第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析(宋壽鵬)

第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

（Time–domainanalysisofcontinuous-timesystems）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)

本章的重點(diǎn)是在LTI系統(tǒng)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用一些特定的數(shù)學(xué)手段，在給定系統(tǒng)及輸入信號(hào)的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。

描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具是常系數(shù)微分方程，也即系統(tǒng)的輸入與輸出之間通過(guò)它們的時(shí)間函數(shù)及對(duì)時(shí)間t的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合。要求系統(tǒng)的響應(yīng)實(shí)際上就是求解這一微分方程。本章的主要研究?jī)?nèi)容微分方程的建立與求解初始條件的確定零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)卷積定義、物理意義及性質(zhì)LTIf(t)y(t)信號(hào)與系統(tǒng)研究的內(nèi)容§2.1引言一、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時(shí)域表示時(shí)域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。二、系統(tǒng)分析過(guò)程經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過(guò)，但與(t)有關(guān)的問(wèn)題有待進(jìn)一步解決——h(t)；卷積積分法:

任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過(guò)沖激響應(yīng)來(lái)求。(新方法)§2.2微分方程的建立與求解1.微分方程的建立依據(jù)：KCL、KVL法則。例如：數(shù)學(xué)模型的一般形式：時(shí)間常數(shù)阻尼比系統(tǒng)固有頻率齊次解：由特征方程→求出特征根→寫(xiě)出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。2.微分方程的求解（經(jīng)典法解微分方程）全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。

我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，響應(yīng)為時(shí)的方程的解，初始條件初始條件的確定是要解決的主要問(wèn)題。齊次解的形式：無(wú)重根：有重根：系統(tǒng)自然頻率，即微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程的根。常數(shù)，由系統(tǒng)初始條件決定幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解激勵(lì)函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)y(t)的特解3.系統(tǒng)響應(yīng)劃分自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng)(Natural+forced)零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(Transient+Steady-state)

也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。

形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。(1)自由響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：4.各種系統(tǒng)響應(yīng)定義

是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t增加，它將消失。

由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。

(2)暫態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：

不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

(3)零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：

沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由系統(tǒng)狀態(tài)值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，待定系數(shù)由下式確定。

例1.求微分方程的齊次解解：系統(tǒng)的特征方程為：特征根：重根故齊次解為：例2.給定微分方程若已知：分別求特解。解：（1）.將代入，得設(shè)特解的形式為：將其代入原方程，得根據(jù)方程兩邊對(duì)應(yīng)相等原則，得故特解為：（2）將代入設(shè)得故，特解為§2.3初始條件的確定（從0－到0＋的跳變）系統(tǒng)起始條件：輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)前的一瞬間記為0－，在此時(shí)刻的邊界條件稱為起始條件，或起始狀態(tài)。記為：系統(tǒng)初始條件：輸入信號(hào)在t=0時(shí)作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)會(huì)發(fā)生跳變，此時(shí)的邊界條件稱為初始條件。記為：1.基本概念微分方程求解時(shí)待定系數(shù)Ai由系統(tǒng)的初始條件來(lái)確定。當(dāng)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時(shí)，初始條件等于起始條件。跳變規(guī)則：（1）換路定律1：當(dāng)電感電壓有限時(shí)，電感電流是連續(xù)的。即（2）換路定律2：當(dāng)電容電流有限時(shí)，電容電壓是連續(xù)的。即2.邊界條件的跳變問(wèn)題（1）物理概念法換路定律，基爾霍夫定律。例：（a）(a):開(kāi)關(guān)閉合前:開(kāi)關(guān)閉合后:（b）開(kāi)關(guān)閉合前，開(kāi)關(guān)閉合后:(b)（2）函數(shù)匹配法思路：跳變與否由函數(shù)決定。根據(jù)t＝0時(shí)刻微分方程左右兩端的及其各階導(dǎo)數(shù)相平衡確定初始條件。例:已知微分方程：確定其初始條件。解：設(shè)對(duì)其進(jìn)行積分式中，表示從0－到0＋相對(duì)單位跳變函數(shù)將和代入微分方程，得根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等，可看出在t=0時(shí)，從0－到0＋有－9個(gè)單位跳變當(dāng)已知時(shí)，求解微分方程的步驟一、元件的算子模型注意：是代表一種運(yùn)算作用在時(shí)間函數(shù)上，而不是相乘。所以，二、算子的運(yùn)算規(guī)則1.滿足分配律，可進(jìn)行因式分解2.不滿足交換律而除非,否則3.不滿足消去律即同上式不符同樣有即等式兩邊中相同的算符不能隨便消去。三、傳輸算子

一個(gè)單輸入、單輸出的線性非時(shí)變系統(tǒng)可用一個(gè)n階常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述，其算子形式為式中為算子多項(xiàng)式。所以……2.3-1一、定義一個(gè)LTI系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為0時(shí)，輸入信號(hào)為單位沖激信號(hào)δ(t)時(shí)所引起的響應(yīng)稱為單位沖擊響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖擊響應(yīng)，用h(t)表示。

同樣，系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)U(t)作用下所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)，用g(t)來(lái)表示LTI“0”LTI“0”2-5連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)二、沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系LTI“0”LTI“0”三、單位沖激響應(yīng)

激勵(lì)為單位沖激信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。1、部分分式法1）一階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)t>0時(shí)，因所以，沖激響應(yīng)的形式為：特征方程：特征根：將（2）（3）代入（1）得：所以，一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：2）高階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)(自習(xí))傳輸算子特征方程：a）當(dāng)n>m，且特征根均為單根時(shí)：將H(p)展開(kāi)成部分分式：b）當(dāng)n>m，特征根有重根時(shí)：設(shè)重根為：p1=p2···=pr其余為單根將H(p)展開(kāi)成部分分式：c）當(dāng)n=m時(shí)：先用長(zhǎng)除法，再展開(kāi)成部分分式：此時(shí)，h(t)中含有沖激信號(hào)d）當(dāng)n<m時(shí)：同樣先用長(zhǎng)除法，再展開(kāi)成部分分式：a）求傳輸算子H(p)；b）如果m≥n,用長(zhǎng)除法將H(p)化為真分式；c）H(p)部分分式；d）根據(jù)H(p)部分分式的各項(xiàng)，寫(xiě)出單位沖激響應(yīng)h(t)；3）求單位沖激響應(yīng)的一般步驟求f(t)=(t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)h(t)。例1：已知描述某系統(tǒng)的微分方程為答：例：

已知描述某系統(tǒng)的微分方程如下，求f(t)=(t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)h(t)。解：2、系數(shù)平衡法系統(tǒng)自然頻率為單位沖激響應(yīng)形式與零輸入響應(yīng)形式相同，即以h(t)=y(t)，f(t)=(t)代入方程，平衡系數(shù)可得四、單位階躍響應(yīng)求解方法：激勵(lì)為單位階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng).例5：求例1系統(tǒng)當(dāng)f(t)=U(t)時(shí)的零狀態(tài)y(t)。解：

例6：已知描述某系統(tǒng)的微分方程為求f(t)=U(t)時(shí)的零狀態(tài)y(t)。解：2.6零狀態(tài)響應(yīng)的求解

——卷積積分LTI“0”信號(hào)分解響應(yīng)合成(卷積)(卷積)圖2.6-1一、卷積積分1.有始信號(hào)分解為矩形窄脈沖信號(hào)f(t)t0f(0)圖2.6-2(a)f(t)t0f(0)f0f1f2fk0f(t)t…2.6-1

上式表明有始時(shí)間信號(hào)可分解為一系列具有不同幅度、不同時(shí)延沖激信號(hào)的迭加——卷積積分2.卷積積分定義……2.6-3二、響應(yīng)的合成(沖激響應(yīng)為例)“0”LTI3.對(duì)任意的無(wú)始無(wú)終信號(hào)，有4.若把信號(hào)分解為階躍信號(hào)的迭加，同理可得……2.6-4三、示例例2.6-1如圖2.6-5(a)電路，已知f(t)如圖(b)所示，求h(t)、g(t)及零狀態(tài)響應(yīng)i(t)f(t)0tRLf(t)i(t)圖2.6-5(a)圖2.6-5(b)Rf(t)解：容易寫(xiě)出算子方程Lp2.7卷積積分的性質(zhì)一、卷積的代數(shù)律

（交換律、結(jié)合律、分配律）1.交換律前面已經(jīng)證明：……2.7-1從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看卷積的交換律即：也就是說(shuō)

信號(hào)不僅是信息的一種體現(xiàn)，也是系統(tǒng)時(shí)間特性的一種體現(xiàn)。即：信號(hào)可由系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)可用信號(hào)來(lái)仿真

2.結(jié)合律如圖

從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看，兩個(gè)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。即y1h(t)h(t)且與級(jí)聯(lián)次序無(wú)關(guān)。

h(t)

h2h(t)圖2.7-23.分配律

如圖,分配律表明，并聯(lián)LTI系統(tǒng)對(duì)輸入f(t)的響應(yīng)等于各子系統(tǒng)對(duì)f(t)的響應(yīng)之和。

h1(t)圖2.7-3……2.7-3二、卷積的微分與積分1.微分可推廣到n次微分……2.7-6……2.7-72.積分

兩個(gè)函數(shù)卷積后的積分等于其中一個(gè)函數(shù)積分后與另一函數(shù)卷積。即：……2.7-6…….2.7-73.根據(jù)微分、積分性質(zhì)，顯然……..2.7-8001-1tt(a)(b)圖2.7-80tt00t1-1解：如圖2.7-9-2圖2.7-9波形如圖2.7-10t0圖2.7-10卷積的圖解說(shuō)明用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復(fù)雜時(shí)，用圖形分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確，用解析式作容易出錯(cuò)，最好將兩種方法結(jié)合起來(lái)。

一、圖解示例如圖2.8-3所示，已知)(1tf和)(2tf用圖解定積分限求)()(21tftf*。110034tt圖2.8-3(a)(b)103t1)如圖2.8-4(a)圖2.8-4(a)02)13如圖2.8-4(b)圖2.8-4(b)tt-433)10tt-4如圖2.8-4(c)圖2.8-4(c)3t-4t4)10如圖2.8-4(d)圖2.8-4(d)t0347相應(yīng)波形如圖2.8-5所示圖2.8-5結(jié)論：1.積分上下限是兩函數(shù)重迭部分的邊界

下限為兩函數(shù)左邊界的最大者上限為兩函數(shù)右邊界的最小者2.卷積的時(shí)限=兩函數(shù)時(shí)限之和。例2.8-101t如圖2.8-6所示圖2.8-6解：01t如圖2.8-7(a)圖2.8-7(a)01如圖2.8-7(b)圖2.8-7(b)t01t如圖2.8-7(c)圖2.8-7(c)相應(yīng)波形如圖2.8-8所示t0圖2.8-8思考：例2.8-2)()()(

)()(

)()(

21221tftftytUetftUetftt*===--求已知1010tt如圖2.8-9(a).(b)所示圖2.8-9(a)(b)解：10t如圖2.8-10(a)所示圖2.8-10(a)10t如圖2.8-10(b)所示圖2.8-10(b)例