通過公式計(jì)算獲得。第二十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日adHdVdD(2)子帶編碼花瓶的4頻段子帶編碼花瓶圖像從512×512到256×256子帶的近似子帶a、水平子帶dH，垂直子帶dV和對角線子帶dD

dH和dV有混疊是由于對可分辨窗口進(jìn)行抽樣造成的，可以通過綜合濾波器重建時(shí)消除。第二十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日它的基函數(shù)是最普遍也最簡單的正交小波。哈爾變換本身對稱、可分離，矩陣表示：T=HFHTF是N×N圖象矩陣，H是N×N變換矩陣，T是N×N變換的結(jié)果哈爾基函數(shù)(3)哈爾變換第三十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日N×N哈爾變換矩陣第i行包含元素hi(z)，其中z=0/N,1/N,…,(N-1)/N。例如，N=4時(shí)，k,p,q的值如右：

則，4×4變換矩陣H42×2變換矩陣H2(3)哈爾變換kpq012300110112第三十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日離散小波變換的哈爾函數(shù)64×64128×128256×256圖示為哈爾基函數(shù)對圖像的多分辨率分解，離散小波變換包含了與原始圖像相同的像素?cái)?shù)其局部統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相對穩(wěn)定，并且容易給出模型。大多數(shù)數(shù)據(jù)接近0，可以進(jìn)行大量的壓縮；原始圖象的粗和細(xì)分辨近似可以從中提取子圖象進(jìn)行重建。第三十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容背景多分辨率展開序列展開尺度函數(shù)小波函數(shù)一維小波變換快速小波變換二維小波變換小波包第三十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日2.多分辨率展開圖像金字塔、子帶編碼和哈爾變換，在數(shù)學(xué)理論多分辨率分析中扮演了重要角色。在多分辨率分析(MRA)中，尺度函數(shù)被用于建立某一函數(shù)或圖像的一系列近似值，相鄰兩近似值之間的近似度相差2倍。被稱為小波的附加函數(shù)用于對相鄰近似值之間的差異進(jìn)行編碼。第三十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日信號或函數(shù)可以分解為一系列展開函數(shù)的線性組合其中，k是有限或無限和的整數(shù)下標(biāo)，k是具有實(shí)數(shù)值的展開系數(shù)，k(x)是具有實(shí)數(shù)值的展開函數(shù)如果展開方式唯一，則任何指定的f(x)只有一個(gè)k序列與之相對應(yīng)k(x)稱為基函數(shù)展開序列{k(x)}稱為可表示這一類函數(shù)的基。(1)序列展開第三十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日可展開的函數(shù)組成了一個(gè)函數(shù)空間，被稱為展開集合的閉合跨度系數(shù)k可以通過內(nèi)積得到(1)序列展開第三十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日由于展開集合的正交性，計(jì)算有3種形式情況1：如果展開函數(shù)構(gòu)成了V的一個(gè)正交基基與它的對偶相等，則系數(shù)由基函數(shù)和原函數(shù)的內(nèi)積來計(jì)算(1)序列展開第三十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日由于展開集合的正交性，計(jì)算有3種形式情況2：

若展開函數(shù)本身不正交，而是V的正交基基函數(shù)及其對偶函數(shù)為雙正交，即系數(shù)由下式計(jì)算(1)序列展開第三十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日情況3：如果展開集合對V來說不是函數(shù)基，但是符合線性展開，那么它是一個(gè)跨度集合，對于任一f(x)∈V有一個(gè)以上αk集合。展開函數(shù)及其對偶稱為超完備或冗余。它們組成了一個(gè)框架，其中：對于某些A>0，B<∞，及所有f(x)∈V。若A=B(1)序列展開第三十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日考慮整數(shù)平移和實(shí)數(shù)二值尺度、平方可積函數(shù)

(x)組成的可展開函數(shù)集合k決定了j,k(x)在x軸的位置j決定了j,k(x)的寬度2j/2控制其高度或幅度j,k(x)的形狀隨著j發(fā)生變化，

(x)被稱為尺度函數(shù)通過選擇適當(dāng)?shù)?x)，{j,k(x)}可以決定跨度L2(R)，所有可量度的平方可積函數(shù)的集合.(2)尺度函數(shù)第四十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日定義代表任何j，k上的跨度子空間增大j，用于表示子空間函數(shù)的j,k(x)范圍變窄增加j將增加Vj的大小，將允許具有變化較小的變量和較細(xì)節(jié)函數(shù)包含在子空間中舉例說明哈爾尺度函數(shù)(2)尺度函數(shù)第四十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日單位高度單位寬度的尺度函數(shù)當(dāng)j=1時(shí)與j=0相反，展開函數(shù)更窄更密集對于左下角的函數(shù)將0，0(x)分解作為V1展開函數(shù)的和，可以得到從數(shù)學(xué)角度看，V0是V1的一個(gè)子空間，記做舉例：哈爾尺度函數(shù)第四十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日簡單尺度函數(shù)遵循多分辨率的四個(gè)基本條件MRA要求1：尺度函數(shù)對其積分變換是正交的在哈爾函數(shù)的情況下，因?yàn)闊o論什么時(shí)候只要尺度函數(shù)的值是1，其積分變換就是0，所以二者的乘積是0。哈爾函數(shù)是緊支撐的，即，除被稱為支撐區(qū)的有限區(qū)間外，函數(shù)值都為0。事實(shí)上，其支撐區(qū)是1，半開區(qū)間[0,1)外的支撐區(qū)的值是0。必須注意，當(dāng)尺度函數(shù)的支撐區(qū)大于1時(shí)。積分變換正交的要求將很難滿足。(2)尺度函數(shù)第四十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日簡單尺度函數(shù)遵循多分辨率的四個(gè)基本條件MRA要求2：由低尺度函數(shù)跨越的子空間在低尺度處嵌套在由高尺度跨越的子空間內(nèi)。(2)尺度函數(shù)V2V1V0子空間：第四十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日簡單尺度函數(shù)遵循多分辨率的四個(gè)基本條件MRA要求3：唯一包含在所有Vj中的函數(shù)是f(x)=0如果考慮可能的最粗糙的展開函數(shù)(即j=-∞)，惟一可表達(dá)的函數(shù)就是沒有信息的函數(shù)，即，(2)尺度函數(shù)第四十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日簡單尺度函數(shù)遵循多分辨率的四個(gè)基本條件MRA要求4：任何函數(shù)都可以以任意精度表示雖然在任意粗糙的分辨率下展開一個(gè)特定f(x)是幾乎不可能的，但所有可度量的、平方可積函數(shù)都可以用極限j→∞表示，即，在這些條件下，子空間Vj的展開函數(shù)可以被表述為子空間Vj+1的展開函數(shù)的加權(quán)和。(2)尺度函數(shù)第四十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

被稱為尺度函數(shù)系數(shù)；為尺度矢量任意子空間的展開函數(shù)都可以從它們自身的雙倍分辨率拷貝中得到，即從相鄰較高分辨率的空間中得到。對引用子空間V0的選擇是任意的。多分辨率分析的基礎(chǔ)，稱為改善等式、MBR等式或擴(kuò)張等式(2)尺度函數(shù)第四十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日哈爾尺度函數(shù)系數(shù)附加的簡化產(chǎn)生了Haar尺度和小波函數(shù)是不連續(xù)和緊支撐的，在支撐的有限區(qū)域外是0.舉例：哈爾尺度函數(shù)系數(shù)第四十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日給定滿足MRA要求的尺度函數(shù)，能夠定義小波函數(shù)(x)

(與它的積分變換及其二進(jìn)制尺度)，跨越了相鄰兩個(gè)尺度子空間Vj和Vj+1的差異。(3)小波函數(shù)第四十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日用尺度函數(shù)可得如果f(x)=Wj尺度函數(shù)與小波函數(shù)的關(guān)系表示空間并集Vj+1中Vj的正交補(bǔ)集是Wj，Vj中所有成員對于Wj中的所有成員都正交(3)小波函數(shù)第五十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日所有可量度的、平方可積函數(shù)空間表示為：任何小波函數(shù)可以表示為平移的雙倍分辨率尺度函數(shù)的加權(quán)和

被稱為小波函數(shù)系數(shù)；為小波向量利用小波跨越的正交補(bǔ)集空間、積分小波變換是正交的條件，可得(3)小波函數(shù)第五十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日哈爾小波函數(shù)系數(shù)哈爾尺度向量定義相應(yīng)的小波向量哈爾小波函數(shù)舉例：哈爾小波函數(shù)系數(shù)第五十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日W1比W0窄，可以標(biāo)志更細(xì)微的細(xì)節(jié)；函數(shù)展開這里V0尺度函數(shù)的近似W0小波函數(shù)舉例：哈爾小波函數(shù)系數(shù)第五十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日尺度函數(shù)(Scalingfunction,φ,phi)

—父小波函數(shù)；—近似空間（低頻）；小波函數(shù)(Waveletfunction,Ψ,psi)

—母小波函數(shù)；—細(xì)節(jié)空間（高頻）第五十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容背景多分辨率展開一維小波變換小波序列展開離散小波變換連續(xù)小波變換快速小波變換二維小波變換小波包第五十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日j0是任意開始尺度近似值或尺度系數(shù)細(xì)節(jié)或小波系數(shù)第一個(gè)和式是f(x)在尺度j0上近似第二個(gè)和式是在較高尺度jj0更細(xì)分辨率的小波函數(shù)(1)小波序列展開定義小波序列展開展開系數(shù)計(jì)算：3.一維小波變換第五十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日舉例：哈爾小波序列展開第五十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日舉例：哈爾小波序列展開第五十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日如果待展開函數(shù)是一個(gè)數(shù)字序列，得到的系數(shù)就稱為離散小波變換(DWT)對于jj0通常令j0＝0且M是2的冪(M=2J)注意：序列展開中的積分變成了求和對于雙正交函數(shù)要用對偶函數(shù)代替近似系數(shù)細(xì)節(jié)系數(shù)(2)離散小波變換第五十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日考慮4點(diǎn)離散函數(shù)：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3和f(3)=0M=4,J=2,對于x=0,1,2,3,j=0,1求和舉例：一維離散小波函數(shù)第六十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日考慮4點(diǎn)離散函數(shù)：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3和f(3)=0重構(gòu)原始函數(shù)舉例：一維離散小波函數(shù)第六十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日Morlet

小波舉例：一維離散小波函數(shù)Mexihat小波

第六十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日連續(xù)平方可積函數(shù)f(x)的連續(xù)小波變換(CWT)s和分別為尺度和變換參數(shù)當(dāng)滿足條件反連續(xù)小波變換其中是的傅里葉變換(2)連續(xù)小波變換第六十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日DWT和CWT的相似性連續(xù)變換參數(shù)取代了積分變換參數(shù)連續(xù)尺度參數(shù)s與二進(jìn)制尺度參數(shù)2j相反。連續(xù)尺度參數(shù)s出現(xiàn)在分母上，小波尺度和通常意義上的頻率定義相反0<s<1時(shí)，被壓縮或?qū)挾葴p小s>1時(shí)，擴(kuò)大或展開CWT開始展開j0=-，消除了尺度函數(shù)間的明顯關(guān)聯(lián)，函數(shù)只包括小波項(xiàng)和DWT相似，CWT可以被看成是一組變換系數(shù)，它給出f(x)與基函數(shù)集的相似性。

在連續(xù)情況下，兩個(gè)集合都是無窮的(2)連續(xù)小波變換第六十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日墨西哥草帽小波左圖函數(shù)的傅里葉變換，解釋了尺度化的小波和傅里葉頻段之間的聯(lián)系，頻譜中的兩個(gè)顯著頻段(峰值)對應(yīng)函數(shù)的兩個(gè)類高斯擾動函數(shù)根據(jù)墨西哥草帽小波完成的CWT的一部分(1s10且

100)它同時(shí)給出了時(shí)域和頻域的信息。如：當(dāng)s=1,變換在=10時(shí)達(dá)到最大值變換絕對值用黑白之間的灰度級顯示第六十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容背景多分辨率展開一維小波變換快速小波變換二維小波變換小波包第六十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日FWT是實(shí)現(xiàn)DWT的高效計(jì)算，利用相鄰尺度DWT系數(shù)之間的關(guān)系，采用類似的兩段子帶編碼方案，也稱為Mallat人字型算法。從多分辨率等式開始尺度向量h可以被看成是用來將展開成尺度為j+1的尺度函數(shù)和的“權(quán)”4.快速小波變換FWT第六十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日4.快速小波變換FWT第六十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日＝注意：DWT在尺度j的細(xì)節(jié)系數(shù)是尺度在j+1是近似值系數(shù)的函數(shù)類似的可以得到尺度為j的近似值和細(xì)節(jié)系數(shù)可以通過尺度為j+1的近似系數(shù)和時(shí)域反轉(zhuǎn)的尺度與小波向量的卷積，而后對結(jié)果進(jìn)行亞取樣來計(jì)算4.快速小波變換FWT第六十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日一個(gè)FWT分析濾波器族有h0(n)=h(-n)且h0(n)=h(-n)其中，卷積在n=2k時(shí)進(jìn)行計(jì)算，在非負(fù)偶數(shù)時(shí)刻計(jì)算卷積與以2為步長進(jìn)行過濾和抽樣的效果相同4.快速小波變換FWT第七十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日FWT分析濾波器可以迭代產(chǎn)生多階結(jié)構(gòu)。如果以高于奈奎斯特頻率的采樣率進(jìn)行采樣，該樣值是該分辨率的尺度系數(shù)的良好近似，可以作為起始的高分辨率尺度系數(shù)的輸入，即，無須小波系數(shù)。二階兩尺度FWT分析濾波器以及其頻率分離特性4.快速小波變換FWT第七十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：計(jì)算一維小波變換離散函數(shù)f(n)={1,4,-3,0}，計(jì)算基于哈爾尺度和小波函數(shù)的變換。使用小波向量第七十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：計(jì)算一維小波變換離散函數(shù)f(n)={1,4,-3,0}，計(jì)算基于哈爾尺度和小波函數(shù)的變換。使用小波向量哈爾尺度和小波向量計(jì)算序列{1,4,-3,0}的二尺度快速小波變換第七十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日通過近似值W(j,k)和W(j,k)細(xì)節(jié)系數(shù)重建f(x)的高效反變換，稱為快速小波反變換(FWT-1)使用正變換中所用的尺度和小波向量以及第j級近似值和細(xì)節(jié)系數(shù)來生成第j＋1級的近似值系數(shù)完備重建要求對于i={0,1},gi(n)=hi(-n)

即：分析濾波器和綜合濾波器在時(shí)域中是相互反轉(zhuǎn)的對于雙正交分析/綜合濾波器，不是彼此時(shí)域反轉(zhuǎn)的4.快速小波變換FWT第七十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日FWT－1的綜合濾波器族FWT－1迭代：二階或兩尺度FWT－1的綜合濾波器族Wup代表步長為2內(nèi)插第七十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：計(jì)算一維小波反變換首先對0級近似值和細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行內(nèi)插，產(chǎn)生{1,0}和{4,0}與濾波器g0(n)和g1(n)卷積結(jié)果相加產(chǎn)生W(1,n)，得到一級近似值的重建迭代運(yùn)算，重建f(x)用哈爾尺度和小波向量計(jì)算序列的兩尺度快速小波反變換第七十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日快速小波變換與FFT的比較運(yùn)算復(fù)雜性對于FWT，長度為M=2J的序列的FWT的運(yùn)算次數(shù)是O(M)

階，即：浮點(diǎn)乘法和加法(使用濾波器族)的次數(shù)與序列的長度存在這線性關(guān)系FFT需要O(MlogM)

階變換的基函數(shù)傅里葉的基函數(shù)(正弦函數(shù))保證了FFT的存在FWT的存在取決于使用的小波函數(shù)的尺度函數(shù)是否存在，以及尺度函數(shù)和相應(yīng)的小波函數(shù)的正交/雙正交性表達(dá)函數(shù)時(shí)，時(shí)間和頻率通常被作為不同的域來處理，它們之間存在這不可分割的關(guān)系例如，要得到時(shí)域有價(jià)值的信息，就要忍受頻域模糊，反之亦燃----海森伯測不準(zhǔn)原理塊不重疊是正交基函數(shù)的特點(diǎn)第七十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日FWT和FFT的比較標(biāo)準(zhǔn)時(shí)域基給出時(shí)間發(fā)生的時(shí)刻，沒有頻域信息正弦基給出時(shí)間發(fā)生的頻率但是沒有時(shí)間分辨率FWT時(shí)間和頻率分辨率是變化的低頻：塊短而寬，即有較好的頻率分辨率，對應(yīng)較差的時(shí)間分辨率高頻：塊窄而高，即有較高的時(shí)間分辨率，頻率分辨率下降取樣數(shù)據(jù)FFT基函數(shù)FWT基函數(shù)時(shí)間一頻率塊第七十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容背景多分辨率展開一維小波變換快速小波變換二維小波變換小波包第七十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日二維乘積可分離的尺度函數(shù)二維可分離方向敏感小波定義尺度和平移基函數(shù)沿列方向變化沿行方向變化沿對角線方向變化5.二維小波變換第八十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日M×N的函數(shù)f(x,y)的離散小波變換同一維DFT一樣，定義了尺度在j0的f(x,y)的近似，系數(shù)對于jj0附加了水平，垂直對角線方向的細(xì)節(jié)離散反小波變換5.二維小波變換第八十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日二維DWT可以用數(shù)字濾波器和抽樣來實(shí)現(xiàn)先取f(x,y)的行的一維FWT再用結(jié)果列的一維FWT5.二維小波變換圖7.22二維快速小波變換。（a）分析濾波器族第八十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日二維DWT可以用數(shù)字濾波器和抽樣來實(shí)現(xiàn)5.二維小波變換圖7.22二維快速小波變換。（b）分解結(jié)果兩尺度分解結(jié)果第八十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日綜合濾波器，重建過程和一維相似每一次迭代4尺度j的近似和細(xì)節(jié)圖象用兩個(gè)一維濾波器內(nèi)插和卷積5.二維小波變換圖7.22二維快速小波變換。（c）綜合濾波器族第八十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日四階對稱小波a～b分解濾波器c～d重建濾波器e一維小波函數(shù)f一維尺度函數(shù)abcdef低通重建濾波g0(n)=h(n)的系數(shù)對于0n7：0.0322，-0.0992，0.2979，0.8037，0.4976，-0.0296，-0.07585.二維小波變換第八十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：計(jì)算二維小波變換四階對稱小波三個(gè)二維小波之一,H(x,y)第八十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日5.二維小波變換3尺度FWTabcda圖:由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的128X128基于濾波器分解的一個(gè)序列b-d圖：對稱小波濾波器分解結(jié)果第八十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日前面分析的小波族稱為“對稱小波”（symlet）它們不完全對稱，但具有最小不對稱性和最高消失矩?cái)?shù)DWT尺度和小波函數(shù)表現(xiàn)為低通和高通濾波器特性，大多數(shù)基于傅里葉濾波器的技術(shù)和小波部分是等價(jià)的小波的第k階矩是。0階矩影響小波函數(shù)和尺度函數(shù)的平滑性以及多項(xiàng)式表示它們的能力。一個(gè)N階對稱小波有N個(gè)消失矩5.二維小波變換第八十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日小波在圖像處理中的用途，如在傅里葉域那樣，基本方法是：計(jì)算一幅圖像的二維小波變換修改變換計(jì)算反變換5.二維小波變換第八十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：基于小波的邊緣提取abcd

a圖消除了最低尺度近似分量，再進(jìn)行反變換得到b圖，效果是強(qiáng)調(diào)和突出了圖象的邊緣c圖將水平細(xì)節(jié)也置為0，反變換得到重建圖象d，可以孤立出垂直邊緣。圖7.25改進(jìn)的邊緣檢測DWT。（a）（c）選擇的刪去系數(shù)的兩尺度分解，（b）（d）相應(yīng)的重建第九十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：基于小波的去除噪聲基于小波的圖象去噪的過程選擇分解用的一個(gè)小波(例如：哈爾對稱小波)和級別數(shù)或尺度P。計(jì)算噪聲圖象的FWT門限化細(xì)節(jié)系數(shù)從尺度J-1到J-P選擇應(yīng)用一個(gè)門限處理細(xì)節(jié)系數(shù)硬門限實(shí)現(xiàn)，元素絕對值低于門限值則置0軟門限實(shí)現(xiàn)，元素絕對值低于門限值則置0，并且標(biāo)定非0的系數(shù)接近0，去除了硬門限固有的門限處的不連續(xù)性基于原始的近似系數(shù)，在J-P級執(zhí)行小波重建，并對J-1到J-P級改進(jìn)細(xì)節(jié)系數(shù)第九十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日對噪聲去除改進(jìn)DWTa圖：人體頭部帶噪聲MRI圖象b圖顯示了門限化細(xì)節(jié)系數(shù)后的重建圖像4階對稱小波2尺度（P＝2）全局門限94.9093c圖：最高分辨率細(xì)節(jié)置0的重建圖像e圖：兩個(gè)分解級別的細(xì)節(jié)被置0后的DWT重建d圖：在c圖重建時(shí)移去的信息包含了原圖象大多數(shù)噪聲和某些邊緣信息f圖：在e圖重建時(shí)移去的信息abcdef例：基于小波的去除噪聲第九十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容背景多分辨率展開一維小波變換快速小波變換二維小波變換小波包第九十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日快速小波變換將一個(gè)函數(shù)分解為一系列與對數(shù)相關(guān)的頻段低頻被組成窄頻段高頻被組成寬頻段想要較大的控制時(shí)頻平面的一部分，F(xiàn)WT必須有更靈活的分解——小波包產(chǎn)生過程的代價(jià)是FWT計(jì)算復(fù)雜度增加，從O(M)到O(MlogM)6.小波包第九十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日考慮兩階的濾波器族，分解過程用二叉樹表示根節(jié)點(diǎn)被賦予最高的尺度近似系數(shù)，它是函數(shù)自身的取樣葉子繼承變換的近似細(xì)節(jié)和系數(shù)細(xì)節(jié)的輸出兩尺度FWT分析族的一個(gè)系數(shù)數(shù)和分析數(shù)6.小波包第九十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日三尺度FWT分析族、分析數(shù)和相應(yīng)的頻譜三尺度FWT分析濾波框圖分解空間樹譜分離特性6.小波包第九十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日分析樹提供了多尺度小波變換的緊湊有效的方法比對應(yīng)的濾波器和基于子取樣的方框圖更容易畫，并占有較少的空間相對容易定位有效分解三階分析數(shù)提供了三種展開選擇

6.小波包第九十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日分析樹還是表示小波包的有效機(jī)理從3階FWT分析樹到3階小波包樹A表示近似濾波D表示細(xì)節(jié)濾波3階小波包樹幾乎是3階FWT的有效分解數(shù)目的3倍6.小波包第九十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日注意：平均分布的頻帶是完全小波包分解的特征。分析樹的濾波器組譜分離特性隨著擴(kuò)展的增加，基于包的變換改進(jìn)了對被分解函數(shù)的頻譜分割的控制，代價(jià)是復(fù)雜度增加第九十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日濾波器組將分解成輸出，反復(fù)迭代生成P尺度變換第一次迭代得到為適應(yīng)二維輸入特性，就要有單個(gè)小波子空間對應(yīng)系數(shù)子空間分析樹6.小波包第一百頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日三尺度、全小波包分解樹（部分）6.小波包第一百零一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：二維小波包分解指紋掃描圖象三尺度、全小波包分解為64片第一百零二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日上圖中被分解子圖象構(gòu)成8×8陣列的子帶為了達(dá)到壓縮的目的，64片分解達(dá)到某種程度優(yōu)化的可能性相對較低選擇一種更加合理的分解方式——附加代價(jià)函數(shù)測量二維函數(shù)f的熵或信息量利用代價(jià)函數(shù)將接近0值的數(shù)目最大化優(yōu)化