第五章 結構位移計算

第五章結構的位移計算基本要求：

理解實功、虛功、廣義力、廣義位移的概念，變形體虛功原理和互等定理。掌握荷載產(chǎn)生的位移計算。熟練掌握圖乘法求位移。了解了解溫度改變、支座移動引起的位移計算。5.1概述

一、結構位移種類A位移角位移線位移A點線位移A點水平位移A點豎向位移A截面角位移P絕對位移相對位移：指兩點或兩截面相互之間位置的改變量。FP1FP2FP3CDABCD兩點的相對水平位移AB兩截面的相對角位移FP1FP2FP3CDAB還有什么原因會使結構產(chǎn)生位移?二、使結構產(chǎn)生位移的因素制造誤差等荷載溫度改變支座移動為什么要計算位移?鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定:

三、計算位移的目的(1)驗算結構剛度在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。校核結構的位移是否超過允許限值，以防止構件和結構產(chǎn)生過大的變形而影響結構的正常使用。

如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結點產(chǎn)生虛線所示位移。將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設計的水平位置。(2）建筑起拱和施工要求(3)為超靜定結構計算打基礎超靜定結構的計算要同時滿足平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件。abABCFP=1ABCab四、虛力原理已知求虛功方程設虛力狀態(tài)小結：（1）形式是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程；（2）在擬求位移方向虛設一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相應的支座反力。構造一個平衡力系；（3）特點是用靜力平衡條件解決幾何問題。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。——虛設力系求剛體體系位移五、支座位移時靜定結構的位移計算（1）C點的豎向位移（2）桿CD的轉(zhuǎn)角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:所得正號表明位移方向與假設的單位力方向一致。求解步驟（1）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虛功方程練習：

已知剛架支座B向右移動a,求。解：1）求CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求DCADB10.50.5h/dh/dd/2d/22）求CADB1/h1/h00d/2d/2113）求CABhd/2d/2aD§5.2結構位移計算一般公式1.局部變形時靜定結構的位移計算BABA1AB虛功方程：BABA1A例1、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角d，試求A點在i－i方向的位移。例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對剪位移d，試求A點在i－i方向的位移。例3、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d試求A點在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡條件：虛功方程：當截面B同時產(chǎn)生三種相對位移時，在i－i方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：推導位移計算公式的兩種途徑{由變形體虛功原理來推導；由剛體虛功原理來推導－局部到整體。2、局部變形時的位移計算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三種變形：在剛性桿中，取微段ds設為變形體，分析局部變形所引起的位移。dsRdsdsRds1（2）微段兩端相對位移：續(xù)基本思路：設 微段的變形以截面B左右兩端的相對位移的形式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。（3）應用剛體虛功原理求位移d－即前例的結論。或3、結構位移計算的一般公式一根桿件各個微段變形引起的位移總和：如果結構由多個桿件組成，則整個結構變形引起某點的位移為：若結構的支座還有位移，則總的位移為：適用范圍與特點：2）形式上是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程。關于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。（3）結構類型：各種桿件結構。（4）材料種類：各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理。4.求位移步驟如下：①沿擬求位移方向虛設性質(zhì)相應的單位載荷；②求結構在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；③利用位移計算一般公式求位移。5.廣義位移的計算求圖a）結構A、B截面相對水平位移。+a)給定位移qABΔAHΔBHκ,γ0,

εc)虛設單位荷載1AB1b)AB11d)虛設單位荷載2AB1=虛設單位載荷如上頁圖c)，d)所示。由上圖b)可得：所以得：所以，為了求兩個截面的相對位移，只需要在該兩個截面同時加一對大小相等，方向相反，性質(zhì)與所求位移相應的單位荷載即可。下面給出幾種情況的廣義單位荷載：1)q求Δφ11單位荷載AB1/l1/l單位荷載ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBV2)1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBV(A，B截面豎向位移之和）(A，B截面相對豎向位移）ABFPΔAVΔBV原結構3)例:1)求A點水平位移所加單位廣義力與所求廣義位移相對應,該單位廣義力在所求廣義位移上做功.2)求A截面轉(zhuǎn)角3)求AB兩點相對水平位移4)求AB兩截面相對轉(zhuǎn)角

5.3荷載作用下結構的位移計算CABDFP=1給定位移、變形κ,γ0,

εΔDH,ΔDV,θD(MP,FQP,FNP

)FPCABqDD若結構只有荷載作用，則位移計算一般公式為：上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線性彈性體。在荷載作用下，應變與內(nèi)力的關系式如下：（式中k為剪應力不均勻系數(shù)）正負號規(guī)則：1）不規(guī)定和的正負號，只規(guī)定乘積的正負號。若和使桿件同一側纖維受拉伸長，則乘積為正，反之為負；正MP正MP負MP2）和以拉力為正，壓力為負；3）和的正負號見下圖。各類結構的位移計算公式1.梁和剛架在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計算公式為：在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對位移的影響不容忽略。對于深梁，即h/l較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。

5.4荷載作用下結構的位移計算舉例2.桁架桁架各桿只有軸力，所以位移計算公式為：4.拱拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：3.組合結構用于彎曲桿用于二力桿解：例:求圖示桁架(各桿EA相同)k點水平位移.練習:求圖示桁架(各桿EA相同)k點豎向位移.PP=1例：求圖示曲桿（1/4圓?。╉旤c的豎向位移Δ。解：1）虛擬單位荷載qcos=FQq

sin-=FNqsin-=RMqcos=PFQPqsin-=PFNPqsin-=PRMP虛擬荷載下內(nèi)力3）位移公式為QNMD+D+D=GAPREAPREIPR++=D4443pkppds=Rdθθdθds鋼筋混凝土結構G≈0.4E矩形截面,k

=1.2,I/A=h2/1212001<DDMND4001<DMQD2=DMNARI2412???è?==DDMQRhGAREIk可見剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計。但對于深梁剪切變形引起的位移不可忽略.2）實際荷載下內(nèi)力dGAPRdEAPREIPR+??è???+=òòcossin20203qq

kqqpp22h101<R如PGAdsFQPFQEAdsFNPFNEIdsMM++=Dòòòk例題5－3如圖所示為等截面簡支梁，其左半跨內(nèi)均布荷載q，梁橫截面的彎曲慣性矩為I，試求該梁中點截面C的角位移ΦC。解：在左半跨內(nèi)(0≤x≤l/2):在右半跨內(nèi)(0≤x≤l/2):作業(yè)5-15-25-65-85-105.5圖乘法在桿件數(shù)量多的情況下,不方便.下面介紹計算位移的圖乘法.剛架與梁的位移計算公式為：òkidsEIMMòT=kiCEIdxMMEI1?ò?==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòTBAkMdxxtgMEIi1a是直線òTkidxEIMM直桿αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ωy0=x0tgα一、圖乘公式推導òBAkdxxMMK對y軸的靜矩。圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學院的學生。圖乘法的適用條件是什么?AB1.圖乘法的應用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個M圖中應有一個是直線圖形；（3）應取自直線圖中。2.若與在桿件的同側，取正值；反之，取負值。(1)曲-折組合例如ycy2y1y3(2)階梯形截面桿二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法拋物線的頂點（FQ=0處）在拋物線的中點或端點.例.試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角.解:例.試求圖示結構B點豎向位移.解:（

）BAq例:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長為l)B截面轉(zhuǎn)角解:三、圖形分解求當彎矩圖的形心位置或面積不便于確定時，常將該圖形分解為幾個易于確定形心位置和面積的部分，并將它們分別與另一圖形相乘，然后再將所得結果相加。下面分兩種情況討論。三、圖形分解求三、圖形分解求C截面豎向位移當拋物線的頂點（FQ=0處）不在拋物線的中點或端點時，可將其分成直線形和簡單拋物線（如圖示），然后兩者分別與另一圖形相乘，再把乘得的結果相加。PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？？兩個圖形均非直線性豎標不是取在直線圖形中四、圖乘法小結1.圖乘法的應用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個M圖中應有一個是直線；（3）應取自直線圖中。2.若與在桿件的同側，取正值；反之，取負值。3.當圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當EI分段為常數(shù)或單位彎矩圖、荷載彎矩圖均非直線時，應分段圖乘再疊加；例1.已知EI為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移。五、應用舉例lqhq解：例2.已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側截面相對轉(zhuǎn)角。五、應用舉例解：lqllq例3.圖示梁EI為常數(shù)，求C點豎向位移。五、應用舉例l/2ql/2MP例3.圖示梁EI為常數(shù)，求C點豎向位移。五、應用舉例l/2ql/2MP例3.圖示梁EI為常數(shù)，求C點豎向位移。l/2ql/2MP5.6溫度作用時的位移計算靜定結構在溫度變化作用下各桿能自由變形，所以結構不產(chǎn)生內(nèi)力。1.是溫度改變值，而非某時刻的溫度。某時刻溫度另一時刻溫度t1,t2是溫度改變值

2.溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。截面上、下邊緣溫差：對于矩形截面桿件，，。hb桿軸線處溫度改變值：h1h2ht1t2t2-

t1dth1h2ht1t2ds3.微段ds的應變拉應變彎曲應變剪應變4.位移計算公式小結：1）正負號規(guī)則：及溫度變化使桿件同一側纖維伸長（彎曲方向相同），則乘積為正，反之為負。以溫度升高為正，降低為負，以拉力為正，壓力為負。2）例求圖示剛架C截面水平位移。已知桿件線膨脹系數(shù)為，桿件矩形橫截面高為h。解：CABdd1CABdd圖CAB圖§5-8變形體虛功原理及位移計算一般公式一、變形體虛功原理

定義：設變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應力的合力在變形上作的內(nèi)虛功Wi

，即W=Wi

。下面討論W及Wi的具體表達式。條件：1）存在兩種狀態(tài)：第一狀態(tài)為作用有平衡力系；第二狀態(tài)為給定位移及變形。以上兩種狀態(tài)彼此無關。2）力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。

3）上述虛功原理適用于彈性和非彈性

結構。第二狀態(tài)（給定位移和變形）q(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）外力虛功：微段ds的內(nèi)虛功dWi：整根桿件的內(nèi)虛功為：第二狀態(tài)（給定位移和變形）q(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）根據(jù)虛功方程W=Wi，所以有：結構通常有若干根桿件，則對全部桿件求總和得：小結：只要求兩個條件：力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。上述虛功原理適用于各類結構（靜定、超靜定、桿系及非桿系結構），適用于彈性或非彈性結構。

考慮了桿件的彎曲、剪切及軸向變形。1)2)3)

變形體虛功原理有兩種應用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設平衡力系求位移;虛位移原理：虛設位移求未知力。用變形體虛力原理求靜定結構的位移，是將求位移這一幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。二、位移計算的一般公式所以在變形體虛功方程中，若外力只是一個單位荷載，則虛功方程為：§5.9互等定理互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。一、功的互等定理功的互等本質(zhì)上是虛功互等。下圖給出狀態(tài)I和狀態(tài)II。狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I令狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：所以即定理在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。二、位移互等定理定理在任一線性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應的位移影響系數(shù)δ21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應的位移影響系數(shù)δ12。即δ12=δ21即由功的互等定理可得：在線性變形體系中，位移Δij與力FPj的比值是一個常數(shù)，記作δij，即：或于是所以狀態(tài)II12狀態(tài)I121212說明：1）

δij也稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。

i產(chǎn)生位移的方位；j產(chǎn)生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應的δ12和δ21就是線位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱上仍然保持相等。圖示同一結構的兩種狀態(tài)，根據(jù)位移互等定理下列式子正確的是AΔ1=Δ3Bθ2=θ4

CΔ3=θ2DΔ1=θ4

例

驗證位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=FΔ212a/2a/21EIFP2=MΔ122FFa/4M11a/41/2M/2所以例

驗證位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ12解：所以153111三、反力互等定理

反力互等定理只適用于超靜定結構，因為靜定結構在支座移動時只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11狀態(tài)I12C2FR22FR12狀態(tài)II根據(jù)功的互等定理有：在線性變形體系中，反力FRij與Cj的比值為一常數(shù)，記作rij，即或所以得說明：rij也稱為剛度系數(shù)，即產(chǎn)生單位位移所需施加的力。其量綱為。i產(chǎn)生支座反力的方位；

j產(chǎn)生支座移動的支座。某桁架支座B被迫下沉5mm，并測得下弦結點相應的撓度如題1.7（a）圖所示，此時桁架上無其它荷載。題1.7（b）圖所示荷載作用下引起的支座B的反力為

。定理在任一線性變形體系中，由位移C1引起的與位移C2相應的反力影響系數(shù)r21等于由位移C2引起的與位移C1相應的反力影響系數(shù)r12。四、位移反力互等定理根據(jù)功的互等定理有：令狀態(tài)I1FP12FR21狀態(tài)II1Δ122C2位移反力互等定理在混合法中得到應用。所以由此得到即上式中力可以是廣義力，位移可以是廣義位移。符號相反表明：虛功方程中必有一項，其力和位移方向相反。系數(shù)、的量綱都是。定理在任一線性變形體系中，由位移C2引起的與荷載FP1相應的位移影響系數(shù)在絕對值上等于由荷載FP1引起的與位移C2相應的反力影響系數(shù)

，但二者符號相反。作業(yè)5-185-205-235-29小結在靜定結構與超靜定結構分析中，本章內(nèi)容起著承上啟下的作用。它既是靜定結構的結尾，又是超靜定部分的先導。虛功原理

單位荷載法位移計算的一般公式是：位移計算時應注意以下幾點：分清式中包含的兩套物理量：一套是位移和應變，這是給定的；另一套是外力和內(nèi)力，這是虛設的。位移計算公式不但適應靜定結構，同時也適應與超靜定結構，要了解其使用的范圍。對于單位荷載法，要能夠正確的根據(jù)所求位移，虛設出單位荷載狀態(tài)。不同的結構和狀態(tài)又不同的計算公式，梁和剛架、桁架、支座移動、溫度改變各有相應的計算公式和方法。圖乘法是計算粱和剛架的位移的基本方法，一方面要了解圖乘法的應用條件，另一方面要熟練掌握計算方法。1.1結構發(fā)生了變形，必然會引起位移，反過來，結構有位移必然有變形發(fā)生。1.2無法用圖示單位荷載，來求圖示結構中K點的