第2章-穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.1導(dǎo)熱基本定律－－傅里葉定律2.2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫2.3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解2.4通過肋片的導(dǎo)熱2.5具有內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問題2.6多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題1第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.1導(dǎo)熱基本定律－－傅里葉定律2.1.1各類物體的導(dǎo)熱機(jī)理氣體導(dǎo)熱－－氣體分子的不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)時(shí)相互碰撞的結(jié)果。導(dǎo)電固體導(dǎo)熱－－自由電子的運(yùn)動(dòng)。非導(dǎo)電固體導(dǎo)熱－－晶格結(jié)構(gòu)振動(dòng)，即原子、分子在其平衡位置附近的振動(dòng)。液體導(dǎo)熱－－兩種觀點(diǎn)：一種認(rèn)為同氣體導(dǎo)熱；另一種認(rèn)為同非導(dǎo)電固體導(dǎo)熱。

良導(dǎo)電體也是良導(dǎo)熱體。2.1.2溫度場(chǎng)（Temperaturefield）1.定義各個(gè)時(shí)刻物體中各點(diǎn)溫度所組成的結(jié)合，又稱溫度分布。一般地說，物體的溫度場(chǎng)是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即2第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.分類按照物體中各點(diǎn)溫度是否隨時(shí)間而變化（1)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)（Steady-stateconduction）穩(wěn)態(tài)工作（各種熱力設(shè)備在持續(xù)不變的工況下的運(yùn)行）條件下的溫度場(chǎng)，物體中各點(diǎn)的溫度不隨時(shí)間變動(dòng)。

溫度分布表達(dá)式（2）非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)（Transientconduction）變動(dòng)工作（各種熱力設(shè)備在啟動(dòng)、停機(jī)、變工況時(shí)的運(yùn)行）條件下的溫度場(chǎng)。溫度分布表達(dá)式按按照物體中各點(diǎn)溫度隨空間坐標(biāo)的變化一維溫度場(chǎng)：溫度僅沿一個(gè)坐標(biāo)方向變化。二維溫度場(chǎng)：三維溫度場(chǎng)：3第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱3.表示物體的溫度場(chǎng)習(xí)慣上用等溫面或等溫線圖表示。溫度場(chǎng)中同一瞬間同溫度各點(diǎn)連成的面稱為等溫面；在任一二維平面上等溫面表現(xiàn)為等溫線。特點(diǎn)：1）物體中的任一條等溫線要么形成封閉的曲線，要么終止在物體的表面上;

2）任何兩條等溫線不相交；

3）沿等溫線（面）無熱量傳遞；

4）當(dāng)?shù)葴鼐€圖上每?jī)蓷l相鄰等溫線間的溫度間隔相等時(shí)，等溫線疏密可直觀反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊南鄬?duì)大小。4第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉（Fourier）在實(shí)驗(yàn)研究基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)熱基本規(guī)律——傅里葉定律2.1.3導(dǎo)熱基本定律(Fourier’slaw）“－”號(hào)表示熱量傳遞指向溫度降低的方向；1.傅里葉定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為物體溫度沿x軸方向的變化率。式中的2.傅里葉定律的數(shù)學(xué)文字表述：大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時(shí)間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該截面方向的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反。3.傅里葉定律的向量表達(dá)式（一般形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式)：用熱流密度矢量給出。5第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱式中，

是空間某點(diǎn)的溫度梯度；

是通過該點(diǎn)的等溫線（面）上的法向單位向量，指向溫度升高的方向；為該處的熱流密度矢量。4.溫度梯度與熱流密度矢量的關(guān)系如圖2-2（a）所示，表示了微元面積dA附近的溫度分布及垂直于該微元面積的熱流密度矢量的關(guān)系。1）熱流線定義：熱流線是一組與等溫線處處垂直的曲線，通過平面上任一點(diǎn)的熱流線與該點(diǎn)的熱流密度矢量相切。6第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2）熱流密度矢量與熱流線的關(guān)系：在整個(gè)物體中，熱流密度矢量的走向可用熱流線表示。如圖2-2（b）所示，其特點(diǎn)是相鄰兩個(gè)熱流線之間沿?zé)崃骶€所傳遞的熱流量處處相等，構(gòu)成一熱流通道。7第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.1.4導(dǎo)熱系數(shù)（Thermalconductivity）2.導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值：導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)值上等于在單位溫度梯度作用下物體內(nèi)所產(chǎn)生的熱流密度矢量的模。

4.影響導(dǎo)熱系數(shù)的因素：物質(zhì)的種類、溫度、材料成分、濕度、壓力、密度等。3.導(dǎo)熱系數(shù)的物理意義：數(shù)值表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小。

物質(zhì)的重要熱物性參數(shù)。專門實(shí)驗(yàn)測(cè)定。1.定義式8第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱5.導(dǎo)熱系數(shù)對(duì)溫度的依變關(guān)系：在工程實(shí)用計(jì)算中，在比較寬的溫度區(qū)間內(nèi)大多數(shù)工程材料都允許采用線性近似關(guān)系。9第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱導(dǎo)熱系數(shù)界定值的大小反映了一個(gè)國(guó)家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。導(dǎo)熱系數(shù)界定值越小，生產(chǎn)及節(jié)能的水平越高。把導(dǎo)熱系數(shù)小的材料稱保溫材料。我國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，凡平均溫度不高于350℃時(shí),導(dǎo)熱系數(shù)不大于0.12W/（m2K)的材料。如膨脹珍珠巖、礦渣棉、超級(jí)保溫材料（采用具有多層間隔的結(jié)構(gòu)）等。其特點(diǎn)是容積重量輕，多孔。6.保溫材料（隔熱、絕熱材料）

7.保溫材料熱量轉(zhuǎn)移機(jī)理(高效保溫材料)特點(diǎn)：蜂窩狀、多孔高溫時(shí)：(1)蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱(2)穿過微小氣孔的導(dǎo)熱更高溫度時(shí)：（1）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱 （2）穿過微小氣孔的導(dǎo)熱和輻射10第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.1.5工程導(dǎo)熱材料的一般分類1)各向同性材料各方向上的導(dǎo)熱系數(shù)相同的材料。2)各向異性材料指有些材料（木材，石墨）各向結(jié)構(gòu)不同，因此各方向上的導(dǎo)熱系數(shù)也有和大差異，這些材料稱各向異性材料。此類材料的導(dǎo)熱系數(shù)必須指明方向才有意義。8.超級(jí)保溫材料采取的方法：（1）夾層中抽真空（減少通過導(dǎo)熱而造成熱損失） （2）采用多層間隔結(jié)構(gòu)（1cm達(dá)十幾層）特點(diǎn)：間隔材料的反射率很高，減少輻射換熱，垂直于隔熱板上的導(dǎo)熱系數(shù)可達(dá)：10-4w/mk11第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫確定導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布（溫度場(chǎng)）是導(dǎo)熱理論的首要任務(wù).傅里葉定律：確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場(chǎng):2.理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+能量守恒定律（熱力學(xué)第一定律)3.假設(shè)：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)(2)熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知;(3)物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強(qiáng)度

[W/m3];內(nèi)熱源均勻分布；表示導(dǎo)熱體單位時(shí)間單位體積中內(nèi)熱源的生成熱。2.2.1導(dǎo)熱微分方程式1.定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導(dǎo)熱物體中的溫度場(chǎng)應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為導(dǎo)熱微分方程。

12第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱4.導(dǎo)熱微分方程的建立

在導(dǎo)熱體中取一微元體

（1）直角坐標(biāo)熱力學(xué)第一定律：

d時(shí)間內(nèi)微元體中：[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]+[內(nèi)熱源發(fā)熱量]=[熱力學(xué)能的增加]13第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱（1）通過x=x、y=y、z=z，三個(gè)微元表面而導(dǎo)入微元體的熱流量фx、фy、фz的計(jì)算。根據(jù)傅立葉定律得（2）通過x=x+dx、y=y+dy、z=z+dz三個(gè)微元表面而導(dǎo)出微元體的熱流量фx+dx、фy+dy、фz+dz的計(jì)算。根據(jù)傅立葉定律得：14第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱（3）對(duì)于任一微元體根據(jù)能量守恒定律，在任一時(shí)間間隔內(nèi)有以下熱平衡關(guān)系：導(dǎo)入微元體的總熱流量+微元體內(nèi)熱源的生成熱=導(dǎo)出微元體的總熱流量+微元體熱力學(xué)能（內(nèi)能）的增量（c）15第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱微元體內(nèi)能的增量

微元體內(nèi)熱源生成熱

將以上各式代入熱平衡關(guān)系式，并整理得：這是笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的一般表達(dá)式。16第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱5.幾個(gè)特例：

1）常導(dǎo)熱系數(shù)

式中，為熱擴(kuò)散率。（Thermaldiffusivity）2）常導(dǎo)熱系數(shù)，無內(nèi)熱源

3）常物性，穩(wěn)態(tài)

4）常物性，穩(wěn)態(tài)，無內(nèi)熱源

5）一維，常物性，穩(wěn)態(tài)，無內(nèi)熱源

即：

17第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱6.幾點(diǎn)說明：（1）等號(hào)左邊是單位時(shí)間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的增量（非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)）；（2）等號(hào)右邊前三項(xiàng)之和是通過界面的導(dǎo)熱使微分元體在單位時(shí)間內(nèi)增加的能量(擴(kuò)散項(xiàng))；（3）等號(hào)右邊最后項(xiàng)是源項(xiàng)；（4）若某坐標(biāo)方向上溫度不變，該方向的凈導(dǎo)熱量為零，則相應(yīng)的擴(kuò)散項(xiàng)即從導(dǎo)熱微分方程中消失。（5）導(dǎo)熱微分方程是描寫導(dǎo)熱問題共性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。求解導(dǎo)熱問題，實(shí)際上就是對(duì)導(dǎo)熱微分方程式的求解。（6）為獲得某一具體導(dǎo)熱問題的溫度分布，還必須給出用以表征該特定問題的一些附加條件18第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱（2）圓柱坐標(biāo)系（r,,z）

（3）球坐標(biāo)系（r,，）19第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.2.2定解條件

1.定義：是指使導(dǎo)熱微分方程獲得適合某一特定導(dǎo)熱問題的求解的附加條件。2.分類（1）初始條件（Initialconditions）：給出導(dǎo)熱體初始時(shí)間溫度分布。（2）邊界條件（Boundaryconditions）：給出導(dǎo)熱體邊界上溫度或換熱情況。說明：（1）非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件有兩個(gè)；（2）穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件只有邊界條件，無初始條件。3.導(dǎo)熱問題的常見邊界條件有以下三類：第一類邊界條件（Dirichlet條件）：規(guī)定了邊界上的溫度值。

最簡(jiǎn)單情形：

20第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱

最簡(jiǎn)單情形：

特例：絕熱邊界面：第二類邊界條件（Neumann條件）：規(guī)定了邊界上的熱流密度值21第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱一個(gè)具體導(dǎo)熱問題的完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程+定解條件第三類邊界條件（Robin條件）：規(guī)定了物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及流體溫度。

對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，式中表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)以及流體溫度均是時(shí)間的函數(shù)。附加兩個(gè)情形：（1）輻射邊界條件12（2）界面連續(xù)條件假定兩種材料接觸良好，在兩種材料的界面上應(yīng)該滿足以下的條件。22第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.2.3熱擴(kuò)散率的物理意義由定義式可知（1）導(dǎo)熱系數(shù)越大，在相同溫度梯度下，可以傳導(dǎo)更多的熱量。是單位體積的物體溫度升高1℃所需的熱量。

越小，溫度升高1℃所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。

由此可見，a越大，表示物體內(nèi)部各點(diǎn)溫度扯平的能力越大，因此而有熱擴(kuò)散率的名稱；從溫度的角度看，a越大表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，a也是材料傳播溫度變化能力大小的指標(biāo)，亦稱導(dǎo)溫系數(shù)。

（2）23第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.2.4導(dǎo)熱傅里葉定律和導(dǎo)熱微分方程的適用范圍1）適用于熱流密度不很高而過程作用時(shí)間足夠長(zhǎng)。同時(shí)傅立葉定律也適用該條件。2）在極短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生極大的熱流密度的熱量傳遞現(xiàn)象，如激光加工過程，不適用。3）極溫低度（接近于0K）時(shí)的導(dǎo)熱問題也不適用。24第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解本節(jié)將針對(duì)一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。直角坐標(biāo)系：2.3.1通過平壁的導(dǎo)熱1.單層平壁a幾何條件：?jiǎn)螌悠桨澹?/p>

b物理?xiàng)l件：、c、

已知；無內(nèi)熱源

c時(shí)間條件：

d邊界條件：第一類25第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱直接積分，得：根據(jù)上面的條件可寫出該導(dǎo)熱問題的完整數(shù)學(xué)描寫：帶入邊界條件：26第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的情況,因?yàn)榇藭r(shí)各截面處的熱流量處處相等。帶入Fourier定律27第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.多層平壁的導(dǎo)熱多層平壁：由幾層不同材料組成例：房屋的墻壁—白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認(rèn)為接合面上各處的溫度相等邊界條件：熱阻：28第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱由熱阻分析法：?jiǎn)枺含F(xiàn)在已經(jīng)知道了q，如何計(jì)算其中第i層的右側(cè)壁溫？第一層：

第二層：第i層：

例題一鍋爐爐墻采用密度為300kg/m3的水泥珍珠巖制作，壁厚＝120mm。已知內(nèi)壁溫度t1=500℃，外壁溫度t2=50℃，試求每平方米爐墻每小時(shí)的熱損失。29第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱假設(shè)：一維穩(wěn)態(tài)；穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。分析：此問題屬于變導(dǎo)熱系數(shù)問題。密度為300kg/m3的水泥珍珠巖的導(dǎo)熱系數(shù)為計(jì)算：30第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.3.2通過圓筒壁的導(dǎo)熱圓柱坐標(biāo)系：1.單層圓筒壁一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性：第一類邊界條件：(a)假設(shè)單管長(zhǎng)度為l，圓筒壁的外半徑小于長(zhǎng)度的1/10。31第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱對(duì)上述方程(a)積分兩次:顯然，溫度呈對(duì)數(shù)曲線分布32第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱圓筒壁內(nèi)溫度分布：圓筒壁內(nèi)溫度分布曲線的形狀？方法133第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱下面來看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況34第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.多層圓筒壁由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁，其導(dǎo)熱熱流量可按總溫差和總熱阻計(jì)算例題2-535第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.3.3通過球殼的導(dǎo)熱對(duì)于內(nèi)、外表面維持均勻恒定溫度的空心球壁的導(dǎo)熱，在球坐標(biāo)系下：溫度分布熱流量熱阻36第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.3.4帶第二類、第三類邊界條件的一維導(dǎo)熱問題如圖所示，一個(gè)電熨斗，電功率為1200W，底面豎直置于環(huán)境溫度為25℃的房間中，金屬底板厚為5mm，導(dǎo)熱系數(shù)為15W/(mK)，面積為300cm2?？紤]輻射作用在內(nèi)的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為80W/(m2K)，確定穩(wěn)態(tài)條件下底板兩表面的溫度。分析：電熨斗絕熱層的性能良好，加熱器的功率全部通過底板散到環(huán)境中去。此問題近似處理為一維平板導(dǎo)熱，底板右側(cè)處理為對(duì)流邊界條件，左側(cè)為給定熱流密度邊界條件。解：此問題的數(shù)學(xué)描寫：37第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱此問題的溫度場(chǎng)為：代入給定的數(shù)據(jù)可得結(jié)論：求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場(chǎng)，然后按Fourier定律定律獲得導(dǎo)熱熱流量。38第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.3.5變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)的一維導(dǎo)熱求：導(dǎo)熱熱流量方法：采用直接利用傅里葉導(dǎo)熱定律表達(dá)式作積分的方法，求得導(dǎo)熱熱流量。導(dǎo)熱系數(shù)一般可表示為＝（t），面積記為A（x）。對(duì)于一維問題，依據(jù)傅里葉定律，導(dǎo)熱量為分離變量后積分，有記于是結(jié)論：在工程計(jì)算中，材料導(dǎo)熱系數(shù)對(duì)溫度的依變關(guān)系為線性關(guān)系，計(jì)算時(shí)，將計(jì)算式中的導(dǎo)熱系數(shù)取用算術(shù)平均溫度下的值即可。39第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.4通過肋片的導(dǎo)熱

強(qiáng)化對(duì)流換熱的方法：增加溫差、增大表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)、增加換熱面積（方法之一——采用肋片）。1.肋片（fin）：又稱翅片，依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面。2.典型的肋片結(jié)構(gòu)。40第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱3.肋片的導(dǎo)熱特點(diǎn)：在肋片伸展的方向上有表面的對(duì)流換熱及輻射散熱（在求解中常被視為內(nèi)熱源），肋片中沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向上熱流量是不斷變化的。4.分析肋片導(dǎo)熱解決的問題（1）確定肋片的溫度沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向是如何變化的？（2）確定通過肋片的散熱熱流量有多少？41第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.4.1通過等截面直肋的導(dǎo)熱已知：矩形直肋肋基溫度為t0，且t0>t，且t0為常數(shù)求：肋片中溫度分布t

（x）和肋片的散熱量

42第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱假設(shè)（1）肋片在垂直于紙面方向(即深度方向)很長(zhǎng)，肋長(zhǎng)l>>

andH，不考慮溫度沿該方向的變化（肋長(zhǎng)方向溫度均勻），因此取一個(gè)截面（即單位長(zhǎng)度）分析；（2）材料導(dǎo)熱系數(shù)λ及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h均為常數(shù)，沿肋高方向肋片橫截面積Ac不變；

分析：嚴(yán)格地說，肋片中的溫度場(chǎng)是三維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性、第三類邊條的導(dǎo)熱問題。但由于三維問題比較復(fù)雜，故此，在忽略次要因素的基礎(chǔ)上，將問題簡(jiǎn)化為一維問題。43第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱可以從兩個(gè)方面入手：a能量守恒＋Fourierlawb例如書上第59頁(yè)（3）表面上的換熱熱阻1/h，遠(yuǎn)大于肋片的導(dǎo)熱熱阻δ/λ，即肋片上任意截面上的溫度均勻不變（認(rèn)為溫度沿厚度方向均勻）；（4）肋片頂端視為絕熱，即dt/dx=0；在上述假設(shè)條件下，把復(fù)雜的肋片導(dǎo)熱問題轉(zhuǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱如圖（b）?？梢栽O(shè)想，肋片各截面的溫度沿高度方向是逐漸降低的如圖（c）。于是導(dǎo)熱微分方程為：44第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱能量守恒：Fourier定律：Newton冷卻公式：45第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱導(dǎo)熱微分方程：邊界條件：引入過余溫度。令則有：46第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱方程的通解為：應(yīng)用邊界條件可得：最后可得等截面內(nèi)的溫度分布：47第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)條件下肋片表面的散熱量=通過肋基導(dǎo)入肋片的熱量肋端過余溫度：即x＝H48第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱幾點(diǎn)說明：(1)上述推導(dǎo)中忽略了肋端的散熱（認(rèn)為肋端絕熱）。對(duì)于一般工程計(jì)算，尤其長(zhǎng)而薄的肋片，足夠精確。若必須考慮肋端散熱，?。篐c=H+/2(2)上述分析近似認(rèn)為肋片溫度場(chǎng)為一維。當(dāng)Bi=h/0.05時(shí)，誤差小于1%。對(duì)于短而厚的肋片，二維溫度場(chǎng)，上述算式不適用；（3）實(shí)際上，肋片表面上表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h不是均勻一致的，可按其平均值來計(jì)算—數(shù)值計(jì)算。這里的長(zhǎng)短指沿肋高方向49第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱例題2－6壓氣機(jī)設(shè)備的儲(chǔ)氣筒里的空氣溫度，用一支插入裝油的鐵套管中的玻璃水銀溫度計(jì)來測(cè)量，如圖所示。已知溫度計(jì)的讀數(shù)為100℃，儲(chǔ)氣筒與溫度計(jì)套管連接處的溫度為t0=50℃，套管高H=140mm，壁厚=1mm，管材的導(dǎo)熱系數(shù)=58.2W/(m2K)。試分析：（１）溫度計(jì)的讀數(shù)能否準(zhǔn)確地點(diǎn)代表被測(cè)地點(diǎn)處的空氣溫度？（２）如果不能，分析其誤差有多大？50第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱分析：由于溫度計(jì)的感溫包與套管頂部直接接觸，可以近似認(rèn)為溫度計(jì)的讀數(shù)就是套管頂部的壁面溫度tH。溫度計(jì)套管與其四周環(huán)境之間發(fā)生著三種方式的熱量傳遞，即：（１）從套管頂端向根部的導(dǎo)熱；（２）從壓縮空氣向套管外表面的對(duì)流換熱；（３）從套管外表面向儲(chǔ)氣筒筒身的輻射換熱。穩(wěn)態(tài)時(shí)，套管從壓縮空氣獲得的熱流量正好等于套管向筒身的導(dǎo)熱及輻射換熱之和。因而，套筒的壁面溫度必然低于壓縮空氣的溫度，即存在測(cè)溫誤差。套管中每一截面上的溫度可近似認(rèn)為是相等的，因而溫度計(jì)套管可以看成是截面積為d的一等截面直肋。而所謂測(cè)量誤差就是套管頂端的過余溫度H=tH-tf，此處tf是筒內(nèi)空氣的溫度。假設(shè)：該問題可看成設(shè)是一維穩(wěn)態(tài)等截面直肋的導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)。計(jì)算：51第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱討論：測(cè)量誤差為4.7。這樣大的誤差往往是不允許的。那么怎樣才能減小測(cè)量誤差呢？采用熱阻分析法，如圖2-18所示。假設(shè)：整個(gè)溫度計(jì)套管的表面除頂端，其余為絕熱面，其對(duì)流換熱量均集中在套管的頂端。R1表示儲(chǔ)氣筒內(nèi)的空氣與溫度計(jì)套管間的對(duì)流換熱熱阻，R1＝1/hAcR2表示溫度計(jì)套管頂端至根部的導(dǎo)熱熱阻，R2＝H/（Ac）＝H/（d）R3表示儲(chǔ)氣筒外的環(huán)境空氣與儲(chǔ)氣筒之間的對(duì)流換熱熱阻，R3＝1/h∞A∞若要減小測(cè)量誤差，顯然應(yīng)盡可能減小R1，而增大R2和R3，具體措施如下：（1）強(qiáng)化套管與儲(chǔ)氣筒內(nèi)的空氣間的換熱，即減小R1（2）選用導(dǎo)熱系數(shù)更小的材料作套管，即增大R2（3）盡量增加套管高度，并減小壁厚，即增加R2（4）在儲(chǔ)氣筒外包保溫材料，即增加R3注：上例熱阻分析法中，每個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱流量不相等，僅作為定性分析。52第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.4.2肋效率1.等截面直肋的效率為了表征肋片散熱的有效程度，引進(jìn)肋效率（finefficiency）。（1）肋效率定義由此可見已知肋效率即可計(jì)算出肋片的實(shí)際換熱量。（2）應(yīng)用對(duì)于等截面直肋。53第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.其他形狀肋片的效率在工程領(lǐng)域廣泛采用多種其他形狀的肋片。表2-1常見肋片的肋效率計(jì)算式。圖2-19、2-20給出肋效率曲線。2.4.3肋片的選用與最小重量肋片采用肋片，加大了對(duì)流傳熱面積，但同時(shí)也增加了通過固體的導(dǎo)熱熱阻。增加肋片是否有利取決于肋片的導(dǎo)熱熱阻與表面對(duì)流傳熱熱阻之比。對(duì)于等截面直肋，當(dāng)時(shí)，加肋是有利的。是肋片的半厚。研究在一定的散熱量下的最小重量的肋片是很重要的。通常選用截面為三角形的肋片。例題54第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱55第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱分析：1.在垂直于紙面方向上管板的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其厚度，因而可取一個(gè)截面（即單位長(zhǎng)度）來研究；2.任意兩根相鄰冷卻水管間的吸熱板的溫度分布可以近似認(rèn)為是一樣的；3.吸熱板背面絕熱良好，因而背面相當(dāng)于對(duì)稱面；4.相鄰兩根冷卻管間的吸熱板的溫度分布顯然關(guān)于中間截面對(duì)稱，則中間截面也是一個(gè)絕熱面；5./<<1/h，因而沿著厚度方向吸熱板的溫度變化可以忽略不計(jì)。假設(shè)：太陽(yáng)能集熱器吸熱板中的溫度分布問題可簡(jiǎn)化為如圖2-25所示的等截面直肋中的導(dǎo)熱問題。推導(dǎo)：太陽(yáng)能集熱器吸熱板的導(dǎo)熱問題與邊界條件為56第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱注：此處的絕熱條件非近似假設(shè)，而是嚴(yán)格的條件。57第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.4.4接觸熱阻(Thermalcontactresistance）1.定義兩個(gè)名義上互相接觸的固體表面，實(shí)際上接觸僅發(fā)生在一些離散的面積元上，如圖所示。在未接觸的界面之間的間隙中充滿了空氣，熱量將以導(dǎo)熱的方式穿過這種氣隙層。這種情況與兩固體表面真正完全接觸相比，增加了附加的傳遞熱阻，稱為接觸熱阻。2.工程分析肋片的制作：有效地減少接觸熱阻－－采用脹管或浸鍍錫液的操作（在圓管上纏繞金屬帶以生成環(huán)肋、在管束間套以金屬薄片形成管片式換熱器。3.數(shù)值通過實(shí)驗(yàn)來測(cè)定。4.影響因素（1）材料的性質(zhì)（2）表面粗糙度（3）界面上所受的正壓力等

58第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.5具有內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

2.5.1具有內(nèi)熱源的平板導(dǎo)熱

在工程技術(shù)中有許多有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題。電器及線圈中有電流通過的發(fā)熱,化學(xué)中的放熱，吸熱反應(yīng)引起的熱傳遞；核能裝置中燃料元件的放射反應(yīng)等。以平壁中具有均勻內(nèi)熱源為例。如圖所示，確定平壁中任意一點(diǎn)x處的溫度及通過該截面處的熱流密度。由于對(duì)稱性，只研究板厚的一半即可。這一問題的數(shù)學(xué)描寫為：

59第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱對(duì)方程作兩次積分，利用邊界條件，最后可得平板中的溫度分布為

根據(jù)傅立葉定律得平板中任意位置x處的熱流密度：由此可見，（1）無內(nèi)熱源的平壁導(dǎo)熱，其內(nèi)溫度成線性分布；而有內(nèi)熱源的平壁導(dǎo)熱，其內(nèi)溫度成拋物線分布。

（2）無內(nèi)熱源的平壁導(dǎo)熱，其通過板內(nèi)任意斷面的熱流密度相等；而有內(nèi)熱源的平壁導(dǎo)熱，其通過板內(nèi)任意斷面的熱流密度不等。另當(dāng)平板兩側(cè)均為給定壁溫時(shí)，平板中的溫度分布為：

60第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱例題圖給出了核反應(yīng)堆中燃料元件散熱的一個(gè)放大的簡(jiǎn)化模型。該模型是一個(gè)三層平板組成的大平壁，中間為１＝14mm的燃料層，兩側(cè)均為２＝6mm的鋁板，層間接觸良好。燃料層有內(nèi)熱源強(qiáng)度為1.5x107W/m3的內(nèi)熱源，１＝35W/(mK)；鋁板內(nèi)無內(nèi)熱源，２＝100W/(mK)，其表面受到溫度為tf＝150℃的高壓水冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=3500W/(m2K）。不計(jì)接觸熱阻，試確定穩(wěn)態(tài)工況下燃料層的最高溫度、燃料層與鋁板的界面溫度及鋁板的表面溫度，并定型繪出簡(jiǎn)化模型中的溫度分布。

61第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱分析：由于對(duì)稱性，只要研究半個(gè)模型即可。假設(shè)：（1）一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱；（2）不計(jì)接觸熱阻；（3）內(nèi)熱源強(qiáng)度為常數(shù)。計(jì)算：討論：該題的熱阻分析從界面溫度t1開始，而不是t0開始－－因?yàn)槿剂显袃?nèi)熱源，不同x處界面的熱流量不相等。熱阻分析僅用于各界面熱流量相等的情形。62第2章穩(wěn)態(tài)熱導(dǎo)熱2.6多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2.6.1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題求解方法簡(jiǎn)述分析解法如分離變量法。