高二物理競(jìng)賽機(jī)械振動(dòng) 課件

簡(jiǎn)諧振動(dòng)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成與分析

實(shí)際振動(dòng)

14.1

14.2

14.3

14.4目錄基本概念

機(jī)械振動(dòng)物體在它的平衡位置附近所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。如聲源的振動(dòng)、鐘擺的擺動(dòng)等。

物體發(fā)生機(jī)械振動(dòng)的條件：物體受到始終指向平衡位置的回復(fù)力；物體具有慣性。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)理想模型。它是研究各種復(fù)雜振動(dòng)的重要基礎(chǔ)。這里主要討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例14.2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量14.2.2單擺14.2.1彈簧振子14.2.3無(wú)阻尼電磁振蕩1.彈簧振子mFFkxFFaamFFxkmw2km令

aw2xxxddt22+kmx0XFFmOOxxxxcosA()wtj+vdtdxxAsinw()wtj+avddt2wcosA()wtj+簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例2.單擺OOOOllqqmgmgMM根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律令整理得解方程得振動(dòng)周期為簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例角時(shí)擺球受力矩為則MmglqMmglsinq~sinq~q取擺幅很小q3.無(wú)阻尼電磁振蕩

G因?yàn)槎淼闷渲辛罱獾煤?jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程xxcosA()wtj+簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度時(shí)間關(guān)系vdtdxxAsinw()wtj+

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度時(shí)間關(guān)系avddt2wcosA()wtj+2wxtttXvaOOOAA2wAwxxcosA()wtj+vdtdxxAsinw(wtj+)

avddt2wcosA()wtj+0AAXv最大a0a最大v0a最大v0簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅A：x的最大絕對(duì)值,只有正值簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量XOOxOxOxOxOOvOvAA周期：T完成一次振動(dòng)需時(shí)間頻率：nT1n角頻率w：w2pn相位：在任一時(shí)刻t振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（位置和速度），就由

完全確定。初相：時(shí)刻t=0時(shí)的相位稱(chēng)為初相。()wtj+簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量XOOxOxOxOxOOvOvAAxxcosA()wtj+,()wtj+vAsinw運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要由位置和速度同時(shí)描述，而和的正負(fù)取決于

vxxvF相位：F()wtj+是界定振子在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量ttO，不是指開(kāi)始振動(dòng)，而是指開(kāi)始觀測(cè)和計(jì)時(shí)。所謂時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)xxcosAjOvAsinwjO位置速度tO初始條件即為初相：jtO是時(shí)，振子的相位。OOAAXXOjM(0)Aj初相wM(

t

)twtwM(

t

)twM(

t

)twM(

t

)M(

t

)twM(

t

)twM(T

)Tw周期

T簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法M(

t

)twM(

t

)twXOjM(0)j初相M(

t

)twAw矢量端點(diǎn)在X

軸上的投影對(duì)應(yīng)振子的位置坐標(biāo)OOt時(shí)刻的振動(dòng)相位(wt﹢j)F旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速w逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)x=A

cos(wt﹢j)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)M

作勻速圓周運(yùn)動(dòng)振子的運(yùn)動(dòng)速度（與X軸同向?yàn)檎﹙wA其速率MvvcosqvcosbwAsinvFsinjtw+()MMMAXOAAXOvwMFqbvvjtw+()F2pbObpqanMa

旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)M

的加速度為法向加速度，其大小為anw2A振子的運(yùn)動(dòng)加速度（與X軸同向?yàn)檎﹚2AaancosFcosjtw+()av任一時(shí)刻的和值，其正負(fù)號(hào)僅表示方向。va同號(hào)時(shí)為加速va異號(hào)時(shí)為減速

振子運(yùn)動(dòng)速度vAsinw()wtj+xxcosA()wtj+簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程km彈簧勁度振子質(zhì)量w振動(dòng)角頻率mk振動(dòng)系統(tǒng)：

如水平彈簧振子12Ekmv212mAsinw()wtj+222系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)勢(shì)能12212A()wtj+22EpkxxkcosE+EkEp12mw2A212kA2系統(tǒng)總能量EkEp均隨時(shí)間而變且能量相互轉(zhuǎn)換EkEp變到最大時(shí)變?yōu)榱鉋pEk系統(tǒng)的機(jī)械能E守恒。E8w2及A2特點(diǎn)變?yōu)榱阕兊阶畲髸r(shí)EkEpEEk+Ep時(shí)間

0能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量14.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成與分析14.4.114.4.2章節(jié)AB14.4.4D14.4.3CN個(gè)同頻率、同振動(dòng)方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)同頻率、相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)同頻率、同振動(dòng)方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)不同頻率，同振動(dòng)方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成14.4.1兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同頻率xx22yOX1Aj1wA2w2j2jwAjjxx1y1yxxj與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻有關(guān)合成初相分振動(dòng)初相差j12j與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻無(wú)關(guān)，但它對(duì)合成振幅屬相長(zhǎng)還是相消合成起決定作用Axx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2且相同w同在X

軸合成振動(dòng)xx1xx2xx+用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動(dòng)方程)xxcos()wtj+AAA12+A222A1A2cos(2jj1+j12arctanyxarctany+yx1+x2arctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jxx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2合振動(dòng)分振動(dòng)；xxAcos()wt+jAcos)(2jj1A12+A222A1A2+其中，合振幅2jj1若2p+k0()21,k,,...則cos2jj1()1AA12+A222A1A2++A2為合振幅可能達(dá)到的最大值若A1A1A2則AA12,若2jj10()21,k,,...則cos2jj1()-1AA12+A222A1A2為合振幅可能達(dá)到的最小值若A1A2則A2p+k(+1)A2A10,若2jj1為其它值，則處于AA2A1A2A1+與之間14.4.1兩個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成14.4.3兩個(gè)不同頻率，同振動(dòng)方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成為了突出重點(diǎn)，設(shè)兩分振動(dòng)的振幅相等且初相均為零。xx1Acoswt1coswt2Axx22pnAcost12pnAcost2+合振動(dòng)xx1xx2xx+2pnAcost12pnAcost2此合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，一般比較復(fù)雜，只介紹一種常見(jiàn)現(xiàn)象：A2t2pcosn1+n222pcosn1n22tn1n22+頻率為

的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率為

的簡(jiǎn)諧振動(dòng)n1n2214.4.3兩個(gè)不同頻率，同振動(dòng)方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成若n2n1與相差不大，n1n2n1+n2xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢變的振幅合振動(dòng)頻率相對(duì)較高的簡(jiǎn)諧振動(dòng)ttAA8Hz9Hzn1n2兩分振動(dòng)的頻率()()1秒合振動(dòng)頻率n1+n22tA2合振動(dòng)振幅（包絡(luò)線）變化的頻率稱(chēng)為nn1n21Hz“

拍頻”n8.5Hz()()例如：xxcos()wt+A1j1cos()wt2j+A2y消去

t得軌跡方程：2+xxA12y2A222A1A2xxycos()2jj1sin()2jj12該方程為橢圓的普遍方程，若2jj10或yA2A1xx得直線2p+k(),...21k,2jj1或yA2A1xx得直線若+p2p+k(),...21k,(+1)若介紹幾種特殊情況：2jj1p2+得正橢圓2+xxA12y2A22114.4.4兩個(gè)同頻率，相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成14.4.4兩個(gè)同頻率，相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)同頻率相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成圖線舉例：直線直線正橢圓正橢圓A1A2XOYXOYA2A12jj1p22jp2j10p232jj102jj1pp23或21斜橢圓斜橢圓A1YA2XOA1A2XOY2jj1p32jj1p232jp3j102jp32j10A1YA2XOA1A2XOY2jj102j0j102jj1p2jpj1014.4.4兩個(gè)不同頻率，相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成xxcos()t+A1j1cos()t2j+A2yw2w1其合運(yùn)動(dòng)一般較復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當(dāng)為兩個(gè)簡(jiǎn)單的整數(shù)之比時(shí)w2w1可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱(chēng)為李薩如圖形w1w22113322jj1p2pp234p4p5例如14.3.2n個(gè)同頻率、同振動(dòng)方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成已知14.3.2n個(gè)同頻率、同振動(dòng)方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成Textinhere分析及結(jié)果根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量合成應(yīng)為根據(jù)等腰三角形關(guān)系有因此得14.3.2n個(gè)同頻率、同振動(dòng)方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成Textinhere討論(1)各分振動(dòng)初相位相同時(shí)(2)各分振動(dòng)初相位差

,k’為不等于nk的整數(shù)(k為自然數(shù))時(shí)14.4實(shí)際振動(dòng)14.1

14.2阻尼振動(dòng)受迫共振振動(dòng)

實(shí)際振動(dòng)14.4.1阻尼振動(dòng)稱(chēng)為阻尼振動(dòng)或衰減振動(dòng)tXO振幅逐漸衰減的振動(dòng)形成阻尼振動(dòng)的原因：振動(dòng)系統(tǒng)受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動(dòng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰肯蛑車(chē)鷤鞑セ蜉椛?。以第一種原因?yàn)槔?，建立阻尼振?dòng)的力學(xué)模型。X以液體中的水平彈簧振子為例：XOOxx摩擦阻力vvfrfrffmm彈性力振動(dòng)速度不太大時(shí)受g：阻力系數(shù)摩擦阻力vgfr與反向v負(fù)號(hào)：fr彈性力fkxx振子

受m合外力Fkxxvgkxxgddtxmddtx22即ddtx22xxddtxkmgm令kmw02gmb2+w0稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率得ddtx22b2ddtx+w02xx0b稱(chēng)為阻尼系數(shù)若阻尼較弱，且w0b時(shí)，上述微分方程的解為A0exxbcos()wt+jt14.4.1阻尼振動(dòng)A0和j取決于初始狀態(tài)。w為振動(dòng)角頻率，w02b2A0exxb)+jcos(wtt為阻尼振動(dòng)的振幅，隨時(shí)間的增大而指數(shù)衰減。A0ebt越大，振幅衰減越快，且振動(dòng)周期越長(zhǎng)。bTtXOA0ebt)+jcos(wt本圖設(shè)j0T2pTw周期w02b22pA0ebt14.4.1阻尼振動(dòng)

相對(duì)較大的阻尼振動(dòng)，其振幅衰減較快，但只要滿足bbw0，振子仍可出現(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的特征，仍屬阻尼振動(dòng)。若阻尼過(guò)大，以致bw0，用此條件求解微分方程，其結(jié)果表明（數(shù)學(xué)表達(dá)從略）振子不能作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是從開(kāi)始的最大位置緩慢地回到平衡位置。此情況稱(chēng)為過(guò)阻尼。若bw0，振子從開(kāi)始的最大位置較快地回到平衡位置，并處于往復(fù)運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)。此情況稱(chēng)為臨界阻尼。臨界阻尼w0b過(guò)阻尼w0bOXt阻尼振動(dòng)w0b14.4.1阻尼振動(dòng)14.4.2受迫振動(dòng)共振

系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動(dòng)稱(chēng)為受迫振動(dòng)。建立動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)幅值角頻率pH周期性外力（強(qiáng)迫力）H彈性力fxkmmvvX平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)OO阻力阻力frfrvgvg示意costwddtx22xxddtxkmgH+costwddtx22即+kmgmddtx+xxmHcostw表成ddtx22+b2ddtx+w02xxhcos