第10章梁及結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

第10章梁與結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算§1工程中的變形問題§2撓曲線近似微分方程§3積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角§4疊加法求撓度和轉(zhuǎn)角§5單位荷載法§6圖乘法§7彈性體互等定理§8結(jié)構(gòu)的剛度校核§1工程中的變形問題§1工程中的變形問題1、梁的撓曲線：一條光滑、連續(xù)而平坦的曲線。

撓曲線方程——2、梁橫截面位移

（1）撓度y—橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。

（2）轉(zhuǎn)角θ—橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)的角位移。

3、撓度y和轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系：4、撓度、轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定：θ：

逆時(shí)針為正、順時(shí)針為負(fù)。

y：§2撓曲線近似微分方程在純彎曲情況下，梁軸線曲率的表達(dá)式為：

橫力彎曲曲率公式：

平坦曲線：

∴

§2撓曲線近似微分方程§3積分法計(jì)算梁的變形

積分一次，可得轉(zhuǎn)角方程：

再積分一次，可得撓度方程：

式中：C、D——積分常數(shù)

**積分常數(shù)由邊界條件、光滑連續(xù)條件確定。例題圖示懸臂梁。B端受集中力P的作用。EI為常數(shù)，試求梁的最大的撓度和最大的轉(zhuǎn)角。解：1、列彎矩方程：2、列撓曲線近似微分方程：積分一次得：——①再積分一次得：——②3、確定積分常數(shù)：邊界條件代入①、②式C=0D=0轉(zhuǎn)角撓度4、方程：y例題圖示簡(jiǎn)支梁，受均布荷載q作用，EI為常數(shù)，試求梁的最大撓度f和兩端截面的轉(zhuǎn)角。

解：1、列彎矩方程：2、列撓曲線近似微分方程：積分一次得：再積分一次得：3、確定積分常數(shù)：邊界條件轉(zhuǎn)角撓度4、方程：FAyFBy§4疊加法計(jì)算梁的變形

理論依據(jù)——

疊加原理：

總變形=∑分變形例題已知簡(jiǎn)支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角B1）將梁上的載荷分解yC1yC2yC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。解yC1yC2yC33）應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和例題已知EI為常數(shù)，試用疊加法求圖示外伸梁截面C的撓度。

例題已知EI為常量，試用疊加法求圖示懸臂梁C截面的撓度。

§5單位荷載法結(jié)構(gòu)的位移(DisplacementofStructures)A位移轉(zhuǎn)角位移線位移A點(diǎn)線位移A點(diǎn)水平位移A點(diǎn)豎向位移A截面轉(zhuǎn)角F功的概念：功=力乘以在力的方向上所發(fā)生的位移。力力偶廣義力線位移角位移廣義位移一點(diǎn)的線位移兩點(diǎn)的相對(duì)線位移一個(gè)截面轉(zhuǎn)角兩個(gè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角§5單位荷載法§5單位荷載法一、外力功的計(jì)算

常力做功

變力做功

位移與靜力荷載dyyFFy§5單位荷載法一、外力功的計(jì)算

常力做功

變力做功

力力偶廣義力線位移角位移廣義位移一點(diǎn)的線位移兩點(diǎn)的相對(duì)線位移一個(gè)截面轉(zhuǎn)角兩個(gè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角軸向拉伸扭轉(zhuǎn)彎曲剪切§5單位荷載法二、線彈性桿的變形能

微段的彎曲應(yīng)變能全梁的彎曲應(yīng)變能則可積分上式得到

例：求剛架C點(diǎn)的豎向位移。xxxlABCq例:1)求A點(diǎn)水平位移2)求A截面轉(zhuǎn)角3)求AB兩點(diǎn)相對(duì)水平位移4)求AB兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角步驟:1）虛設(shè)一單位荷載(單獨(dú)作圖)2）分別求出兩種狀態(tài)下的彎矩圖3）代入公式進(jìn)行計(jì)算ll§6圖乘法EIEI梁和剛架：一、問題的提出ACBαMMi=xtgαyxMFdxxy0x0ω注：y0=x0tgα①∑表示對(duì)各桿和各桿段分別圖乘再相加。②圖乘法的應(yīng)用條件：a）EI=常數(shù)；b）直桿；c）兩個(gè)彎矩圖至少有一個(gè)是直線。③豎標(biāo)y0取在直線圖形中，對(duì)應(yīng)另一圖形的形心處。④面積ω與豎標(biāo)y0在桿的同側(cè)，ωy0取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。二、圖乘公式?ò?==DFEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAFdxxMtgEI1aòdsEIMMFT直桿òdxEIMMFòT=CEIEI1dxMMFòTBAFdxxtgMEI1a是直線M三、幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)EIEI1.根據(jù)擬求位移虛設(shè)單位力。2.內(nèi)力計(jì)算。（1）荷載作用下彎矩圖MF。（2）單位力作用下彎矩圖。3.圖乘求位移。ACB四、圖乘法計(jì)算位移的一般步驟例1：求B端的轉(zhuǎn)角。1.根據(jù)擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內(nèi)力計(jì)算。（1）荷載作用下內(nèi)力圖MF。（2）單位力作用下內(nèi)力圖。3.圖乘求位移。解:()()若兩個(gè)彎矩圖都是直線圖形，則縱坐標(biāo)yc可取任一圖形。

Fl/2l/2EIABm=11/2Fl/4ql2/2

MFMFF=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例2：求梁B點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移。例3：求梁B點(diǎn)豎向線位移。3l/4當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時(shí)的處理a)曲桿或EI=EI（x）時(shí)，只能用積分法求位移；b)當(dāng)EI分段為常數(shù)或、均非直線時(shí)，應(yīng)分段圖乘再疊加。FFaaa例4：求圖示梁中點(diǎn)的撓度。FaFaMFF=13a/4a/2a/2Fl/2l/2C例5：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。MFFlCF=1l/2l/6l6EIFl123=FlEIC212=△5Fl/6？？EIFl4853=Fl65×??llEIyC22210?è?××==Dwa）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標(biāo)在基線同側(cè)乘積取正，否則取負(fù)。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649非標(biāo)準(zhǔn)圖形乘直線形S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=332364（3）9（2）32649＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線乘直線形11ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DBxyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MFω1ω2ω3B練習(xí)：計(jì)算B點(diǎn)水平位移F=1例6：求跨中C點(diǎn)的豎向位移1.根據(jù)擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內(nèi)力計(jì)算。（1）荷載作用下內(nèi)力圖MF。（2）單位力作用下內(nèi)力圖。3.圖乘求位移。解:()()若MF是曲線，M是折線，則應(yīng)分段圖乘。

對(duì)嗎？應(yīng)分段！H1EI2EI1CABH2FF=11.根據(jù)擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內(nèi)力計(jì)算。（1）荷載作用下內(nèi)力圖MF。（2）單位力作用下內(nèi)力圖。3.圖乘求位移。解:例7：求C點(diǎn)的水平位移若各段EI不同，則分段圖乘。

MFFH2MH2FH1H11.當(dāng)兩圖均為直線時(shí)，y0不受限。2.若一圖是曲線，另一圖是折線，應(yīng)分段圖乘。3.若圖形較復(fù)雜，形心不便確定，可將其分解為簡(jiǎn)單圖形。4.若桿各段EI不同，應(yīng)分段圖乘。5.虛設(shè)單位力。求線位移——集中力求角位移——集中力偶求相對(duì)位移——一對(duì)力五、圖乘規(guī)律練習(xí)、已知EI為常數(shù)，求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移。qMF解：lqh4kN4kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB求θB5kN12844MFkN.m1kN.mql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2MFl求B點(diǎn)豎向位移。()練習(xí)、圖示梁EI為常數(shù)，求中點(diǎn)C的豎向位移。l/2ql/2MF請(qǐng)問：錯(cuò)在啥地方？請(qǐng)問：錯(cuò)在啥地方？l/2ql/2MF解法一l/2ql/2MF解法二應(yīng)用條件：1)應(yīng)力與應(yīng)變成正比;2)變形是微小的。即:線性變形體系。一、功的互等定理功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態(tài)①的外力在狀態(tài)②的位移上作的功V1等于狀態(tài)②的外力在狀態(tài)①的位移上作的功V2。即：V1=V2§7彈性體的互等定理二、位移互等定理F1①F2②

位移互等定理：由單位荷載F1=1所引起的與F2相應(yīng)的位移δ21等于由單位荷載F2=1所引起的與F1相應(yīng)的位移δ12。Δ21Δ12jijijFdD=FFD=D121212FFD=D212121稱為位移影響系數(shù)，等于Fj=1所引起的與Fi相應(yīng)的位移。注意：1）這里荷載可以是廣義荷載，位移是相應(yīng)的廣義位移。2）δ12與δ21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。三、反力互等定理△1△2r11r21r22r12

反力互等定理：由單位位移△1=1所引起的與位移△2相應(yīng)的反力r21等于由單位位移△

2=1所引起的與位移△

1相應(yīng)的反力r12。

注意：1）這里支座位移可以是廣義位移，反力是相應(yīng)的廣義力。2）反力互等定理僅用于超靜定結(jié)構(gòu)。Fl/2l/23Fl/16CA①θΔC②例：已知圖①結(jié)構(gòu)的彎矩圖求同一結(jié)構(gòu)②由于支座A的轉(zhuǎn)動(dòng)引起C點(diǎn)的撓度。解：V12=V21∵V21=0∴V12=FΔC－3Fl/16×θ＝0ΔC=3lθ/16例：圖示同一結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，求Δ=？F=1①②m=1m=1ABΔ=θA+θBθBθAΔ計(jì)算梁變形的目的之一，就是對(duì)梁進(jìn)行剛度校核。

1、剛度條件：

式中：

——容許撓度值（通常用跨度的若干分之一表示）。

——容許扭轉(zhuǎn)角。

2、剛度校核

梁需滿足強(qiáng)度條件剛度條件

（設(shè)計(jì)）

（校核）§8結(jié)構(gòu)的剛度校核根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為：解例題已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=2