第1章 誤差估算及數(shù)據(jù)處理方法

§1.1誤差基礎(chǔ)知識(shí)§1.2誤差的處理§1.3直接測(cè)量的數(shù)據(jù)處理§1.4間接測(cè)量的數(shù)據(jù)處理§1.5常用數(shù)據(jù)處理方法第1章誤差估算與數(shù)據(jù)處理方法下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)1.1.1測(cè)量1.測(cè)量的定義就是將待測(cè)物理量與一個(gè)選做為標(biāo)準(zhǔn)的同類(lèi)物理量進(jìn)行比較，看被測(cè)量是標(biāo)準(zhǔn)單位的多少倍?！?-1誤差基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)量的目的：獲得測(cè)量值(數(shù)據(jù))。例如：用最小刻度為mm的米尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度。90.70cm下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)按測(cè)量結(jié)果獲得方法：測(cè)量可分為直接測(cè)量和間接測(cè)量在物理量的測(cè)量中，絕大多數(shù)是間接測(cè)量，但是，直接測(cè)量是一切測(cè)量的基礎(chǔ)。

2.測(cè)量的分類(lèi)(1)直接測(cè)量用標(biāo)準(zhǔn)量與待測(cè)量直接進(jìn)行比較。例如：用直尺測(cè)量長(zhǎng)度；以表計(jì)時(shí)間；天平稱(chēng)質(zhì)量；安培表測(cè)電流；等等。

(2)間接測(cè)量經(jīng)過(guò)直接測(cè)量與待測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的物理量，再經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到待測(cè)物理量的測(cè)量方法。例如：用鋼卷尺測(cè)量桌子的面積S=a×b=S(a,b)下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)按測(cè)量條件：測(cè)量可分為等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量

2.測(cè)量的分類(lèi)(1)等精度測(cè)量相同測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行重復(fù)性測(cè)量。相同測(cè)量條件：同一測(cè)量水平的觀測(cè)者同一精度的儀器同樣的實(shí)驗(yàn)方法同樣的實(shí)驗(yàn)環(huán)境等精度測(cè)量測(cè)量的所有數(shù)據(jù)，可信賴(lài)程度相同，數(shù)據(jù)處理過(guò)程中的地位相同，一視同仁。(2)非等精度測(cè)量不相同測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行重復(fù)性測(cè)量。非等精度測(cè)量測(cè)量的所有數(shù)據(jù)，可信賴(lài)程度不同，數(shù)據(jù)處理過(guò)程中的地位不同，按測(cè)量精度的高低，區(qū)別對(duì)待。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)

2.測(cè)量的分類(lèi)按測(cè)量次數(shù)，測(cè)量可分為：?jiǎn)未螠y(cè)量和多次測(cè)量。按測(cè)量性質(zhì)，測(cè)量可分為：力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)1.真值與誤差的定義(1)真值x0

：任何物質(zhì)都有自身的各種特性，反映這種特性的物理量所具有的客觀真實(shí)數(shù)值

(2)誤差：由于測(cè)量?jī)x器的限制、測(cè)量方法的不完善、周?chē)h(huán)境的變化、人的感官的缺陷等因素的影響，測(cè)量結(jié)果總是與真值之間有一定的差異。1.1.2誤差測(cè)量不能得到真值，但可以減小測(cè)量誤差，誤差的基本性質(zhì)普遍性：存在一切測(cè)量之中，貫穿于測(cè)量始終。不可知性：一般真值是未知的，誤差就無(wú)法知道。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)2.誤差的表示形式(1)絕對(duì)誤差測(cè)量值與真值的差，表示為Δx＝x－x0相對(duì)誤差反映了測(cè)量精度的高低，無(wú)單位，用百分?jǐn)?shù)表示。真值是一個(gè)理想的概念。用求平均值的辦法求最佳值或近真值。(2)相對(duì)誤差絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值的比值，表示為E＝Δx/x0×100％例如：測(cè)量?jī)蓚€(gè)物體的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1=100.0mm，L2=40.0mm；絕對(duì)誤差分別為δ1=0.8mm，δ2=0.4mm。相對(duì)誤差分別為：E1=0.80%，E2=1.0%。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)3.誤差的分類(lèi)(1)隨機(jī)誤差（偶然誤差）在相同條件下，對(duì)同一測(cè)量量的多次測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量的結(jié)果將出現(xiàn)不固定的偏差。但是，如果測(cè)量次數(shù)很多時(shí)，誤差的出現(xiàn)又符合一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。(2)系統(tǒng)誤差在同一測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一物理量時(shí)，測(cè)量的結(jié)果將出現(xiàn)固定的偏差。例如：零點(diǎn)不準(zhǔn)、天平不等臂、刻度不均勻等。隨機(jī)誤差無(wú)法從實(shí)驗(yàn)中完全消除，但多次測(cè)量可以減小。系統(tǒng)誤差盡量消除或減小下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)3.誤差的分類(lèi)(3)粗大誤差（過(guò)失誤差）在測(cè)量中某種原因所引起的錯(cuò)誤。如讀數(shù)錯(cuò)誤，記錄錯(cuò)誤，操作錯(cuò)誤，估算錯(cuò)誤，等等。存在粗大誤差時(shí)，測(cè)量值明顯偏離被測(cè)量的真值。數(shù)據(jù)處理時(shí)，先檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)是否存在粗大誤差，剔除含有粗大誤差的數(shù)據(jù)。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)§1-2誤差的處理1.2.1隨機(jī)誤差的處理1.2.2系統(tǒng)誤差的處理1.2.3粗大誤差的處理1.2.4儀器誤差下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)1、正態(tài)發(fā)布規(guī)律隨機(jī)誤差的特點(diǎn)隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律有很多，最常見(jiàn)的是正態(tài)分布規(guī)律。遵從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)誤差特征：?jiǎn)畏逍裕航^對(duì)值小/大的誤差可能性大/小對(duì)稱(chēng)性：大小相等的誤差正、負(fù)機(jī)會(huì)均等有界性：絕對(duì)值非常大的可能性幾乎為零抵償性：正負(fù)誤差相互低消1.2.1、隨機(jī)誤差的處理f(δ)δ概率密度函數(shù)誤差隨機(jī)誤差可以應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行估算下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)2、正態(tài)發(fā)布規(guī)律隨機(jī)誤差的數(shù)字特征標(biāo)準(zhǔn)差σ反映了測(cè)量值與真值的偏離程度，即測(cè)量值之間的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差小，離散程度小，測(cè)量精度高。(2)標(biāo)準(zhǔn)差的物理意義任一測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差落在〔－σ,σ〕區(qū)間內(nèi)的概率為P=68.3%?！玻?σ〕，P=68.3%〔－2σ,2σ〕，P=95.5%〔－3σ,3σ〕，P=99.7%±3σ稱(chēng)為極限誤差下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)多次測(cè)量，x1、x2、…、xn，測(cè)量列的算術(shù)平均值為：當(dāng)測(cè)量次數(shù)n趨于無(wú)窮時(shí)，算術(shù)平均值趨于真值。其中xi為第i次測(cè)得值。誤差的對(duì)稱(chēng)性和抵償性3、算術(shù)平均值下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)多次測(cè)量，x1,x2,…,xn，測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差為：

4、標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測(cè)量次數(shù)n為有限次時(shí)，測(cè)量列的算術(shù)平均值作為真值的最佳估計(jì)值；標(biāo)準(zhǔn)偏差常采用貝塞爾法來(lái)估計(jì)。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)當(dāng)n→∞時(shí)，，則S→σ。說(shuō)明n→∞當(dāng)時(shí)不再區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差。1、儀器的極限誤差儀器誤差影響因素多，規(guī)律復(fù)雜。儀器的示值和被測(cè)量量之間可能出現(xiàn)的最大誤差稱(chēng)為儀器的極限誤差△儀。即儀器誤差。1.2.2、系統(tǒng)誤差的處理

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，盡可能消除或減小。(1)極限誤差的獲得計(jì)量部門(mén)檢定，說(shuō)明書(shū)標(biāo)明。無(wú)標(biāo)明時(shí)，數(shù)顯儀器，末位數(shù)1個(gè)單位；刻度儀器，最小分度的一半。電工儀表根據(jù)儀器的準(zhǔn)確度等級(jí)可計(jì)算儀器誤差。

△儀=量程×準(zhǔn)確度等級(jí)/1001.2.3、粗大誤差的處理

判別粗大誤差，從測(cè)量數(shù)據(jù)中剔除。1.2.4、儀器誤差下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)(2)均勻分布的標(biāo)準(zhǔn)差儀器誤差近似服從均勻分布規(guī)律，標(biāo)準(zhǔn)差為一、有效數(shù)字的概念有效數(shù)字是指能正確表達(dá)某物理量數(shù)值和精度的一個(gè)近似數(shù)，由準(zhǔn)確數(shù)字和可疑數(shù)字組成。通常，測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字是由若干位準(zhǔn)確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成的。

有效數(shù)字與測(cè)量條件(如儀器、環(huán)境、人員)密切相關(guān)，有效數(shù)字的位數(shù)由測(cè)量條件和待測(cè)量的大小共同決定?！?-3有效數(shù)字及運(yùn)算例如，用最小分度值為1mm的尺，測(cè)量一物體長(zhǎng)度得到1.65cm?！?”是在6和7兩個(gè)整毫米刻度內(nèi)估讀的，是不可靠的，可疑數(shù)字；1.6是由尺子刻度直接讀出的，是可靠數(shù)字。1.65cm下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)1、有效數(shù)字的位數(shù)有效數(shù)字＝“可靠數(shù)字”＋“一位可疑數(shù)字”總共有幾位稱(chēng)為幾位有效數(shù)字。有效數(shù)字由表征測(cè)量結(jié)果的可靠數(shù)字與可疑數(shù)字組成的?？梢蓴?shù)字在有效數(shù)字中一般只有一位。一、有效數(shù)字的概念15.86，四位有效數(shù)字5.32，三位有效數(shù)字5.320，四位有效數(shù)字0.0532，三位有效數(shù)字1.65cm下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)2．?dāng)?shù)字“0”在有效數(shù)字中的作用“0”在數(shù)據(jù)中的位置不同，可能是有效數(shù)字，也可能不是有效數(shù)字。如：0.03020m這個(gè)數(shù)中共有4個(gè)“0”，其中數(shù)字“3”前面的兩個(gè)“0”只用來(lái)表示小數(shù)點(diǎn)位置，不是有效數(shù)字，而其余兩個(gè)“0”是有效數(shù)字，即數(shù)字中間和末尾的“0”是有效的。既然數(shù)字末尾的“0”是有效數(shù)字，那么就不能在數(shù)字的末尾隨意加0或去掉0，否則物理意義將發(fā)生變化。由于數(shù)字“3”前面的兩個(gè)“0”只用來(lái)表示小數(shù)點(diǎn)位置，不是有效數(shù)字，那么數(shù)字0.03020m、3.020cm、30.20mm的有效數(shù)字都是4位。因此，在十進(jìn)制單位進(jìn)行換算時(shí)有效數(shù)字的位數(shù)不應(yīng)發(fā)生變化。如，3.5A的電流值，若用mA單位表示，不能寫(xiě)3500mA，而應(yīng)采用科學(xué)記數(shù)法，寫(xiě)成。當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)較多進(jìn)行取舍時(shí)，一般采用“四舍六入五湊偶的方法”。此方法是：4以下舍去，6以上“入”，5是否“入”，要看其前一位是否為奇數(shù)，若前一位為奇數(shù)，則5進(jìn)位，把前一位湊成偶數(shù)，即“5湊偶”；若前一位為偶數(shù)，則5舍去，不湊偶。3、有效數(shù)字的修約規(guī)則3.14159

6.3785012.71729

4.51050

5.6235

3.21650

下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)修約成4位有效數(shù)字→

3.142→

6.378→

2.717→

4.510→

5.624→

3.2161、直接測(cè)量的有效數(shù)字2.00cm(1)有指針或刻度的儀器：最小刻度以下再估讀一位。(2)數(shù)字顯示儀表：顯示值均為有效數(shù)字，不再估讀。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)二．有效數(shù)字的確定2、間接測(cè)量的有效數(shù)字

間接測(cè)量量有效數(shù)字的確定，應(yīng)遵循由不確定度來(lái)確定測(cè)量量的有效數(shù)字，即間接測(cè)量量有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對(duì)齊。

2、間接測(cè)量的有效數(shù)字間接測(cè)量量有效數(shù)字的確定，應(yīng)遵循由不確定度來(lái)確定測(cè)量量的有效數(shù)字，即間接測(cè)量量有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對(duì)齊。如面積絕對(duì)不確定度

面積S的正確結(jié)果

在間接測(cè)量中，由于最終結(jié)果是由許多測(cè)量數(shù)值，經(jīng)過(guò)一定的函數(shù)運(yùn)算得到，那么在中間運(yùn)算過(guò)程中，參與計(jì)算的量可能很多，這些數(shù)據(jù)的有效數(shù)字可能都不一致，使得數(shù)據(jù)計(jì)算顯得繁瑣和復(fù)雜為了簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，同時(shí)又不會(huì)造成過(guò)大的計(jì)算誤差，一般可采用一些規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算：下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)(1)加減法運(yùn)算加減運(yùn)算應(yīng)以參與運(yùn)算各數(shù)據(jù)中末位數(shù)數(shù)量級(jí)最大的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)在中間計(jì)算過(guò)程中向后可多取一位，最后結(jié)果與末位數(shù)數(shù)量級(jí)最大的那一位對(duì)齊。

(2)乘除法運(yùn)算乘除法運(yùn)算以參與運(yùn)算各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)，其余數(shù)字在中間運(yùn)算過(guò)程中可多取一位有效數(shù)字，最后結(jié)果的有效數(shù)字與有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)相同。(3)乘方和開(kāi)方運(yùn)算規(guī)則與乘除法運(yùn)算規(guī)則相同，即結(jié)果的有效數(shù)字與被乘方、開(kāi)方數(shù)的有效數(shù)據(jù)位數(shù)相同。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)(4)對(duì)數(shù)運(yùn)算自然對(duì)數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)有效位數(shù)相同。而以10為底的對(duì)數(shù)，其尾數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字)的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。(5)指數(shù)運(yùn)算對(duì)于ex，其有效數(shù)字用如下方法決定：

把ex的結(jié)果用科學(xué)表示法表達(dá)，小數(shù)點(diǎn)前保留一位，小數(shù)點(diǎn)后保留的位數(shù)與指數(shù)x在小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)相同。

對(duì)于10x，其有效數(shù)字用如下方法決定：其有效數(shù)字的取法與ex的取法相同，或少取一位(當(dāng)10x的結(jié)果的第一位大于5時(shí)可少取一位)。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)(6)三角函數(shù)運(yùn)算三角函數(shù)運(yùn)算，其有效數(shù)字位數(shù)取法是：通過(guò)改變x末位數(shù)的一個(gè)單位，觀察函數(shù)值的變化，以決定原來(lái)函數(shù)值的位數(shù)。例如，計(jì)算sin30o17/(7)常數(shù)、π、e、系數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算以上這些數(shù)可認(rèn)為其有效數(shù)字是無(wú)限的，計(jì)算時(shí)一般比運(yùn)算各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最多的還多一位。上述所述有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則，只是一個(gè)基本原則。實(shí)際問(wèn)題中，為了防止取舍所造成的誤差過(guò)大，常常在運(yùn)算過(guò)程中多取1位，特別是隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算器的普及，這種處理不會(huì)帶來(lái)太多的麻煩，只是在最后結(jié)果根據(jù)不確定度所在位進(jìn)行截?cái)?。下一?yè)章目錄返回上一頁(yè)四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效數(shù)字實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效數(shù)字由不確定度確定。有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對(duì)齊。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)三．不確定度有效數(shù)字的確定如無(wú)特殊說(shuō)明，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，絕對(duì)不確定度取1位有效數(shù)字，相對(duì)不確定度取2位有效數(shù)字。當(dāng)絕對(duì)不確定度的首位為1、2時(shí)，可取2位。不確定度有效數(shù)字的取舍，應(yīng)遵循“只進(jìn)不舍”的原則，%0.2B;cm)07.064.3(L=±=;cm07.0u,cm6456.3L==§1-4直接測(cè)量的數(shù)據(jù)處理一、最佳估計(jì)值二、不確定度評(píng)定三、測(cè)量結(jié)果的表示四、數(shù)據(jù)處理基本步驟下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)一、最佳估計(jì)值

多次測(cè)量，x1、x2、…、xn，測(cè)量量的算術(shù)平均值可表示為：用算術(shù)平均值作為直接測(cè)量量的最佳估計(jì)值。誤差具有統(tǒng)計(jì)性、非統(tǒng)計(jì)性，而過(guò)去的誤差理論只考慮了統(tǒng)計(jì)性，具有一定的局限性。非統(tǒng)計(jì)性一般由儀器的誤差決定，因而提高儀器的精度很重要。

1、不確定度的概念測(cè)量結(jié)果正確性的可疑程度，是對(duì)被測(cè)量量的真值所處范圍的評(píng)定，不確定度越小，說(shuō)明測(cè)量越準(zhǔn)確。二、不確定度下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)2、不確定度的分類(lèi)A類(lèi)不確定度：用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的不確定度，

uAB類(lèi)不確定度：用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的不確定度，

uB3、不確定度評(píng)定(1)A類(lèi)分量直接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類(lèi)分量用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差公式估算。(2)B類(lèi)分量只考慮儀器誤差，標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類(lèi)分量為(3)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)二、不確定度評(píng)定(4)單次測(cè)量有時(shí)因條件所限不可能進(jìn)行多次測(cè)量(如地震波強(qiáng)度、雷電時(shí)電暈電流強(qiáng)度等)；或者由于儀器精度太低，多次測(cè)量讀數(shù)相同，測(cè)量隨機(jī)誤差較??；或者對(duì)測(cè)量結(jié)果的精度要求不高等情況，往往只進(jìn)行一次測(cè)量。單次測(cè)量時(shí)，A類(lèi)不確定度無(wú)法考慮；最佳估計(jì)值即測(cè)量值本身。(4)單次測(cè)量合成不確定度只考慮B類(lèi)分量為下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)一般來(lái)說(shuō)，給出測(cè)量結(jié)果的同時(shí)，還應(yīng)給出相應(yīng)的測(cè)量不確定度，并有詳盡的測(cè)試參數(shù)和條件。采用不確定度評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果應(yīng)表示為三、測(cè)量結(jié)果的表示例如：測(cè)量一物體的長(zhǎng)度L，10次測(cè)量結(jié)果的平均值為10.34cm，估算合成不確定度為0.03cm，測(cè)量結(jié)果表示為下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)四、數(shù)據(jù)處理步驟對(duì)直接測(cè)量列數(shù)據(jù)處理的基本步驟為：(1)判斷測(cè)量數(shù)據(jù)中是否有已定系統(tǒng)誤差，并且盡量消除或減小系統(tǒng)誤差。(2)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的合理性，發(fā)現(xiàn)含有粗大誤差的數(shù)據(jù)應(yīng)剔除。(3)求算術(shù)平均值，作為測(cè)量結(jié)果的最佳值。(4)計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，作為標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類(lèi)分量。(5)根據(jù)儀器的極限誤差，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類(lèi)分量。(6)計(jì)算合成不確定度和相對(duì)不確定度。(7)完整表示測(cè)量結(jié)果。下一頁(yè)章目錄返回上一頁(yè)一、間接測(cè)量的最佳值二、間接測(cè)量的不確定度