第五章 連續(xù)系統(tǒng)s域分析

第五章：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析本章目錄FFFF

拉普拉斯變換拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯反變換連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

引言

頻域分析以虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。

本章引入復(fù)頻率s=σ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。5.1拉普拉斯變換laplacetransform5.1拉普拉斯變換f(t)稱為Fb(s)

的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。5.1拉普拉斯變換二、收斂域例1因果信號(hào)f1(t)=et(t)

，求其拉普拉斯變換。

解

對(duì)于因果信號(hào)，當(dāng)Re[s]=>時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。5.1拉普拉斯變換例2反因果信號(hào)f2(t)=et(-t)

，求其拉普拉斯變換。解

對(duì)于反因果信號(hào)，當(dāng)Re[s]=<時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。5.1拉普拉斯變換例3雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)

僅當(dāng)>時(shí)，其收斂域?yàn)?lt;Re[s]<的一個(gè)帶狀區(qū)域。5.1拉普拉斯變換例4求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。5.1拉普拉斯變換theunilateralLaplacetransform5.1拉普拉斯變換5.1拉普拉斯變換5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)propertiesoflaplacetransform一、線性性質(zhì)若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例2：如圖信號(hào)f(t)的拉氏變換F(s)=求圖中信號(hào)y(t)的拉氏變換Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)三、時(shí)移（延時(shí)）特性若f(t)

<--->F(s),Re[s]>0,且有實(shí)常數(shù)t0>0,則f(t-t0)(t-t0)<--->e-st0F(s),Re[s]>0

與尺度變換相結(jié)合f(at-t0)(at-t0)←→例3:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例4:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例5:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F

(s)=?5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)5.2拉普拉斯變換性質(zhì)四、復(fù)頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>1

,且有復(fù)常數(shù)s0=0+j0,則f(t)es0t←→F(s-s0),Re[s]>1+0

e–a

tsinbte(t)e–a

tcosbte(t)

例6：求

L[e–a

tsinbte(t)

],L[e–a

tcosbte(t)

]5.2拉普拉斯變換性質(zhì)例7:已知因果信號(hào)f(t)的象函數(shù)F(s)=

求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。解：由復(fù)頻移性質(zhì)得e-tf(3t-2)←→5.2拉普拉斯變換性質(zhì)五、時(shí)域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則f’(t)←→sF(s)–f(0-)

f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)為因果信號(hào)，則f(n)(t)←→snF(s)5.2拉普拉斯變換性質(zhì)因?yàn)閒(t)是因果信號(hào)，所以f’(t)←→sF(s)題1:(n)(t)←→?題2:題3:5.2拉普拉斯變換性質(zhì)六、時(shí)域積分特性

若

f(t)←→

F(S），Re[s]>s0L[f

(-n)(t)]的收斂域?yàn)镽e[s]>s0和Re[s]>0的重疊的部分。若f(t)為因果信號(hào)，f(-n)(0-)=0，則f(-n)(t)←→F

(s)/sn例10：已知L[e(t)]=1/S,

求

L[tn

e(t)]解：利用積分特性5.2拉普拉斯變換性質(zhì)5.2拉普拉斯變換性質(zhì)例11:已知因果信號(hào)f(t)如圖,求F(s)解：對(duì)f(t)求導(dǎo)得f’(t)，如圖由于f(t)為因果信號(hào)，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–2δ(t–2)←→F1(s)結(jié)論：若f(t)為因果信號(hào)，已知f(n)(t)←→Fn(s),則f(t)←→Fn(s)/sn5.2拉普拉斯變換性質(zhì)若f1(t)?F1(S)，Re[s]>s1f2(t)?F2(S),Re[s]>s2七、時(shí)域卷積定理則f1(t)*f2(t)?F1(S)?F2(S)

收斂域至少是s1，s2

的公共部分復(fù)頻域（s域）卷積定理

5.2拉普拉斯變換性質(zhì)…t(1)4206收斂條件|e-TS|<1(即Re[s]>0),

收斂域比單個(gè)的沖激信號(hào)小*=等比級(jí)數(shù)，公比q=e–TS例12：求L[f(t)]5.2拉普拉斯變換性質(zhì)八、S域微分和積分性質(zhì)若f(t)?F(S)，Re[s]>s0

Re[s]>s0例14：求L[t2e-te(t)]解：令

f(t)=e-te(t)由S域微分

f(t)=

t2

e-te(t)=(–t)2e-te(t)1）S域微分5.2拉普拉斯變換性質(zhì)2）S域積分若f(t)?F(S)，Re[s]>s05.3拉普拉斯逆變換求拉普拉斯逆變換的方法（當(dāng)F(S)為S的有理分式時(shí)）2）查表法（附錄五）自學(xué)3）部分分式展開(kāi)法(常用,要求重點(diǎn)掌握)1）由逆變換的公式，利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理求。不要求5.3拉普拉斯逆變換若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫(xiě)為

若m≥n

（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。

由于L-1[1]=(t)，L

-1[sn]=(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。5.3拉普拉斯逆變換部分分式展開(kāi)法若F(s)是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫(xiě)為

A(s)稱為F(s)的特征多項(xiàng)式。A(s)=0稱為特征方程。Si可能是實(shí)根或復(fù)根；可能是單根，也可能是重根。令

A(S)=0

可得一元n次方程的n個(gè)根Si(i=1,2,…,n)

Si稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率），也稱為F(s)的極點(diǎn)。

5.3拉普拉斯逆變換1.F(S)僅有單極點(diǎn)[即A(S)=0的n個(gè)根為互不相等的單根時(shí)]求系數(shù)ki的方法F(S)可展開(kāi)成5.3拉普拉斯逆變換例1:5.3拉普拉斯逆變換5.3拉普拉斯逆變換2.F(S)含有共軛單極點(diǎn)(S1~Sn有不相等的復(fù)根)5.3拉普拉斯逆變換

可見(jiàn)A(S)的根為共軛復(fù)根時(shí)，只需要求其中的一個(gè)系數(shù)即可寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)果。f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)若寫(xiě)為K1,2=A±jBf1(t)=2e-t[Acos(t)–Bsin(t)](t)5.3拉普拉斯逆變換例25.3拉普拉斯逆變換5.3拉普拉斯逆變換3.F(S)含有重根時(shí)（重極點(diǎn)）討論求k1i的方法5.3拉普拉斯逆變換K11=[(s–s1)rF(s)]|s=s1K12=(d/ds)[(s–s1)rF(s)]|s=s1

5.3拉普拉斯逆變換例3:5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析一、系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解時(shí)域關(guān)于響應(yīng)y(t)

的微分方程系統(tǒng)響應(yīng)y(t)

關(guān)于響應(yīng)Y(s)

的代數(shù)方程系統(tǒng)響應(yīng)Y(s)

S域LL-1求解微分方程求解代數(shù)方程系統(tǒng)微分方程S域求解的依據(jù)是拉氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)S域分析法可同時(shí)求出連續(xù)系統(tǒng)的yzi(t)、yzs(t)

及y(t)描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。由拉普拉斯變換微分特性若f(t)在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則f(j)(t)←→sjF(s)5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析則對(duì)微分方程做拉普拉斯變換得A(S)M(S)B(S)5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析Yzi(s)Yzs(s)A(S)、B(S)的系數(shù)僅與微分方程的系數(shù)ai

、bj有關(guān)。M(S)的系數(shù)與ai

和響應(yīng)的各初始狀態(tài)y(p)(0–

)有關(guān)，而與激勵(lì)無(wú)關(guān)。y(t)=L-1[Y(s)]=L-1[Yzi(s)]+L-1[Yzs(s)]＝y(tǒng)zi(t)＋yzs(t)。yh(t)（自由/暫態(tài)響應(yīng)）yp(t)Yzi(S)Yzs(S)yzi(t)yzs(t)(強(qiáng)迫/穩(wěn)態(tài)響應(yīng))Y(S)極點(diǎn)的說(shuō)明a)特征根形成的極點(diǎn)(即A(S)=0的根)b)激勵(lì)信號(hào)象函數(shù)F(S)的極點(diǎn)

（決定系統(tǒng)的自由響應(yīng)）（決定系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)）5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析二、系統(tǒng)函數(shù)H(S)可看出:H(S)只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，與激勵(lì)、初始狀態(tài)均無(wú)關(guān)，H(S)反映系統(tǒng)的固有特性。5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析系統(tǒng)函數(shù)H(S)的原函數(shù)沖激響應(yīng)h(t)是輸入f(t)=(t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)，且階躍響應(yīng)g(t)是輸入f(t)=(t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)，且由系統(tǒng)的微分方程求

H(s)

H(s)只與方程的系數(shù)和階數(shù)有關(guān)由H(s)寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程解:

解:

5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析三、系統(tǒng)的S域模型（f(t)為因果信號(hào)）

由系統(tǒng)的時(shí)域模型根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)可得系統(tǒng)的S域模型5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析時(shí)域框圖基本單元∫f(t)af(t)y(t)=af

(t)s域框圖基本單元s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++例6已知圖所示系統(tǒng)y(0–)=1、y‘(0–)=2,f(t)=ε(t)求yzi(t)和yzs(t)5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析上述兩式做除法得對(duì)第1個(gè)加法器，得對(duì)第2個(gè)加法器，得yzs(t)=(3/2–2e-t+e-2t/2)ε(t)零輸入響應(yīng)yzi(t)

激勵(lì)為0，故yzi(t)滿足

yzi”(t)+3yzi’(t)+2yzi(t)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=1yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=2

該齊次方程的特征根為–1，–2，故

yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t

代入初始值并解得系數(shù)為Czi1=4,Czi2=–3

，代入得

yzi(t)=(4e–t–3e–2t)ε(t)y”(t)+3y’(t)+2y(t)=f’(t)+3f(t)5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析四、電路的S域模型1基爾霍夫定律的S域形式aKCL的S域形式bKVL的S域形式

2元件VAR的S域形式及其S域模型a電阻元件R(G)R(G)5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析b電容元件串聯(lián)形式的S模型并聯(lián)形式的S模型當(dāng)初始狀態(tài)為零時(shí)5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析c電感元件串聯(lián)形式的S模型并聯(lián)形式的S模型當(dāng)初始狀態(tài)為零時(shí)5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析3RLC系統(tǒng)的S域模型及分析方法基本步驟：1）畫(huà)t=0-等效電路，求初始狀態(tài)；2）

畫(huà)s域等效模型；3）

列s域電路方程（代數(shù)方程）；4）解s域方程，求出s域響應(yīng)；5）反變換求t域響應(yīng)。5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析其中：（運(yùn)算阻抗）（運(yùn)算導(dǎo)納）例8圖所示電路換路(t=0時(shí)換路)前已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，已知us(t)=12V，求uzi(t),uzs(t)。5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析a列出a點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)方程將L、C的數(shù)據(jù)帶入上式，得5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析5.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻(S)域分析例9

如圖所示電路，已知uS(t)=(t)V，iS(t)=δ(t)，起始狀態(tài)uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求電壓u(t)。解：畫(huà)出電路的s域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1u(t)=e–t(t)–3te–t(t)V若求uzi(t)和uzs(t)五、拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系FT和LT都是對(duì)f(t)進(jìn)行積分變換~把f(t)分解為無(wú)窮多項(xiàng)虛指數(shù)函數(shù)ejwt之和~把f(t)分解為無(wú)窮多項(xiàng)復(fù)指數(shù)函數(shù)eSt

之和只討論因果信號(hào)f(t)的拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系f(t)的F(s)存在時(shí)其F(jw