講課提綱-第十四次

§4.1 Ex 3（1（3（5（7，5a(xx

a 定義：形如n

的函數(shù)項級數(shù)稱為0處的冪級數(shù)；n

稱為處的冪級Note：升冪順序的無窮次多項式；定義域是 ；收斂域非空x xn1

nn解：因為n

x，根據(jù)D’Alembert判斂法可知，當(dāng)x1時， 絕n1x1

n

n

n

nn1n

的收斂域 n

n

的收斂域，答案0Note：上述三個冪級數(shù)的收斂域都具有 定理（Abel定理）ann

x10x

x1ann

a limaxn Mn

1收斂，所以nn ，從而n1有界即存 1anxnM1 nx x xx

anx1x Mx

x1 1 n01anxnnanxnx2xn

x1anxnnann

xRann

xRann

x1anxny1an

的發(fā)散點，且不妨設(shè)0x1y1n nAbelxx1ann

xy1ann 2令z1 (x1y1)，當(dāng)an2n

收斂時，取[x2y2z1y1ann

取[x2,y2]x1z1]依次取得[x1,y1x2,y2L,[xn,yn],L，易知[xn,yn] xxnanxnxynanxnn n根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一實數(shù)R 是

數(shù)xn limxRxnR且n

n，xnRN0xxNanxnn

R時ynRlimn

RK0xyK，因此ann

NoteR0Rann

與[0,]只見存 anxn是0R0xRan

n nxR時，ann

發(fā)散，則稱R是ann

(R,R)稱為n0

Note1：冪

an(xx0)nn（1）n

n1(x。。

(n1)9n1(x(n1)9n1(xn

(x

9

9 1，即x43時，原級數(shù)發(fā)散。根據(jù)收斂半徑的定義9（2）(nx)nn解：因為

limnx x0,R0n

n

xn

n1(n(n2 (n1n

n

(n2n(n1n(n2n(n1nn

n收斂區(qū)間是(1,1)

：由例（3）可知，對于冪級數(shù)ann

，當(dāng)n

n

c時，ann

c徑就是R 。這是簡單冪級數(shù)收斂半徑的一個常用計算公式，但應(yīng)注意，由an cnn

1

ann[,]上一

R0，則對任意的[,RRanxnn證明cmax0cR，故n

x[anxn

ann

在[,]上一致 Note1：

[R,anxnn0在[R, Note2：當(dāng)冪級數(shù)的收斂域僅僅是(R,R)anxn在(R,Rnanxnnanxn的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)的任何閉區(qū)間[abnb n aanxdxaanxdxn n特別地，當(dāng)x在收斂域nx n n

n0antdt0antdt

n1

n

n

n：

n

ann

anxn的和函數(shù)在其收斂區(qū)間(RRnan

n

axn

n1nannnan

nx0RR，取r0x0[rrRRnanxn1在[rrnr0，滿足0rr0Rx[rrnaxn1narn

nra

Ma

nrn0 n

（0rr0 nrr0以 有界rr0 n由n

anr0nann

anxn的和函數(shù)在其收斂區(qū)間(RRn

nnn0 n0 nn

n

x2n

anx 解：由條件知an(x1)n的收斂半徑為3，故an

的收斂半徑為3，進(jìn)而n nnanxn1的收斂半徑為3n n11 x0nann

xn1

nann

的收斂半徑也為3，從n2n

xn1的收斂半徑為3n

2an

的收斂為3，收斂區(qū)間為(3,3)y(x)n

xyyy0x,（書后習(xí)題

的收斂域為(,y(x)

n0 n0

nxnn(n)2n(n)2

n1 n(n1)xnnxn1y(x)

n1(n!)2

n

yy

n

n(n1)xn

n

nxn

n

n

(n1)nxn

n

(n1)xn((n

n

1n

n

0§4.2函數(shù)展開為冪級數(shù) f(x)an(xx0n

Notef(xIf(xI上任意階

f(x)

an(xx0n

Iann

(x0)(n0,1,2,Lf(x)an(xx0n

xx0a0f(x0f(x)

an(xx0)nf(x)n

nan(xx0n1xx0na1f(x0f(x)

an(xx0)nknf(k)(x)f(k)(x0

n(n1)L(nk1)annk

(xx0)nk令xx0得ak

f(n)(x0 f(xx0n

(xx0) (x (x0f(x)在x處的Taylor級數(shù) 稱為f(x)在x處的Taylor系數(shù)。x 0f(xMaclaurin時，和函數(shù)也不見得就是函數(shù)f(x)。例如：f(x)ex2 x0,在x0處的各階

n

f(n)

xn0

x