第1章 誤差估算及數(shù)據(jù)處理方法

§1.1誤差基礎知識§1.2誤差的處理§1.3直接測量的數(shù)據(jù)處理§1.4間接測量的數(shù)據(jù)處理§1.5常用數(shù)據(jù)處理方法第1章誤差估算與數(shù)據(jù)處理方法下一頁章目錄返回上一頁1.1.1測量1.測量的定義就是將待測物理量與一個選做為標準的同類物理量進行比較，看被測量是標準單位的多少倍?！?-1誤差基礎知識測量的目的：獲得測量值(數(shù)據(jù))。例如：用最小刻度為mm的米尺測量物體的長度。90.70cm下一頁章目錄返回上一頁按測量結果獲得方法：測量可分為直接測量和間接測量在物理量的測量中，絕大多數(shù)是間接測量，但是，直接測量是一切測量的基礎。

2.測量的分類(1)直接測量用標準量與待測量直接進行比較。例如：用直尺測量長度；以表計時間；天平稱質量；安培表測電流；等等。

(2)間接測量經(jīng)過直接測量與待測量有函數(shù)關系的物理量，再經(jīng)過運算得到待測物理量的測量方法。例如：用鋼卷尺測量桌子的面積S=a×b=S(a,b)下一頁章目錄返回上一頁按測量條件：測量可分為等精度測量和不等精度測量

2.測量的分類(1)等精度測量相同測量條件下，對同一被測量進行重復性測量。相同測量條件：同一測量水平的觀測者同一精度的儀器同樣的實驗方法同樣的實驗環(huán)境等精度測量測量的所有數(shù)據(jù)，可信賴程度相同，數(shù)據(jù)處理過程中的地位相同，一視同仁。(2)非等精度測量不相同測量條件下，對同一被測量進行重復性測量。非等精度測量測量的所有數(shù)據(jù)，可信賴程度不同，數(shù)據(jù)處理過程中的地位不同，按測量精度的高低，區(qū)別對待。下一頁章目錄返回上一頁

2.測量的分類按測量次數(shù)，測量可分為：單次測量和多次測量。按測量性質，測量可分為：力學、熱學、電磁學、光學等。下一頁章目錄返回上一頁1.真值與誤差的定義(1)真值x0

：任何物質都有自身的各種特性，反映這種特性的物理量所具有的客觀真實數(shù)值

(2)誤差：由于測量儀器的限制、測量方法的不完善、周圍環(huán)境的變化、人的感官的缺陷等因素的影響，測量結果總是與真值之間有一定的差異。1.1.2誤差測量不能得到真值，但可以減小測量誤差，誤差的基本性質普遍性：存在一切測量之中，貫穿于測量始終。不可知性：一般真值是未知的，誤差就無法知道。下一頁章目錄返回上一頁2.誤差的表示形式(1)絕對誤差測量值與真值的差，表示為Δx＝x－x0相對誤差反映了測量精度的高低，無單位，用百分數(shù)表示。真值是一個理想的概念。用求平均值的辦法求最佳值或近真值。(2)相對誤差絕對誤差與被測量真值的比值，表示為E＝Δx/x0×100％例如：測量兩個物體的長度分別為L1=100.0mm，L2=40.0mm；絕對誤差分別為δ1=0.8mm，δ2=0.4mm。相對誤差分別為：E1=0.80%，E2=1.0%。下一頁章目錄返回上一頁3.誤差的分類(1)隨機誤差（偶然誤差）在相同條件下，對同一測量量的多次測量過程中，測量的結果將出現(xiàn)不固定的偏差。但是，如果測量次數(shù)很多時，誤差的出現(xiàn)又符合一定的統(tǒng)計規(guī)律。(2)系統(tǒng)誤差在同一測量條件下，多次測量同一物理量時，測量的結果將出現(xiàn)固定的偏差。例如：零點不準、天平不等臂、刻度不均勻等。隨機誤差無法從實驗中完全消除，但多次測量可以減小。系統(tǒng)誤差盡量消除或減小下一頁章目錄返回上一頁3.誤差的分類(3)粗大誤差（過失誤差）在測量中某種原因所引起的錯誤。如讀數(shù)錯誤，記錄錯誤，操作錯誤，估算錯誤，等等。存在粗大誤差時，測量值明顯偏離被測量的真值。數(shù)據(jù)處理時，先檢驗測量數(shù)據(jù)是否存在粗大誤差，剔除含有粗大誤差的數(shù)據(jù)。下一頁章目錄返回上一頁§1-2誤差的處理1.2.1隨機誤差的處理1.2.2系統(tǒng)誤差的處理1.2.3粗大誤差的處理1.2.4儀器誤差下一頁章目錄返回上一頁1、正態(tài)發(fā)布規(guī)律隨機誤差的特點隨機誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律有很多，最常見的是正態(tài)分布規(guī)律。遵從正態(tài)分布規(guī)律的隨機誤差特征：單峰性：絕對值小/大的誤差可能性大/小對稱性：大小相等的誤差正、負機會均等有界性：絕對值非常大的可能性幾乎為零抵償性：正負誤差相互低消1.2.1、隨機誤差的處理f(δ)δ概率密度函數(shù)誤差隨機誤差可以應用概率統(tǒng)計理論進行估算下一頁章目錄返回上一頁2、正態(tài)發(fā)布規(guī)律隨機誤差的數(shù)字特征標準差σ反映了測量值與真值的偏離程度，即測量值之間的離散程度。標準差小，離散程度小，測量精度高。(2)標準差的物理意義任一測量數(shù)據(jù)的誤差落在〔－σ,σ〕區(qū)間內的概率為P=68.3%?！玻?σ〕，P=68.3%〔－2σ,2σ〕，P=95.5%〔－3σ,3σ〕，P=99.7%±3σ稱為極限誤差下一頁章目錄返回上一頁多次測量，x1、x2、…、xn，測量列的算術平均值為：當測量次數(shù)n趨于無窮時，算術平均值趨于真值。其中xi為第i次測得值。誤差的對稱性和抵償性3、算術平均值下一頁章目錄返回上一頁多次測量，x1,x2,…,xn，測量列的標準差為：

4、標準偏差當測量次數(shù)n為有限次時，測量列的算術平均值作為真值的最佳估計值；標準偏差常采用貝塞爾法來估計。下一頁章目錄返回上一頁當n→∞時，，則S→σ。說明n→∞當時不再區(qū)分標準誤差與標準偏差。1、儀器的極限誤差儀器誤差影響因素多，規(guī)律復雜。儀器的示值和被測量量之間可能出現(xiàn)的最大誤差稱為儀器的極限誤差△儀。即儀器誤差。1.2.2、系統(tǒng)誤差的處理

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，盡可能消除或減小。(1)極限誤差的獲得計量部門檢定，說明書標明。無標明時，數(shù)顯儀器，末位數(shù)1個單位；刻度儀器，最小分度的一半。電工儀表根據(jù)儀器的準確度等級可計算儀器誤差。

△儀=量程×準確度等級/1001.2.3、粗大誤差的處理

判別粗大誤差，從測量數(shù)據(jù)中剔除。1.2.4、儀器誤差下一頁章目錄返回上一頁(2)均勻分布的標準差儀器誤差近似服從均勻分布規(guī)律，標準差為一、有效數(shù)字的概念有效數(shù)字是指能正確表達某物理量數(shù)值和精度的一個近似數(shù)，由準確數(shù)字和可疑數(shù)字組成。通常，測量結果的有效數(shù)字是由若干位準確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成的。

有效數(shù)字與測量條件(如儀器、環(huán)境、人員)密切相關，有效數(shù)字的位數(shù)由測量條件和待測量的大小共同決定?！?-3有效數(shù)字及運算例如，用最小分度值為1mm的尺，測量一物體長度得到1.65cm?！?”是在6和7兩個整毫米刻度內估讀的，是不可靠的，可疑數(shù)字；1.6是由尺子刻度直接讀出的，是可靠數(shù)字。1.65cm下一頁章目錄返回上一頁1、有效數(shù)字的位數(shù)有效數(shù)字＝“可靠數(shù)字”＋“一位可疑數(shù)字”總共有幾位稱為幾位有效數(shù)字。有效數(shù)字由表征測量結果的可靠數(shù)字與可疑數(shù)字組成的?？梢蓴?shù)字在有效數(shù)字中一般只有一位。一、有效數(shù)字的概念15.86，四位有效數(shù)字5.32，三位有效數(shù)字5.320，四位有效數(shù)字0.0532，三位有效數(shù)字1.65cm下一頁章目錄返回上一頁2．數(shù)字“0”在有效數(shù)字中的作用“0”在數(shù)據(jù)中的位置不同，可能是有效數(shù)字，也可能不是有效數(shù)字。如：0.03020m這個數(shù)中共有4個“0”，其中數(shù)字“3”前面的兩個“0”只用來表示小數(shù)點位置，不是有效數(shù)字，而其余兩個“0”是有效數(shù)字，即數(shù)字中間和末尾的“0”是有效的。既然數(shù)字末尾的“0”是有效數(shù)字，那么就不能在數(shù)字的末尾隨意加0或去掉0，否則物理意義將發(fā)生變化。由于數(shù)字“3”前面的兩個“0”只用來表示小數(shù)點位置，不是有效數(shù)字，那么數(shù)字0.03020m、3.020cm、30.20mm的有效數(shù)字都是4位。因此，在十進制單位進行換算時有效數(shù)字的位數(shù)不應發(fā)生變化。如，3.5A的電流值，若用mA單位表示，不能寫3500mA，而應采用科學記數(shù)法，寫成。當實驗結果的有效數(shù)字位數(shù)較多進行取舍時，一般采用“四舍六入五湊偶的方法”。此方法是：4以下舍去，6以上“入”，5是否“入”，要看其前一位是否為奇數(shù)，若前一位為奇數(shù)，則5進位，把前一位湊成偶數(shù)，即“5湊偶”；若前一位為偶數(shù)，則5舍去，不湊偶。3、有效數(shù)字的修約規(guī)則3.14159

6.3785012.71729

4.51050

5.6235

3.21650

下一頁章目錄返回上一頁修約成4位有效數(shù)字→

3.142→

6.378→

2.717→

4.510→

5.624→

3.2161、直接測量的有效數(shù)字2.00cm(1)有指針或刻度的儀器：最小刻度以下再估讀一位。(2)數(shù)字顯示儀表：顯示值均為有效數(shù)字，不再估讀。下一頁章目錄返回上一頁二．有效數(shù)字的確定2、間接測量的有效數(shù)字

間接測量量有效數(shù)字的確定，應遵循由不確定度來確定測量量的有效數(shù)字，即間接測量量有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對齊。

2、間接測量的有效數(shù)字間接測量量有效數(shù)字的確定，應遵循由不確定度來確定測量量的有效數(shù)字，即間接測量量有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對齊。如面積絕對不確定度

面積S的正確結果

在間接測量中，由于最終結果是由許多測量數(shù)值，經(jīng)過一定的函數(shù)運算得到，那么在中間運算過程中，參與計算的量可能很多，這些數(shù)據(jù)的有效數(shù)字可能都不一致，使得數(shù)據(jù)計算顯得繁瑣和復雜為了簡化運算過程，同時又不會造成過大的計算誤差，一般可采用一些規(guī)則進行運算：下一頁章目錄返回上一頁(1)加減法運算加減運算應以參與運算各數(shù)據(jù)中末位數(shù)數(shù)量級最大的數(shù)據(jù)為準，其余各數(shù)據(jù)在中間計算過程中向后可多取一位，最后結果與末位數(shù)數(shù)量級最大的那一位對齊。

(2)乘除法運算乘除法運算以參與運算各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準，其余數(shù)字在中間運算過程中可多取一位有效數(shù)字，最后結果的有效數(shù)字與有效數(shù)字位數(shù)最少的那個數(shù)相同。(3)乘方和開方運算規(guī)則與乘除法運算規(guī)則相同，即結果的有效數(shù)字與被乘方、開方數(shù)的有效數(shù)據(jù)位數(shù)相同。下一頁章目錄返回上一頁(4)對數(shù)運算自然對數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)有效位數(shù)相同。而以10為底的對數(shù)，其尾數(shù)(小數(shù)點后的數(shù)字)的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。(5)指數(shù)運算對于ex，其有效數(shù)字用如下方法決定：

把ex的結果用科學表示法表達，小數(shù)點前保留一位，小數(shù)點后保留的位數(shù)與指數(shù)x在小數(shù)點后面的位數(shù)相同。

對于10x，其有效數(shù)字用如下方法決定：其有效數(shù)字的取法與ex的取法相同，或少取一位(當10x的結果的第一位大于5時可少取一位)。下一頁章目錄返回上一頁(6)三角函數(shù)運算三角函數(shù)運算，其有效數(shù)字位數(shù)取法是：通過改變x末位數(shù)的一個單位，觀察函數(shù)值的變化，以決定原來函數(shù)值的位數(shù)。例如，計算sin30o17/(7)常數(shù)、π、e、系數(shù)、指數(shù)的運算以上這些數(shù)可認為其有效數(shù)字是無限的，計算時一般比運算各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最多的還多一位。上述所述有效數(shù)字的運算規(guī)則，只是一個基本原則。實際問題中，為了防止取舍所造成的誤差過大，常常在運算過程中多取1位，特別是隨著計算機和計算器的普及，這種處理不會帶來太多的麻煩，只是在最后結果根據(jù)不確定度所在位進行截斷。下一頁章目錄返回上一頁四、實驗結果的有效數(shù)字實驗結果的有效數(shù)字由不確定度確定。有效數(shù)字的末位與不確定度的末位對齊。下一頁章目錄返回上一頁三．不確定度有效數(shù)字的確定如無特殊說明，在實驗數(shù)據(jù)處理中，絕對不確定度取1位有效數(shù)字，相對不確定度取2位有效數(shù)字。當絕對不確定度的首位為1、2時，可取2位。不確定度有效數(shù)字的取舍，應遵循“只進不舍”的原則，%0.2B;cm)07.064.3(L=±=;cm07.0u,cm6456.3L==§1-4直接測量的數(shù)據(jù)處理一、最佳估計值二、不確定度評定三、測量結果的表示四、數(shù)據(jù)處理基本步驟下一頁章目錄返回上一頁一、最佳估計值

多次測量，x1、x2、…、xn，測量量的算術平均值可表示為：用算術平均值作為直接測量量的最佳估計值。誤差具有統(tǒng)計性、非統(tǒng)計性，而過去的誤差理論只考慮了統(tǒng)計性，具有一定的局限性。非統(tǒng)計性一般由儀器的誤差決定，因而提高儀器的精度很重要。

1、不確定度的概念測量結果正確性的可疑程度，是對被測量量的真值所處范圍的評定，不確定度越小，說明測量越準確。二、不確定度下一頁章目錄返回上一頁2、不確定度的分類A類不確定度：用統(tǒng)計方法評定的不確定度，

uAB類不確定度：用非統(tǒng)計方法評定的不確定度，

uB3、不確定度評定(1)A類分量直接測量的標準不確定度的A類分量用算術平均值的標準差公式估算。(2)B類分量只考慮儀器誤差，標準不確定度的B類分量為(3)合成標準不確定度下一頁章目錄返回上一頁二、不確定度評定(4)單次測量有時因條件所限不可能進行多次測量(如地震波強度、雷電時電暈電流強度等)；或者由于儀器精度太低，多次測量讀數(shù)相同，測量隨機誤差較小；或者對測量結果的精度要求不高等情況，往往只進行一次測量。單次測量時，A類不確定度無法考慮；最佳估計值即測量值本身。(4)單次測量合成不確定度只考慮B類分量為下一頁章目錄返回上一頁一般來說，給出測量結果的同時，還應給出相應的測量不確定度，并有詳盡的測試參數(shù)和條件。采用不確定度評價測量結果應表示為三、測量結果的表示例如：測量一物體的長度L，10次測量結果的平均值為10.34cm，估算合成不確定度為0.03cm，測量結果表示為下一頁章目錄返回上一頁四、數(shù)據(jù)處理步驟對直接測量列數(shù)據(jù)處理的基本步驟為：(1)判斷測量數(shù)據(jù)中是否有已定系統(tǒng)誤差，并且盡量消除或減小系統(tǒng)誤差。(2)檢驗數(shù)據(jù)的合理性，發(fā)現(xiàn)含有粗大誤差的數(shù)據(jù)應剔除。(3)求算術平均值，作為測量結果的最佳值。(4)計算算術平均值的標準差，作為標準不確定度的A類分量。(5)根據(jù)儀器的極限誤差，計算標準不確定度的B類分量。(6)計算合成不確定度和相對不確定度。(7)完整表示測量結果。下一頁章目錄返回上一頁一、間接測量的最佳值二、間接測量的不確定度