第六章 IIR數(shù)字濾波器

第6章無限沖激響應(IIR） 濾波器設計6.1濾波器的基本概念；6.2模擬低通濾波器設計；6.3沖激響應不變法；6.4雙線性Z變換法；6.5數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器設計；1.濾波原理6.1濾波器的基本概念若中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶,通過一個線性系統(tǒng)可將有效去除.分類:低通(LP),高通(HP),帶通(BP),帶阻(BS)2.濾波器的分類加法性噪聲經(jīng)典濾波器每一種又有模擬(AF)、數(shù)字(DF)兩種濾波器.對數(shù)字濾波器,從實現(xiàn)方法上,有IIR濾波器和FIR濾波器之分,轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為:FIRDF:IIRDF:現(xiàn)代濾波器維納濾波器是這類濾波器的典型代表種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預 測、自適應濾波器乘法性噪聲卷積性噪聲信號的頻譜和噪聲道頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標：從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄(又稱時間序列)中估計出信號的某些特征或信號本身。0通帶過度帶阻帶1(或)3.濾波器的技術(shù)要求低通：絕對指標分別為通帶和阻帶的容限相對指標（dB）---常用0通帶允許的最大衰減；阻帶內(nèi)應達到的最小衰減單位(dB)若幅度下降到0.707,則幅平方下降0.5（半功率點）：若幅度下降到0.01：高通：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應達到的最小衰減帶通：為帶寬。：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應達到的最小衰減帶阻：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應達到的最小衰減1.給定所設計的濾波器的技術(shù)指標：LP,HPBP,BS2.設計出一個，使?jié)M足給定的技術(shù)要求沒有考慮相位？如何設計數(shù)字濾波器設計的一般步驟:6.2模擬低通濾波器的設計一、概述上面兩式將要求的衰減和模擬濾波器的幅平方特性聯(lián)系了起來。注意，由于衰減指標只有兩個，因此也只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系。我們的目的是由幅平方特性求出模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)，如何將二者聯(lián)系起來？因為所以，由注意，由于衰減指標只有兩個，只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系，因此，幅平方特性的表達式必須簡化。將按不同的原則簡化，可得到不同形式的濾波器，即不同的表達式：1.巴特沃茲(Butterworth)濾波器稱為截止頻率，N稱為濾波器階數(shù)。2.切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器其中3.切比雪夫II型濾波器：Jacobian函數(shù)本課程只討論Butterworth和Chebyshev-I濾波器的設計（二者都是全極點型）4.橢圓濾波器由有二、Butterworth濾波器的設計

1.確定截止頻率和濾波器階數(shù)N：分別將，代入得：兩式的比為(i)(ii)(6.1)則可以是以下區(qū)間的任意數(shù)值由式(i),(ii)可分別得到(6.2)2.確定求極點：令則有或?qū)懗杉?N個極點均勻分布在s平面半徑為的圓上，取左半平面的N個賦予，右半平面的N個賦予對有：所求的傳遞函數(shù)為在虛軸上和右半平面內(nèi)無極點，因果穩(wěn)定。(6.4)注意:（1）將成對共軛極點對應的兩個因子相乘，可將傳遞函數(shù)化成實系數(shù)二階網(wǎng)絡級聯(lián)結(jié)構(gòu).（2）指標，的單位是：弧度/秒；若給定頻率（Hz）指標，利用公式化成角頻率。(6.3)3.巴特沃思濾波器幅頻響應的特點:（2）.當時，“最平”幅頻響應濾波器.（4）.當時，單調(diào)減少，衰減速度比通帶快，N越大，衰減越快。例8.1(P292)例8.3(p296)給定如下技術(shù)指標，設計模擬低通Butterworth濾波器習題P8.1(P365)切比雪夫多項式：當三、切比雪夫I型模擬低通濾波器設計令：兩式相加得遞推公式：由定義可知：由遞推公式知確是的多項式。首項系數(shù)是由定義有設計步驟：2.求和注意：因此：時，切比雪夫多項式要重新定義，采用雙曲函數(shù)：求n要利用另外的條件：必須不大于1其中在這種定義下得到的仍為多項式且與有相同形式。將代入得到注意到則有即其中d，k分別為定義過的判別因子和選擇性因子。3.確定求根其中令可得注：最后導出：切比雪夫濾波器的極點分布

反映了實際頻率最后得到轉(zhuǎn)移函數(shù)為：思考題：以例8.5為例按上述關(guān)鍵步驟編寫Matlab程序求切比雪夫I型低通濾波器的傳遞函數(shù)。6.3用沖激響應不變法設計IIRDF頻率變換復平面映射模擬低通設計數(shù)字濾波器設計步驟:由s平面到z平面：時域：復頻域：雙邊Laplace變換

對離散信號做拉普拉斯變換令：即：這是抽樣信號的L變換與z-變換之間的關(guān)系。而z平面與s平面之間的映射關(guān)系為映射關(guān)系討論：令則由（為方便可以用T代替Ts）有由指數(shù)函數(shù)的周期性有s平面每一條寬度為的左半帶形區(qū)域都重疊映射到z平面的單位圓內(nèi)。非帶限信號會產(chǎn)生頻率混疊。利用上一節(jié)的方法，可設計出模擬濾波器獲得數(shù)字濾波器H(z)最直接的方法可以如下：利用：？但這樣做，將不再是的有理多項式，給極－零分析帶來困難。令：沖激響應不變法模擬濾波器的沖激響應數(shù)字濾波器的單位抽樣響應若則其拉氏逆變換為在因果穩(wěn)定的前提下就有注：用歐拉公式將正弦函數(shù)換成指數(shù)函數(shù)再求和。步驟:缺點:？線性轉(zhuǎn)換關(guān)系例6.3設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試用沖擊響應不變法,設計IIR數(shù)字濾波器.解:G(s)有兩個一級極點s1=-1,s2=-3,故所求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為6.4用分式線性映射(雙線性變換)法設計IIRDF做正切變換實現(xiàn)頻率壓縮則注意到則有雙線性變換關(guān)系：將