第四章導熱問題數(shù)值解法

第四章導熱問題的數(shù)值解法數(shù)值解法有限差分：物理概念明確實施方法簡便邊界元法：將力學中的微分方程的定解問題化為邊界積分方程的定解問題，再通過邊界的離散化與待定函數(shù)的分片插值求解有限元法：將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導數(shù)在單元各節(jié)點的數(shù)值插值函數(shù)來表達。從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。是在微分方程中用差商代替偏導數(shù)，得到相應(yīng)的差分方程，通過解差分方程得到微分方程解的近似值§4-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想數(shù)值求解基本思想：

把原來在時間、空間坐標系中連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點上被求物理量的值。這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。yxnNM§4-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想具體作法：1）建立控制方程及定解條件2）區(qū)域離散(連續(xù)域離散成不連續(xù)節(jié)點)3）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程4）求解代數(shù)方程組5）解的分析前處理后處理xyxynNmM(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)§4-2穩(wěn)態(tài)導熱的有限差分法研究問題：二維、矩形、無內(nèi)熱源、常物性、穩(wěn)態(tài)導熱。1區(qū)域離散節(jié)點：（m,n）空間步長：△

x，△y當△

x=△y均勻網(wǎng)格單元，控制容積←→（m，n）網(wǎng)格線：△x，△y任意2建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程兩種方法物理法（能量守恒）數(shù)學法1）內(nèi)節(jié)點（m，n）由能量守恒：凈導入微元體熱量=0xynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)由能量守恒：凈導入微元體熱量=0時：2）邊界節(jié)點a）平直邊界上的節(jié)點（m，n）凈導入（m,n）單元體熱量由能量守恒：對流流入（m,n）單元熱量+=0xynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)h,tfb）外部角點（m，n）凈導入（m,n）單元體熱量由能量守恒：對流流入（m,n）單元熱量+=0xynm(m,n)(m,n-1)(m-1,n)h,tf時：xynm(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)(m,n+1)(m,n)c）內(nèi)部角點（m，n）凈導入（m,n）單元體熱量由能量守恒：對流流入（m,n）單元熱量+=0h,tf時：3

代數(shù)方程的求解求解方法直接：（高斯消元）迭代：（高斯—賽德爾迭代法）迭代法：假設(shè)初值，迭代初場，重復迭代判據(jù)：當停止迭代網(wǎng)格的無關(guān)性1.判斷2.在其它條件相同的情況下，判斷下列哪種情況先達到熱平衡3.在其它條件相同的情況下，判斷下列哪種情況先達到熱平衡λ1=236w/mK;ρ=2710ke/m3;Cp=902J/kgK。λ1=39.2w/mK;ρ=7570ke/m3;Cp=470J/kgK。4.試述Fo,Bi的物理意義。λ1λ2t3t2t1δδxtδδxt0h,tfh,tfδδλ1，λ2誰大？§4-3非穩(wěn)態(tài)導熱的數(shù)值解法1區(qū)域離散化（空間、時間）x為空間坐標，將區(qū)域劃分N-1等份，得N個節(jié)點。

i為時間坐標，將時間坐標上計算域劃分I個節(jié)點，I-1等份。xτiInN(n,i)(n,i+1)(n,i-1)(n+1,i)(n-1,i)一維、非穩(wěn)態(tài)時間步長2建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程物理法——熱平衡法非穩(wěn)態(tài)的離散有三種格式向前差分向后差分中心差分以一維問題為例內(nèi)部節(jié)點：凈導入n的熱量=內(nèi)能增加△xn-1nn+1△y1左側(cè)：右側(cè)：凈導入n的熱量：內(nèi)能的增加相應(yīng)凈導入熱量向前差分向后差分中心差分內(nèi)部節(jié)點：凈導入n的熱量=內(nèi)能增加△xn-1nn+1△y1若內(nèi)能增加項選前差格式，凈導熱量選i層為“顯式差分格式”——一旦i時層上個節(jié)點的溫度已知，可立即算出（i+1）時層上個內(nèi)點溫度，不必求解聯(lián)立方程式。其優(yōu)點是計算工作量小缺點是對時間步長及空間步長有一點限制若內(nèi)能增加項選前差格式，凈導熱量選（i+1）層△xn-1nn+1△y13穩(wěn)定性判據(jù)步長限制——穩(wěn)定性判據(jù)對一維、非穩(wěn)態(tài)、顯式格式n=1,2,3…N-1隱式格式的缺點是計算工作量大優(yōu)點是對步長沒限制，不會出現(xiàn)解的震蕩現(xiàn)象上式中，已知的是i時層的值，未知量有3個：因此，不能直接由上式立即算出之值，而必須求解（i+1）時層的一個聯(lián)立方程才能得出（i+1）時層個點溫度；稱為隱式差分關(guān)于△x及△τ的選取

原則上步長越小，計算結(jié)果越接近于精確解，但機時、內(nèi)存增加，此外△τ與△x之間的關(guān)系受到顯式格式穩(wěn)定性影響

物理意義：點n上i+1時刻的溫度是在該點i時刻溫度的基礎(chǔ)上計及了左右兩鄰點溫度的影響后得出的。如兩鄰點的溫度保持不變，合理的情況是：i時刻點n的溫度越高，則其相繼時刻的溫度也較高；反之，i時刻點n的溫度越低，則其相繼時刻的溫度也較低。在差分方程中要滿足這種合理性是有條件的，即上式中

前的系數(shù)必須大于或等于0。即：對邊界節(jié)點的限制△xN-2NN-1xh,tf為滿足穩(wěn)定性判據(jù)，則：網(wǎng)格模型溫度場計算結(jié)果

1.判斷2.在其它條件相同的情況下，判斷下列哪種情況先達到熱平衡3.在其它條件相同的情況下，判斷下列哪種情況先達到熱平衡λ1=236w/mK;ρ=2710ke/m3;Cp=902J/kgK。λ1=39.2w/mK;ρ=7570ke/m3;Cp=470J/kgK。4.試述