第3章 動量角動量

一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動，已知質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式為則該質(zhì)點(diǎn)作（）（A）勻速直線運(yùn)動（B）變速直線運(yùn)動（C）拋物線運(yùn)動（D）一般曲線運(yùn)動B一個質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，僅受到力的作用，式中k為常量,為從某一定點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的矢徑。該質(zhì)點(diǎn)在處被釋放，由靜止開始運(yùn)動，則當(dāng)它到達(dá)無窮遠(yuǎn)時的速率為

。解：一冰塊由靜止開始沿與水平方向成傾角的光滑斜屋頂下滑10m后達(dá)到屋緣。若屋緣高出地面10m，則冰塊從脫離屋緣到落地過程中越過的水平距離為

。（忽略空氣阻力，g值取）解：將冰塊的運(yùn)動分為兩個過程來分析：第一個過程，即冰塊從靜止沿光滑斜面運(yùn)動到屋緣處。mgNxyX方向：運(yùn)動到屋檐處時的速度大小為：第二個過程為拋體運(yùn)動，建立坐標(biāo)系如圖所示。我們往往只關(guān)心過程中力的效果——力對時間和空間的積累效應(yīng)。力在時間上的積累效應(yīng)：平動沖量動量的改變轉(zhuǎn)動沖量矩角動量的改變力在空間上的積累效應(yīng)功改變能量

牛頓定律是瞬時的規(guī)律。但在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）…散射第三章

動量與角動量

本章主要內(nèi)容§3-1

沖量與動量定理

§3-6質(zhì)點(diǎn)的角動量和角動量定理

§3-2動量守恒定律§3-7角動量守恒定律§3-3火箭飛行原理

§3-8質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理§3-4質(zhì)心

§3-9質(zhì)心參考系中的角動量§3-5質(zhì)心運(yùn)動定理§3-1沖量與動量定理

沖量力對時間的積累定義：力與作用時間的乘積，常用表示單位：牛頓·秒

沖量的計(jì)算

恒力的沖量

變力的沖量積分，得：

沖量的分量形式說明：沖量是矢量，是過程量。

動量定義：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積，即：

動量的分量形式：

動量是矢量動量是描述物體機(jī)械運(yùn)動狀態(tài)的物理量——狀態(tài)量。

動量定理從牛頓第二定律出發(fā)，并根據(jù)動量的定義可得：——

力的作用可以使動量變化上式可改寫為：——

力對時間的積累等于動量增量微分形式考慮一段過程，力作用一段時間，兩端積分：積分形式動量定理的分量形式：注意：動量定理只適用于慣性系。

沖力物體受到?jīng)_擊，動量會明顯改變。沖擊過程持續(xù)一般時間很短，因此沖擊中物體受力——沖力具有作用時間短、量值大的特點(diǎn)，通常是變力。Fx(t)t平均沖力：沖量可表為F為恒力時，可以得出I＝FtF為變力時，為求平均值提供了一個有效方法:例：質(zhì)量分別為和，速度分別為和的兩個質(zhì)點(diǎn)A和B，受到相同的沖量作用，則[](A)A的動量增量的絕對值比B小(B)A的動量增量的絕對值比B大(C)A、B的動量增量相等(D)A、B的速量增量相等C例、質(zhì)量為2.5g的乒乓球以10m/s的速率飛來，被板推擋后，又以20m/s的速率飛出。設(shè)兩速度在垂直于板面的同一平面內(nèi)，且它們與板面法線的夾角分別為45o和30o，求：（1）乒乓球得到的沖量；（2）若撞擊時間為0.01s，求板施于球的平均沖力的大小和方向。45o30o

nv2v145o30o

nv2v1Oxy解：取擋板和球?yàn)檠芯繉ο螅捎谧饔脮r間很短，忽略重力影響。設(shè)擋板對球的沖力為則有：取坐標(biāo)系，將上式投影，有：為I與x方向的夾角。

[例]

一柔軟繩長l

，線密度r，一端著地開始自由下落，下落的任意時刻，給地面的壓力為多少？ox證明：取如圖坐標(biāo)，設(shè)t時刻已有(l-y)長的柔繩落至桌面，隨后的dt時間內(nèi)將有質(zhì)量為

dy的柔繩以

dy/dt的速率碰到桌面而停止，它的動量變化為：根據(jù)動量定理的微分形式，有：桌面對柔繩的沖力為：柔繩對桌面的沖力F＝－F’即：而已落到桌面上的柔繩的重量為所以給地面的壓力為：例：如圖所示，圓錐擺的擺球質(zhì)量為，速率為，圓半徑為。當(dāng)擺球在軌道上運(yùn)動半周時，求擺球所受重力沖量的大小，拉力沖量的大小和合外力的沖量大小。解：根據(jù)沖量定義可得擺球所受重力的沖量大小為：根據(jù)動量定理可得合外力沖量為：選擺球初速度的方向?yàn)檎?，初動量為，在軌道上運(yùn)動半周后，此時擺球速度的方向恰好與正方向相反，即擺球的末動量為即合外力沖量的大小為，負(fù)號表示與所選正方向相反。小球所受拉力沖量的大小為：例：力作用在質(zhì)量m=2kg的物體上,使之從靜止開始運(yùn)動,則物體在3秒末的速度為

。解：由動量定理分量式，有[例]一輛運(yùn)煤車以的速率v從煤斗下面通過，煤從煤斗中以恒定的速率b

=

dm/dt裝煤漏入車廂，如圖所示。設(shè)煤車與地面的摩擦系數(shù)為，t

時刻車箱和所載煤的質(zhì)量為M如果保持車的速率不變，應(yīng)以多大的牽引力拉車廂？解：以M和dt時間里落到車廂的煤粒dm為質(zhì)點(diǎn)系。水平方向運(yùn)用動量定理：鉛直方向:略去二階無窮小量：解得克服車廂和其中的煤的重量引起的摩擦力克服落下煤粒對車廂沖力引起的摩擦力將下落煤獲得水平動量所需牽引力解的意義：§3-2動量守恒定律

兩個質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)

質(zhì)點(diǎn)系的動量定理

（外力、內(nèi)力）n個質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，所以矢量和為零。質(zhì)點(diǎn)系動量定理微分形式最后簡寫右邊令：（積分形式）如果質(zhì)點(diǎn)系所受和外力為零考慮質(zhì)點(diǎn)系的動量定理：守恒動量守恒定律：當(dāng)一個質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時，這一質(zhì)點(diǎn)系的總動量保持不變。

動量守恒是指質(zhì)點(diǎn)系總動量不變。質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)

點(diǎn)的動量是可以變化的，質(zhì)點(diǎn)通過內(nèi)力的作用交換

動量。說明：則有，常矢量

動量守恒條件：合外力為零。與內(nèi)力無關(guān)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力時，可以忽略外力的作用，近似地認(rèn)為系統(tǒng)動量守恒。例如：碰撞、爆炸等問題。

動量守恒定律的分量形式：若某個方向上合外力為零，則該方向上動量守恒，盡管總動量可能并不守恒。

動量定理和動量守恒定律只在慣性系中成立。動量守恒定律是牛頓定律的必然推論，但它是自然界的普遍規(guī)律，不依賴于牛頓定律而成立，宏觀和微觀領(lǐng)域均適用。解題步驟：1．選好系統(tǒng)，分析要研究的物理過程；2．進(jìn)行受力分析，判斷守恒條件；3．確定系統(tǒng)的初動量與末動量；4．建立坐標(biāo)系，列方程求解；5．必要時進(jìn)行討論。例題：水平光滑鐵軌上有一車，長度為l，質(zhì)量為m2，車的一端有一人，質(zhì)量為m1，人和車原來都靜止不動。當(dāng)人從車的一端走到另一端時，人、車各移動了多少距離？

解：以人、車為系統(tǒng)，在水平方向上不受外力作用，動量守恒。設(shè)人和車相對地面的速度分別為和，建立坐標(biāo)系如圖所示，則有：人相對于車的速度設(shè)人在時間t內(nèi)從車的一端走到另一端，則有在這段時間內(nèi)人相對于地面的位移為

小車相對于地面的位移為

§3-3火箭飛行原理

“神州”號飛船升空火箭在無大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動力。由于無外力作用，動量守恒。由動量守恒定律設(shè)M為火箭在t時刻的總質(zhì)量，dt時間噴出dm質(zhì)量的燃料，相對火箭以u的速度噴射。xMvdmMdmv+dvt時刻t+dt時刻t時刻總動量t+dt時刻總動量積分火箭受燃料的反沖力為多級火箭第一宇宙速度

結(jié)論：

火箭在燃燒后所增加的速度正比于相對噴射速度u和火箭的始末質(zhì)量比(M0/M1)的自然對數(shù)。

火箭通過噴射燃料獲得的推力正比u于和dm/dt?！?-4質(zhì)心

質(zhì)心——質(zhì)量中心。質(zhì)心的位置矢量表為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)m1,

m2

,…,

mN

的空間坐標(biāo)分別為(x1,

y1,

z1),(x2,

y2,

z2),…,(xN

,

yN

,

zN

)

。則質(zhì)心

C的坐標(biāo)定義為xzOy

質(zhì)心的定義質(zhì)心的位矢隨坐標(biāo)系的選取而變化；但對一個質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)心的位置是固定的。對于密度均勻,形狀對稱的物體,其質(zhì)心在物體的幾何中心處;質(zhì)心不一定在物體上，例如圓環(huán)的質(zhì)心在圓環(huán)的軸心上；質(zhì)心和重心是兩個不同的概念,對于不太大的實(shí)物，質(zhì)心與重心重合。(重心：重力作用點(diǎn))說明：對連續(xù)質(zhì)量的物體，質(zhì)心位置可用積分式計(jì)算：質(zhì)元dm視為質(zhì)點(diǎn)

[例]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量分別為M=

5.981024kg和

m=

7.351022kg，地球中心與月球中心的距離為

L=

3.84105km。解：地球和月球本身的質(zhì)心位于它們各自的幾何中心。地月系統(tǒng)的質(zhì)心必定在它們的連線上。選取坐標(biāo)如圖，原點(diǎn)在地球中心。

LmMOxC

[例]

求質(zhì)量均勻分布的半球體的質(zhì)心位置。解：由對稱性可知，質(zhì)心在半球體的對稱軸（圖中z軸）上，只需算出zC。如圖，取的薄片dm，設(shè)密度為。zCzdz即質(zhì)心到圓心的距離為半徑的?！?-5質(zhì)心運(yùn)動定理

質(zhì)點(diǎn)系的總動量等于它的總質(zhì)量與它的質(zhì)心的運(yùn)動速度的乘積。質(zhì)心速度與質(zhì)點(diǎn)系的總動量質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)點(diǎn)系的動量定理質(zhì)心運(yùn)動定理說明質(zhì)心速度不變就是動量守恒（同義語）（1）它與牛頓第二定律在形式上完全相同，相當(dāng)于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中于系統(tǒng)的質(zhì)心，在合外力的作用下，質(zhì)心以加速度ac

運(yùn)動。質(zhì)心代替質(zhì)點(diǎn)系整體的平動。不變（2）當(dāng)合外力為零時，質(zhì)心加速度ac=0，運(yùn)動員跳水投擲手榴彈（3）質(zhì)心運(yùn)動定理表明了“質(zhì)心”的重要性只要外力確定，不管作用點(diǎn)怎樣，質(zhì)心的加速度就確定，質(zhì)心的運(yùn)動軌跡就確定，即質(zhì)點(diǎn)系的平動就確定。例題：水平光滑鐵軌上有一車，長度為l，質(zhì)量為m2，車的一端有一人，質(zhì)量為m1，人和車原來都靜止不動。當(dāng)人從車的一端走到另一端時，人、車各移動了多少距離？

解：動量守恒問題也可以利用質(zhì)心速度不變求解。

分析：人和車構(gòu)成的系統(tǒng)，在水平方向上不受力，因而水平方向的質(zhì)心速度不變。又因?yàn)樵瓉碣|(zhì)心靜止，所以在人走動過程中質(zhì)心始終靜止，因而質(zhì)心的坐標(biāo)值不變。當(dāng)人在左端時，人和車的質(zhì)心坐標(biāo)為當(dāng)人在右端時，人和車的質(zhì)心坐標(biāo)為由得：又有：則：

[例]

一柔軟繩長l

，線密度r，一端著地開始自由下落，下落的任意時刻，給地面的壓力為多少？\yoy解：由圖中可看出,下落的繩子質(zhì)心的坐標(biāo)yC

是隨繩子的下落而改變的,按如圖所選的坐標(biāo),其質(zhì)心位于

\yoyyC作用于繩子的合力為：其中，為桌面對繩子的壓力。由質(zhì)心運(yùn)動定理，因此，繩子對桌面的壓力的大小為例3：水平桌面上拉動紙，紙張上有一均勻球，球的質(zhì)量M，紙被拉動時與球的摩擦力為F，求：t

秒后球心相對桌面移動多少距離？xo解：即：球心做勻加速直線運(yùn)動設(shè)：t=0時,xco=o，vco=0

思考：摩擦力F的方向?c則有：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定律：§3-6質(zhì)點(diǎn)的角動量和角動量定理

引入角動量的意義：和動量一樣，角動量服從守恒定律，因此它是力學(xué)中最重要的物理量之一。

質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的角動量（定義）設(shè)一質(zhì)點(diǎn)具有動量，由慣性系中某一固定點(diǎn)O指向它的位置矢量為，則該質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的角動量為的大?。旱姆较颍捍怪庇诤蜆?gòu)成的平面。右手螺旋法則贗矢量單位：kg·m2·s-1說明：角動量是矢量。

角動量的分量式：同一質(zhì)點(diǎn)相對于不同的點(diǎn)，角動量不同。在說明質(zhì)點(diǎn)的角動量時，必須指明是對哪個點(diǎn)而言的。在角動量的定義中并未對質(zhì)點(diǎn)做何種運(yùn)動加以限制，即使質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，在選定固定點(diǎn)后，仍可引進(jìn)角動量的概念。例1、一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)動，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：其中a、b、皆為常數(shù)，求該質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動量。解：已知質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度沿一直線運(yùn)動，則它對直線外垂直距離為d的一點(diǎn)的角動量大小是

。解：例：已知地球的質(zhì)量，地球與太陽的中心距離，若近似認(rèn)為地球繞太陽作勻速率運(yùn)動，，求地球?qū)μ柕慕莿恿俊＝猓喝鐖D所示，O點(diǎn)為太陽中心，地球?qū)μ栔行牡慕莿恿繛椋阂驗(yàn)榕c垂直，角動量大小為：方向：垂直于和構(gòu)成的平面，方向向上。

質(zhì)點(diǎn)的角動量定理

力矩的定義（對點(diǎn)）設(shè)O為慣性系中的某一固定點(diǎn)，由它指向質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為，則該質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的力矩為的大?。?/p>

角動量定理（對點(diǎn)）考慮角動量的變化率：角動量定理

：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動量對時間的變化率，即注意：合外力矩和角動量是對某慣性系中同一固定點(diǎn)的。微分形式?jīng)_量矩積分形式§3-7角動量守恒定律

角動量守恒定律：如果對于某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的

角動量保持不變。角動量定理：說明（1）角動量守恒定律是自然界普遍適用的一條規(guī)律。（2）角動量守恒的條件：（3）動量守恒和角動量守恒是相互獨(dú)立的定律實(shí)現(xiàn)上述條件，可以是還可能是

與

平行或反平行，例如有心力情況。動量不守恒角動量守恒如行星運(yùn)動例：我國第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅”繞地球運(yùn)行的軌道為一橢圓，地球在橢圓的一個焦點(diǎn)上，衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時距地心分別為和，在近地點(diǎn)時的速度為，求衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)時的速度。解：衛(wèi)星在軌道上任一處受地球的引力始終指向地心，引力對地心的力矩為零，因此衛(wèi)星對地心的角動量守恒，即近地點(diǎn)的角動量等于遠(yuǎn)地點(diǎn)的角動量。例：光滑水平臺面上有一質(zhì)量為m的物體栓在繩的一端，輕繩的另一端穿過臺面上的小孔被一只手拉緊，并使物體以初始角速度作半徑為的圓周運(yùn)動。手拉著繩以勻速率v向下運(yùn)動，使半徑逐漸減小，求半徑減小為是物體的角速度；若以向下開始拉動時為計(jì)時起點(diǎn)，求角速度與時間的關(guān)系。解：在水平方向上，物體只受繩的拉力作用，拉力對小孔的力矩為零，物體對小孔的角動量守恒，即：考慮到，應(yīng)有：再按題意，，代入上式，§3-8質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理

質(zhì)點(diǎn)系的總角動量質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)的總角動量定義為：質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)對該定點(diǎn)的角動量的矢量和，即質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動量