第3章 傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模

傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術

——傳感器系統(tǒng)模型(1)單傳感器系統(tǒng)1)單傳感器系統(tǒng)結構2)建模所要做的工作:(a)制作樣本(s(1),y(1)),(s(2),y(2)),···,(s(N),y(N));(b)確定函數s=f(y)sSensory=f

(s)計算機或微處理器檢測結果yss=f(y)傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術

——傳感器系統(tǒng)模型(2)多傳感器系統(tǒng)1)多傳感器系統(tǒng)結構s1s2snSensor1Sensor2Sensormy1=f1(s1,s1,···,

sn)y2=f2(s1,s2,···,

sn)ym=fm(s1,s2,···,

sn)計算機或微處理器檢測結果y1y2ymSs1=f’1(y1,y2,···,

ym)s2=f’2(y1,y2,···,

ym)sn=f’n(y1,y1,···,

ym)2)建模所要做的工作:(a)獲取標定數據；(b)確定函數f1,f2,···,fn傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術

——建模方法分類按是否求取參數分：1)參數擬合建模設定某個模型，以實現(xiàn)對數據擬合，確定該模型的參數的過程。常用方法為最小二乘法(多項式回歸)。(2)無參數擬合建模只關心由數據得到的平滑曲線/曲面，并不關心擬合參數，采用方法為插值法(三次樣條插值)。傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術

——建模方法

按模型自變量個數(傳感器個數)劃分可分為：(1)單輸入-輸出模型建模1)無參數擬合建模法：插值法，臨近點取值法2)參數擬合建模法：選定模型，求參數。(2)多輸入-輸出模型建模1)無參數擬合建模法三角法(線性插值)，臨近點取值法，多維曲面插值法。2)參數擬合建模法常采用多項式模型，最小二乘法擬合傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法(1)線性插值法UT0U4Ux

U5T(U4)T(U5)特點：1)方法簡單，實現(xiàn)容易，計算量?。?)逼近精度低。傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法(2)最臨近點法

把最臨近輸入點的輸出值作為該點的輸出。如右圖中Ux與Ux距離最近，于是T(Ux)=T(U5)。特點：1)方法簡單；2)這種方法不產生新的值，逼近精度差UT0U4Ux

U5T(U4)T(U5)傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法(3)多項式插值法由泰勒級數可知：因此，傳感器的逆函數可以用多項式來近似。已知函數y=f(x)在m個點xi處的函數值及倒數值yi,???,yj(r-1),為求f(x)的近似簡單函數φ(x)，應當要求φ(x)滿足條件φ(xi)=yi,φ(xi)=yj,???。這種條件稱為插值條件，φ(x)稱為插值函數，f(x)稱為被插函數，x0,x1,???,xm稱為插值節(jié)點，最小節(jié)點與最大節(jié)點之間的區(qū)間稱為插值區(qū)間。傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法多項式插值法類別：拉格朗日插值法；逐次線性插值法；牛頓插值法；樣條插值法；Sinc函數插值法。傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法1)拉格朗日多項式插值法滿足插值條件:Pn(xi)=yi=f(xi),i=0,1,???,n的n次多項式稱為函數y=f(x)的拉格朗日插值多項式。線性插值表達式可改寫為：依此類推可得

Tn(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+???+ln(x)yn且

l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0,???,l0(xn)=0明顯地:l0(x)含有因式(x-x1)(x-x2)???(x-xn)時，可使得l0(x1)=0,l0(x2)=0,???,l0(xn)=0。傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法又l0(x0)=1，于是讓l0(x)的分母為(x0-x1)(x0-x2)???(x0-xn)即可。依此類推，可得到于是可以獲得拉格朗日插值通式：拉格朗日插值法由于存在龍格效應問題，在實踐中并不常用。傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法龍格效應UT0U4Ux

U5T(U4)T(U5)誤差曲線逼近曲線被逼近曲線傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法2)三次樣條多項式插值法所謂樣條（Spline），本來是指一種繪圖工具，它是一種富有彈性的細長木條，在飛機或輪船制造過程中，被用于描繪光滑的外形曲線。使用時，用壓鐵將其固定在一些給定的節(jié)點上，在其他地方任其自然彎曲，然后依樣畫下的光滑曲線，就稱為樣條曲線。它實際上是由分段三次曲線拼接而成，在連續(xù)點即節(jié)點上，不僅函數自身是連續(xù)的，而且它的一階和二階導數也是連續(xù)的。傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法

從數學上加以概括，可得到樣條函數的定義如下：三次樣條函數記作S(x)，，滿足：

①在每個小區(qū)間是三次多項式。

②在每個內節(jié)點上具有二次連續(xù)導數。

③

由三次樣條函數中的條件①知，S(x)有個4n待定系數。由條件②知，S(x)在n-1個內節(jié)點上具有二階連續(xù)導數，即滿足條件：

傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法

共有3(n-1)個條件。由條件③，知S(xi)=yi，共有個n+1條件。因此，要確定一個三次樣條，還需要外加4n-3(n-1)-(n+1)=2個條件，最常用的三次樣條函數的邊界條件有兩類：第一類邊界條件：第二類邊界條件：特別地，，稱為自然邊界條件。第三類邊界條件：稱為周期邊界條件。

傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法構造滿足條件的三次樣條插值函數S(x)的表達式可以有多種方法。下面我們利用S(x)的二階導數值S(xj)=Mj(j=0,1,???,n)表達S(x)，由于S(x)在區(qū)間[xj,xj+1]上是三次多項式，故S(x)在[xj,xj+1]上是線性函數，可表示為

其中hi=xj+1-xj傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法對S(xj)積分兩次并利用S(xj)=yj及S(xj+1)=yj+1，可定出積分常數，于是得三次樣條表達式

式中Mj(j=0,1,???,n)是未知的，為確定Mj，對S(x)求導得由此可得傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法類似地可求出S(x)在區(qū)間[xj,xj+1]上的表達式，從而得

利用

可得式中：傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法

對第一類邊界條件，可導出兩個方程

如果令，

則可寫出矩陣

通過求解上述三對角矩陣可求得。

傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法對于第二類邊界條件，直接得端點方程如果令，則式及式也可以寫成矩陣的形式。

傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——插值法對于第三類邊界條件，可得

其中

于是式及式可以寫成矩陣形式

求解上述矩陣可得

傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——Matlab工具箱函數簡介(1)spline

三次樣條插值函數調用格式：YY=SPLINE(X,Y,XX)X：輸入向量；Y輸出向量；XX待插值點；YY:對應于XX的輸出值。PP=SPLINE(X,Y)返回三次樣條插值分段多項式形式，為隨后的PPVAL和UNMKPP所用。實例：x=0:10;y=sin(x);xx=0:.25:10;yy=spline(x,y,xx);plot(x,y,'o',xx,yy)傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——Matlab工具箱函數簡介傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——Matlab工具箱函數簡介(2)PPVAL

估計分段多項式的值調用格式：V=PPVAL(PP,XX)PP為由spline構建的分段多項式，XX為待求值的輸入值，V為對應于XX的輸出值。實例：x=0:10;y=sin(x);PP=spline(x,y);xx=0:.25:10;yy=ppval(PP,xx);figure;plot(xx,yy,'r',xx,sin(xx),'b',xx,yy-sin(xx),'m')傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——Matlab工具箱函數簡介xxyy誤差曲線傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——Matlab工具箱函數簡介3)Csapi三次樣條插值函數調用格式：VALUES=CSAPI(X,Y,XX)X：輸入向量；Y輸出向量；XX待插值點；VALUES:對應于XX的輸出值。PP=CSAPI(X,Y)返回三次樣條參數的一個結構體，為FNVAL,FNDER,FNPLT所用。4)FNPLT用來勾畫出一個函數調用格式(a)FNPLT(F)(b)FNPLT(F,SYMBOL,INTERV,LINEWIDTH,JUMPS)傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——Matlab工具箱函數簡介格式(a)在基本區(qū)間中畫出函數F；格式(b)以指定的區(qū)間INTERV=[a,b](默認為基本區(qū)間)，用指定的線條類型SYMBOL(默認為‘-’)和線寬LINEWIDTH(默認為1)，并在JUMPS是以j開頭的字符串時，用NaNs給出任意的跳躍作為實際跳躍。4)FNVAL用于估計函數調用格式：VALUES=FNVAL(F,X)或者FNVAL(X,F)傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(1)

——Matlab工具箱函數簡介

估計由F描述的函數在X點的數值。如果函數是d-向量，X為[m,n]矩陣，那么Values是一個[d*m,n]陣列。如果把Values看作是一個[d,m,n]陣列，那么Values(h,i,j)是該函數在X(i,j)處的第h個分量。fnval(csapi(x,y),xx)=csapi(x,y,xx)傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(2)

——參數擬合建模法(1)參數擬合建模法的模型1)指數模型常用于放射周期等應用場合，如紅外光吸收。2)Fourier級數型3)Gaussian型常用于峰值擬合(RBF神經網絡)傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(2)

——參數擬合建模法4)多項式型5)冪型

常用于描述數據的變化，如化學反應中所消耗的反應物往往是反應物濃度的某個冪。6)比例式型傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(2)

——參數擬合建模法

多項式型與比例式型的優(yōu)點在于：靈活性大，對于被逼近的模型結果比較復雜時更為突出；缺點在于：階次較高時容易導致不穩(wěn)定，因此其階次不可取太高。對于多項式來說，往往取1<=n<=9，而對于比例式來說，通常取0<=n<=5,1<=m<=5，而且通常還需要對樣本數據進行正則化(圓化)。傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(2)

——參數擬合建模法7)正弦函數之和8)Weibull分布常用于可靠性數據或周期性數據分析。式中a為比例參數，b為形狀參數。更為一般的表達式為：傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(2)

——參數擬合建模法(2)多項式參數的最小二乘法求解1)模型：

s=pnyn+···+p2y2+p1y1+p0+式中y表示傳感器的輸出值；s表示待求的傳感器輸入，也就是被測參量；p0,···,pn為待確定的參數。2)假設：符合正態(tài)分布3)目標：求取待確定參數p0,···,pn

。4)方法：能量最小化傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(2)

——參數擬合建模法5)樣本矩陣S=[s(1),s(2),???,s(m)],P=[pn,???,p1,p0],=[1,

2,???,

m]S=HP+傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(2)

——參數擬合建模法6)求解方法

=S-HP

=(S-HP)(S-HP)=SS-SHP-PHS+PHHPP=Inv(HH)HS傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(2)

——參數擬合建模法7)加權最小二乘的求解(a)指標函數的修改：標準最小二乘法：=(S-HP)(S-HP)=SS-SHP-PHS+PHHP加權最小二乘法：Λ=(S-HP)Λ(S-HP)=SΛS-SΛHP-PHΛS+PHΛHPP=Inv(HΛH)HΛS傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術(2)

——參數擬合建模法(2)魯棒最小二乘法：1)原因正如在誤差的基本假設中描述的那樣，響應誤差通常假定服從正態(tài)分布，極端的值是稀少的。一旦出現(xiàn)極值，就稱之為小概率事件發(fā)生了。

最小二乘法擬合的缺點是對outlier敏感。它對擬合影響較大，因為殘差的平方放大了極值數據的影響。為了減小outlier的影響，可以采用魯棒最小二乘回歸。

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——參數擬合建模法2)實現(xiàn)方法：(a)修改標準：把能量最小修改為絕對值之和最小化。(b)剔除殘差大的樣本點。xyoutliers傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術

——Matlab工具箱函數介紹FIT調用格式：FITTEDMODEL=FIT(XDATA,YDATA,FITTYPE)功能：根據由FITTYPE指定的函數類型，樣本數據XDATA和YDATA進行擬合。FITTEDMODEL為擬合的模型。

FITTYPEDESCRIPTIONSplines:'smoothingspline'smoothingspline'cubicspline'cubic(interpolating)splineInterpolants:'linearinterp'linearinterpolation'nearestinterp'nearestneighborinterpolation'splineinterp'cubicsplineinterpolation'pchipinterp'shape-preserving(pchip)interpolation傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術

——神經網絡1.大腦與人工神經網絡1.1大腦的特點與人工神經網絡的特性：(1)人的大腦信息處理的特點1)大規(guī)模并行處理;2)具有很強的容錯性;3)具有很強的自適應能力;(2)人工神經網絡具有以下基本屬性：1)非線性;2)非局域性;3)非定常性;4)非凸性傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術

——神經網絡1.2神經網絡的應用：廣泛應用于:(1)傳感器信息處理

;(2)信號處理

;(3)自動控制

;(4)知識處理

;(5)市場分析;(6)運輸與通信、運輸與通信問題;

(7)電子學

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——神經網絡1.3神經網絡研究的目標與方法

:神經網絡研究主要目標：

(1)理解腦系統(tǒng)為何具有智能。這些計算與符號表示的形式操作處理不同，人腦是如何組織和實施這些“計算”。

(2)研究各種強調“計算能力”的神經網絡模型，并不著重于這些模型的生物學保真程度。

(3)研究大規(guī)模并行自適應處理的機理；

(4)研究神經計算機的體系結構和實現(xiàn)技術。

傳感器系統(tǒng)靜態(tài)特性建模技術

——神經網絡