第二章 2.3.3 直線及圓的位置關(guān)系

考綱定位學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解直線與圓的三種位置關(guān)系的幾何特征，并能對(duì)此作出正確的判斷．2．會(huì)求圓的切線方程，會(huì)利用直線與圓的位置關(guān)系求直線方程或者是圓的方程，從而解決直線與圓的綜合問(wèn)題．重點(diǎn)難點(diǎn)：直線與圓相切問(wèn)題及切線的求法．直線與圓的綜合問(wèn)題．1．直線與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的

位置關(guān)系：①直線與圓相交，有

公共點(diǎn)；②直線與圓相切，只有

公共點(diǎn)；③直線與圓相離，

公共點(diǎn)．基礎(chǔ)知識(shí)梳理三種兩個(gè)一個(gè)沒(méi)有(2)直線與圓位置關(guān)系的判定有兩種方法：①代數(shù)法：通過(guò)

所組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷．若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即

，則相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即

，則相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即

，則相離．②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷；當(dāng)

時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)

時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)

時(shí)，直線與圓相離．直線方程與圓的方程Δ＞0Δ＝0Δ＜0d＜rd＝rd＞r2．直線與圓相切(1)當(dāng)點(diǎn)(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上時(shí)，切線方程為

；(2)若點(diǎn)(x0，y0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，則切線方程為

；x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2求證：無(wú)論k為何值，直線l：kx－y－4k＋3＝0與曲線C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有兩個(gè)交點(diǎn)．【分析】由于曲線C方程表示一個(gè)圓，故可證明直線與圓相交，也可把直線與曲線C的方程聯(lián)立得方程組，確定此方程組有兩組解，也可考慮直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而證明定點(diǎn)在這個(gè)圓內(nèi)．課堂互動(dòng)講練題型一判斷直線與圓的位置關(guān)系例1比較圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系．【點(diǎn)評(píng)】

(1)細(xì)致分析題設(shè)，挖掘隱含條件，可優(yōu)化思維過(guò)程，如利用隱含關(guān)系“直線l過(guò)點(diǎn)A(4,3)”，產(chǎn)生法二．(2)證明中法一是抓住直線與圓位置關(guān)系的代數(shù)特征，從而轉(zhuǎn)化為方程組解的問(wèn)題，這是研究直線與圓位置關(guān)系的基本方法，法二有一定的技巧性，是通過(guò)直線過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)，使問(wèn)題獲證的．1．當(dāng)a為何值時(shí)，直線ax－y－a－1＝0與圓x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交、相切、相離？跟蹤訓(xùn)練求過(guò)點(diǎn)P(1，－7)與圓x2＋y2＝25相切的切線方程．【分析】要求圓的切線，先判斷點(diǎn)的位置關(guān)系，再去求切線．【解】

將點(diǎn)P(1，－7)代入圓方程得12＋(－7)2＝50>25，∴點(diǎn)P在圓外．法一：設(shè)切線的斜率為k，由點(diǎn)斜式得y＋7＝k(x－1)，即y＝k(x－1)－7

①題型二求圓的切線方程例2由位置關(guān)系求切線的斜率．【點(diǎn)評(píng)】過(guò)一點(diǎn)求圓的切線，應(yīng)首先判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若在圓上，則該點(diǎn)即為切點(diǎn)，若在圓外可根據(jù)此點(diǎn)設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即得切線斜率．2．過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切點(diǎn)在第三象限，求該直線的方程．跟蹤訓(xùn)練圓C過(guò)點(diǎn)P(1,2)和Q(－2,3)，且圓C在兩坐標(biāo)軸上截得的弦長(zhǎng)相等，求圓C的方程．【分析】若設(shè)圓的一般方程，轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)相等的關(guān)系，計(jì)算量較大，因此可作出圖形，利用圖形性質(zhì)，從而可得圓心或半徑滿足的關(guān)系．題型三有關(guān)圓中弦的問(wèn)題例3主要用勾股定理及方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解】法一：如圖所示，∵圓C在兩坐標(biāo)軸上截得的弦長(zhǎng)相等，即|AD|＝|EG|，∴它們的一半也相等，即|AB|＝|GF|.又|AC|＝|GC|，∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴|BC|＝|FC|.設(shè)C(a，b)，則|a|＝|b|.

①【點(diǎn)評(píng)】

(1)解答本題的難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化“圓C在兩坐標(biāo)軸上截得的弦長(zhǎng)相等”的條件，法一是利用圓心在弦的垂直平分線上，從而得到圓心，求出半徑，這是解決有關(guān)圓中弦的問(wèn)題常見的思維方法；法二是從代數(shù)的角度，借助兩點(diǎn)間的距離公式作轉(zhuǎn)化的．(2)一般地，直線與圓相交涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題，常采用根與系數(shù)的關(guān)系或幾何法(半徑長(zhǎng)、圓心距和圓半徑構(gòu)成直角三角形)來(lái)解決，而利用幾何法更為簡(jiǎn)捷．跟蹤訓(xùn)練法二：由已知l：mx－y＋1－m＝0，得y－1＝m(x－1)，故直線恒過(guò)定點(diǎn)P(1,1)．因?yàn)?2＋(1－1)2＜5，所以P(1,1)在圓C內(nèi)，所以直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．直線y＝kx與圓x2＋y2－6x－4y＋10＝0相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，當(dāng)k取不同實(shí)數(shù)值時(shí)，求AB中點(diǎn)的軌跡．題型四有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題例4結(jié)合圓的幾何性質(zhì)或方程組思想研究弦中點(diǎn)的軌跡．【點(diǎn)評(píng)】

(1)涉及到直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常采用設(shè)而不求的代數(shù)方法．(2)法一是解決直線與曲線相交問(wèn)題的通用方法；法二是解弦中點(diǎn)問(wèn)題的通法，但必須是在直線與曲線一定相交的條件下使用；法三是運(yùn)用了圓的幾