第三章數據描述的綜合指標

第三章數據描述的綜合指標第一節(jié)總量指標第二節(jié)相對指標第三節(jié)平均指標第四節(jié)變異指標第五節(jié)偏態(tài)與峰度第一節(jié)總量指標

反映現(xiàn)象總體規(guī)?；蛩降木C合指標，即數量指標，也稱為絕對數。一、總量指標概述是反映一個國家的國情和國力，一個地區(qū)或一個單位人力、物力、財力的基本數據，是認識社會經濟現(xiàn)象的起點；（一）總量指標（二）總量指標的意義是計算其它綜合指標的基礎，相對指標和平均指標一般是由兩個有聯(lián)系的總量指標對比而形成的。是加強社會經濟管理，平衡供求關系，保證國民經濟協(xié)調發(fā)展，全面提高社會經濟效益的重要工具。是實現(xiàn)宏觀經濟調控和企業(yè)經營管理的基本指標。二、總量指標的分類（一）按時間特征分類按反映的時間狀況不同分為：時期指標時點指標1.時點指標表明現(xiàn)象總體在某一時刻（瞬間）的數量狀況，如在某一時點的總人口數不具有可加性、數值大小與時期長短沒有直接關系、由一次性登記調查得到2.時期指標表明現(xiàn)象總體在一段時期內發(fā)展過程的總量，如在某一段時期內的出生人數、死亡人數具有可加性、數值大小與時期長短有直接關系、需要連續(xù)登記匯總出生人數人口總數死亡人數t1時段t2時段t3時段t關于一個人口總體的總量指標時期指標時點指標（二）按計量單位分類按計量單位不同分為：實物指標價值指標勞動指標1.實物量指標是根據總體的屬性和特征，采用實物單位作為度量標準的總量指標。如某地區(qū)一年的糧食總產量2.價值量指標是用貨幣單位計量的產品和勞務的數量。如商品零售額3.勞動量指標是以勞動時間為單位計算的產品產量或完成的工作量。實物單位自然單位度量衡單位標準實物單位價值單位勞動單位多個單位的結合運用：復合單位雙重單位多重單位（如：人·次、噸·公里）（如：人/平方公里）（如：艘/噸/千瓦）適用范圍綜合能力差強大小如：臺、件如：米、平方米如：標準噸如：工日、工時如：元公頃人輛計量單位單一單位復合單位：工時、噸公里等自然單位：個、臺等度量衡單位：噸等總體標志總量總體單位總數按反映的總體內容不同分為：（三）按內容分類2.總體標志總量1.總體單位總數一個總體中只有一個單位總數，但可以有多個標志總量，它們由總體單位的數量標志值匯總而來。總體單位某一數量標志的標志值總和總體所包含的總體單位的數量第二節(jié)相對指標甲企業(yè)乙企業(yè)利潤總額資金占用資金利潤率500萬元5000萬元3000萬元40000萬元16.7%12.5%比較兩廠經濟效益不可比不可比可比一、相對指標概述指兩個有聯(lián)系的統(tǒng)計數據之間的比值，用來反映某些相關事物之間數量關聯(lián)程度的綜合指標；也稱為相對數。（一）相對指標可使不能直接對比的現(xiàn)象找到共同的比較基礎；（二）相對指標的作用可綜合的表明有關現(xiàn)象之間的聯(lián)系程度，反映事物發(fā)展變化的趨勢；是宏觀調控與微觀考核的重要依據。無名數復名數用倍數、系數、成數、﹪、‰等表示用雙重計量單位表示的復名數二、相對指標的計量單位倍數與成數應當用整數的形式來表述5倍、3成、近7成3.25倍、8.6成分母為1分母為1.00分母為10分母為100分母為1000總人數30人男生人數20人女生人數10人男生比重為2/3女生比重為1/3男女比例為2:1總量指標非總量指標相對指標三、相對指標的種類結構相對數比例相對數強度相對數計劃完成程度相對數比較相對數動態(tài)相對數例：我國某年國民收入使用額為19715億元，其中消費額為12945億元，積累額為6770億元。則說明⒈為無名數，分子與分母屬于同一總體；⒉同一總體各組的結構相對數之和為1；⒊用來分析現(xiàn)象總體的內部構成狀況。（一）結構相對數直接應用上述公式A.計劃任務數表現(xiàn)為絕對數時（二）計劃完成相對數例1：己知某廠2000年的計劃產品產量為10萬噸，實際產量為12萬號。則：B.計劃任務數表現(xiàn)為相對數時例2：己知某廠2000年的計劃規(guī)定產品產量要比上年實際提高5﹪而實際提高了7﹪。則例3：己知某廠2000年的計劃規(guī)定產品成本比上年降低5%，實際降低提高6﹪。則即實際比計劃單位成本下降了1.05%.百分點相當于百分數的計量單位，一個百分點就指1﹪。上例中，實際比計劃多提高的百分點為（7﹪--5﹪）×100=2（個百分點）實際工作中常用，但并不是相對數例：某年某地區(qū)甲、乙兩個公司商品銷售額分別為5.4億元和3.6億元。則⒈為無名數，一般用百分數和倍數表示；⒉反映同類現(xiàn)象數值在同一時間不同總體之間的對比關系。3.用來說明現(xiàn)象發(fā)展的不均衡程度。說明（三）比較相對數例：我國某年國民收入使用額為19715億元，其中消費額為12945億元，積累額為6770億元。則⒈為無名數，可用百分數或一比幾或幾比幾表示；⒉用來反映組與組之間的聯(lián)系程度或比例關系。說明（四）比例相對數例：某年某地區(qū)年平均人口數為100萬人，在該年度內出生的人口數為8600人。則該地區(qū)一般用﹪、‰表示。其特點是分子來源于分母，但分母并不是分子的總體，二者所反映現(xiàn)象數量的時間狀況不同。1、無名數的強度相對數（五）強度相對數例：某地區(qū)某年末現(xiàn)有總人口為100萬人，醫(yī)院床位總數為24700張。則該地區(qū)（正指標）（逆指標）為用雙重計量單位表示的復名數，反映的是一種依存性的比例關系或協(xié)調關系，可用來反映經濟效益、經濟實力、現(xiàn)象的密集程度等。2、有名數的強度相對數

是同一指標在不同時間上的對比，又稱為發(fā)展速度。動態(tài)相對數⒈為無名數；⒉用來反映現(xiàn)象的水平在時間上的變動程度。說明（六）動態(tài)相對數正確選擇對比的基礎；指標對比要有可比性；相對指標要與總量指標結合運用；多種相對指標結合運用。使用相對指標應注意的問題正確選擇對比基礎本單位歷史水平本行業(yè)（全國）平均（先進）水平經濟效益指數＝某經濟效益指標實際值該經濟效益指標標準值價格定基指數＝某期價格水平某固定基期的價格水平經濟發(fā)展、價格水平均較為正常的時期注意指標間的可比性2000年的工業(yè)總產值（當年價格）1980年的工業(yè)總產值（當年價格）1980年中國的國民收入（人民幣元）1980年美國的國民收入（美元）相對指標抽象掉了具體的數量差異:1:2=50%10000:20000=50%1998年相對于1997年，美國的GDP增長速度為3.9％，同期中國GDP增長速度為7.8％，恰好為美國的2倍；但根據同期匯率（1美元兌換8.3元人民幣），1998年中國GDP總量約合9671億美元，約相當于同期美國GDP總量84272億美元的1/9。相對指標應當結合總量指標使用結構相對數比例相對數比較相對數動態(tài)相對數計劃完成相對數強度相對數（部分與總體關系）（部分與部分關系）（橫向對比關系）（縱向對比關系）（實際與計劃關系）（關聯(lián)指標間關系）多種相對指標應當結合運用人口性別比為1.03：11999年末我國共有總人口12.6億人，其中男性人口為6.4億，女性人口為6.2億。男性人口的比重為50.8﹪比1980年末的9.9億人增加了28﹪人口密度是美國的4.5倍人口密度為130人/平方公里人口出生率為15.23‰女性人口的比重為49.2﹪第三節(jié)平均指標指總體中各單位的次數分布從兩邊向中間集中的趨勢，用平均指標來反映。集中趨勢又稱平均數，是反映社會經濟現(xiàn)象總體各單位某一數量標志在一定時間、地點和條件下所達到的一般水平的綜合指標。平均指標數值平均數位置平均數算術平均數調和平均數幾何平均數中位數眾數基本形式：例：直接承擔者※注意區(qū)分算術平均數與強度相對數一、算術平均數STAT算術平均數83名女生的身高變量一般水平、代表性數值分布的集中趨勢、中心數值算術平均數算術平均數=總體標志總量總體單位總數設數據集數據個數N簡單算術平均數簡單算術平均數——適用于總體資料未經分組整理、尚為原始資料的情況式中：為算術平均數;為總體單位總數；為第i

個單位的標志值。（一）簡單算術平均數解：平均每人日銷售額為：某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元、440元，則【例】加權算術平均數——適用于總體資料經過分組整理形成變量數列且每組單元數不同時的情況式中：為算術平均數;為第組的次數；為組數；為第組的標志值或組中值。（二）算術平均數【例】某企業(yè)某日工人的日產量資料如下：日產量（件）工人人數（人）101112131470100380150100合計800計算該企業(yè)該日全部工人的平均日產量。解：若上述資料為組距數列，則應取各組的組中值作為該組的代表值用于計算；此時求得的算術平均數只是其真值的近似值。說明分析：成績（分）人數（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成績（分）619980起到權衡輕重的作用決定平均數的變動范圍表現(xiàn)為次數、頻數、單位數；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的指變量數列中各組標志值出現(xiàn)的次數，是變量值的承擔者，反映了各組的標志值對平均數的影響程度權數絕對權數相對權數234567819權數與加權234567819權數與加權234567819權數與加權234567819權數與加權234567819權數與加權234567819算術平均數的計算取決于變量值和權數的共同作用：變量值決定平均數的范圍；權數則決定平均數的位置性質⒈對每一變量給以相同的改變量A，則平均數也有改變量A：（三）算術平均數的基本性質性質⒉對每一變量改變同一倍數，則平均數也改變同一倍數：性質3.

對每一全書都改變同一倍數，則平均數也改變同一倍數：性質4.

所有變量與平均數的離差代數和等于零：離差的概念12345678-1-1-213【例】

設X=（2，4，6，8），則其調和平均數可由定義計算如下：⒉再求算術平均數：⒈求各標志值的倒數：，，，⒊再求倒數：是總體各單位標志值倒數的算術平均數的倒數，又叫倒數平均數調和平均數二、調和平均數簡單調和平均數——適用于總體資料未經分組整理、尚為原始資料的情況式中：為調和平均數;為變量值的個數；為第個變量值。（一）簡單調和平均數加權調和平均數——適用于總體資料經過分組整理形成變量數列的情況式中：為第組的變量值；為第組的標志總量。（二）加權調和平均數——當己知各組變量值和標志總量時，作為算術平均數的變形使用。若已知分組資料的各組變量值及各組的權數時，直接用加權算術平均數的公式。因為：（三）調和平均數與算術平均數的關系x、f

為已知若只知

x和xf

，而f

未知，則不能使用加權算術平均方式，只能使用其變形即加權調和平均方式。蘋果單價購買量總金額品種（元）（公斤）（元）紅富士236青香蕉1.859日產量（件）各組工人日總產量（件）10111213147001100456019501400合計9710【例】某企業(yè)某日工人的日產量資料如下：計算該企業(yè)該日全部工人的平均日產量。即該企業(yè)該日全部工人的平均日產量為12.1375件。解是N項變量值連乘積的開N次方根。幾何平均數用于計算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應用：各個比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個比率或速度不為零或負值。應用的前提條件：三、幾何平均數簡單幾何平均數——適用于總體資料未經分組整理尚為原始資料的情況式中：為幾何平均數;為變量值的個數；為第個變量值。（一）簡單幾何平均數【例】某流水生產線有前后銜接的五道工序。某日各工序產品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個流水生產線產品的平均合格率。分析：設最初投產100A個單位，則第一道工序的合格品為100A×0.95；第二道工序的合格品為（100A×0.95）×0.92；……第五道工序的合格品為（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應為100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數的適用條件，故需采用幾何平均法計算。解：思考若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產線，而是五個獨立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。因各車間彼此獨立作業(yè)，所以有第一車間的合格品為：100×0.95；第二車間的合格品為：100×0.92；……第五車間的合格品為：100×0.80。則該企業(yè)全部合格品應為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.80分析：不再符合幾何平均數的適用條件，需按照求解比值的平均數的方法計算。又因為應采用加權算術平均數公式計算，即加權幾何平均數——適用于總體資料經過分組整理形成變量數列的情況式中：為幾何平均數;為第組的次數；為組數；為第組的標志值或組中值。（二）加權幾何平均數【例】某金融機構以復利計息。近12年來的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。設本金為V，則至各年末的本利和應為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：………………第12年末的本利和為：分析：第2年的計息基礎第12年的計息基礎則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數的適用條件，故計算平均年本利率應采用幾何平均法。解：思考若上題中不是按復利而是按單利計息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應得利息為：第2年末的應得利息為：第12年末的應得利息為：…………設本金為V，則各年末應得利息為：則該筆本金12年應得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數的適用條件，需按照求解比值的平均數的方法計算。因為假定本金為V所以，應采用加權算術平均數公式計算平均年利息率，即：解：（比較：按復利計息時的平均年利率為6.85﹪）是否為比率或速度各個比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度是否為其他比值是否否是否是幾何平均法算術平均法求解比值的平均數的方法數值平均數計算公式的選用順序指標指總體中出現(xiàn)次數最多的變量值，用表示,它不受極端數值的影響，用來說明總體中大多數單位所達到的一般水平。（一）眾數四、位置平均數解：人均收入出現(xiàn)次數最多的是1080，由此眾數為Mo＝

1080元。例：在某城市中隨機抽取9個家庭，調查得到每個家庭的人均月收入數據如下（單位元），計算人均月收入的眾數。1080750108010808509602000125016301、原始數據的眾數的確定。日產量（件）工人人數（人）101112131470100380150100合計800【例A】已知某企業(yè)某日工人的日產量資料如下:計算該企業(yè)該日全部工人日產量的眾數。2、單項數列的眾數的確定。相鄰兩組的頻數相等時，眾數組的組中值即為眾數Mo相鄰兩組的頻數不相等時，眾數采用下列近似公式計算MoMo上限公式：

下限公式：

步驟：(1)首先確定眾數所在的組3、組距數列的眾數的確定(2)利用相應公式計算眾數

身高人數比重（CM）（人）（%）150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上1113.25

總計83100某年級83名女生身高資料概約眾數：眾數所在組的組中值，在本例為162.5cm【例B】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的眾數。概約眾數：眾數所在組的組中值，在本例為500件當數據分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數；當數據分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數（前者無眾數，后者為雙眾數或多眾數，也等于沒有眾數）4、眾數的原理及應用出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200沒有突出地集中在某個年份413名學生出生時間分布直方圖（無眾數）192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學生的身高分布直方圖（雙眾數）當數據分布呈現(xiàn)出雙眾數或多眾數時，可以斷定這些數據來源于不同的總體。出現(xiàn)了兩個明顯的分布中心將總體各單位標志值按大小順序排列后，指處于數列中間位置的標志值，用表示（二）中位數不受極端數值的影響，在總體標志值差異很大時，具有較強的代表性。1、中位數的作用：中位數把標志值數列分為兩個部分,一部分標志值小于或等于它,另一部分標志值大于或等于它.2、中位數的確定(1)未分組數據中位數的確定設一組資料有n個數值從小到大排列x1,x2,…xn，處在數列的中點位置的數值，就是中位數，記作：Me。原始數據: 2422212620排序: 2021222426位置: 123 45中位數22例：原始數據:105 91268排序: 56891012位置: 123 456位置n+126+123.5中位數8+928.5例：中位數的位次為：即第3個單位的標志值就是中位數【例】某售貨小組5個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則中位數的位次為中位數應為第3和第4個單位標志值的算術平均數，即【例】若上述售貨小組為6個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則【例】某企業(yè)某日工人的日產量資料如下：日產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）10111213147010038015010070170550700800合計800—計算該企業(yè)該日全部工人日產量的中位數。中位數的位次：(2)單項數列中位數的確定共個單位共個單位共個單位共個單位LU中位數組組距為h共個單位假定該組內的單位呈均勻分布共有單位數

中位數下限公式為

該段長度應為(3)組距數列中位數的確定【例】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的中位數。a.中位數一定存在；b.中位數與算術平均數相近；c.中位數不受極端值影響，只受中間位置標志值的影響；d.變量值與中位數離差絕對值之和最小。（4）中位數的作用及用法

變量值34556910中位數5平均值6與中位數離差-2-100145與平均數離差-3-2-1-1034絕對數值之和

13

14變量值與中位數離差絕對值之和最小。（三）中位數、眾數和算術平均數的關系c.左偏分布均值<

中位數<

眾數

b.右偏分布眾數<

中位數<均值1、運用中位數、眾數、算術平均數的數量關系判斷總體分布特征。a.對稱分布

均值=中位數=眾數2、利用位置平均數與算術平均數的關系進行推算。若分布偏斜程度不大，算術平均數、中位數、眾數存在一定的比例關系，即：由此可推出以下三個公式：（四）分位數1、四分位數將總體各單位標志值按大小順序排列后，用三個點或三個數值將數列分成四個等份，這三個點Q1、Q2和Q3所分別對應的數值稱為四分位數。處于25%和75%位置上的值Q1和Q3稱為（下、上）四分位數Q1Q2Q325%25%25%25%未分組數據：下四分位數(Q1)位置=n+14上四分位數(Q3)位置=3(n+1)4組距分組數據：下四分位數(Q1)位置=n4上四分位數(Q3)位置=3n4四分位數位置的確定原始數據:2321 3032 282526排序:21232526283032位置:1 23 4567

Q1=23Q3=307+1Q1位置=4=4=2Q3位置=3(n+1)43(7+1)4==6n+1【例】2、十分位數將總體各單位標志值按大小順序排列后，用九個數值將數列分成十等份，這九個點所對應單元的標志值稱為十分位數。未分組數據：十分位數D1的位置=n+110十分位數D2的位置=2(n+1)10十分位數位置的確定十分位數D9的位置=9(n+1)10…………第四節(jié)變異指標

（一）變異指標的概念統(tǒng)計上用來反映總體各單位標志值之間差異程度和平均數的代表程度的綜合指標，也稱做標志變動度。

平均指標是一個代表性數值，它反映總體各單位某一數量標志的一般水平，而把總體各單位之間的差異抽象化了。但總體各單位之間的差異是客觀存在的，這種差異也是統(tǒng)計總體的重要特征之一。因此，要全面反映一個總體的特征，還必須測定總體各單位之間差異程度。

一、變異指標概述1、可以揭示數據分布的離中趨勢；2、是衡量均值代表性高低的尺度；（二）變異指標的作用3、可以反映社會經濟活動過程的均衡性和穩(wěn)定性測定標志變異度的絕對量指標（與原變量值名數相同）測定標志變異度的相對量指標（表現(xiàn)為無名數）全距系數平均差系數標準差系數二、標志變異指標的種類極差平均差標準差分位差指所研究的數據中，最大值與最小值之差，又稱全距。1.極差最大變量值或最高組上限或開口組假定上限最小變量值或最低組下限或開口組假定下限【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則【例B】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數（個）計劃產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計—1824900計算該公司該季度計劃完成程度的全距。優(yōu)點:計算方法簡單、易懂；缺點:易受極端數值的影響，不能全面反映所有標志值差異大小及分布狀況，準確程度差往往應用于生產過程的質量控制中極差的特點是從變量數列中剔除了最大和最小的部分極端值之后，對剩下來的單元計算的極差稱為分位差。常用的分位差為四分位差。即：2.分位差排除了少數極端值對分布變異范圍的異常影響；分為程度越高，分位差排除的極端值的比例就越小。分位差的特點⑴簡單平均差——適用于未分組資料是各個數據與其算術平均數的離差絕對值的算術平均數，用A.D表示3.平均差計算公式：總體算術平均數總體單位總數第個單位的變量值【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。解：即該售貨小組5個人銷售額的平均差為93.6元⑵加權平均差——適用于分組資料總體算術平均數第組變量值出現(xiàn)的次數第組的變量值或組中值【例B】計算下表中某公司職工月工資的平均差月工資（元）組中值（元）職工人數（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計—2000解：即該公司職工月工資的平均差為138.95元優(yōu)點:不易受極端數值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；缺點:用絕對值的形式消除各標志值與算術平均數離差的正負值問題，不便于作數學處理和參與統(tǒng)計分析運算。平均差的特點一般情況下都是通過計算另一種標志變異指標——標準差，來反映總體內部各單位標志值的差異狀況⑴簡單標準差——適用于未分組資料是各個數據與其算術平均數的離差平方的算術平均數的開平方根，用來表示；標準差的平方又叫作方差，用來表示。4.標準差計算公式：總體單位總數第個單位的變量值總體算術平均數【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標準差。解：（比較：其銷售額的平均差為93.6元）即該售貨小組銷售額的標準差為109.62元。⑵加權標準差——適用于分組資料總體算術平均數第組變量值出現(xiàn)的次數第組的變量值或組中值【例B】計算下表中某公司職工月工資的標準差。月工資（元）組中值（元）職工人數（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計—2000解：（比較：其工資的平均差為138.95元）即該公司職工月工資的標準差為167.9元。由同一資料計算的標準差的結果一般要略大于平均差。證明：當a,b,c≥0時，有標準差的特點不易受極端數值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；用平方的方法消除各標志值與算術平均數離差的正負值問題，可方便地用于數學處理和統(tǒng)計分析運算.簡單標準差加權標準差標準差的簡捷計算避免離差平方和計算過程的出現(xiàn)目的:變量值平方的平均數變量值平均數的平方平均差與標準差的大小不僅與數據的離差狀況有關，而且與變量值的平均水平有關，故當兩個總體的平均數不等就不能用其來度量變量值的離散程度及平均數的代表性；

平均差與標準差受計量單位、研究對象的影響，故不同對象、不同單位的平均差或標準差之間沒有可比性.平均差與標準差的局限可比變異系數指標身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數可以相互比較可比平均差系數標準差系數5.離散系數用來對比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數代表性的大小:——標準差系數小的總體，其平均數的代表性大；反之，亦然。應用:各種變指標與其算術平均數之比。一般用V表示?！纠磕衬昙壱?、二兩班某門課的平均成績分別為82分和76分，其成績的標準差分別為15.6分和14.8分，比較兩班平均成績代表性的大小。解：一班成績的標準差系數為：二班成績的標準差系數為：因為，所以一班平均成績的代表性比二班大。第五節(jié)偏態(tài)與峰度

一、偏態(tài)及其測定指分布數列的不對稱性。非對稱的，偏斜的分布對稱的、高度適中的分布既偏斜又低平的分布偏態(tài)系數小于0，平均數在眾數之左，是一種左偏分布，又稱負偏。

左偏分布偏態(tài)系數大于0，平均數在眾數之右，是一種右偏分布，又稱為正偏。右偏分布（一）皮爾遜偏態(tài)測定法Pearson偏態(tài)系數是根據眾數、中位數與均值各自的性質，通過比較眾數或中位數與均值來衡量偏斜度的。

皮爾遜偏態(tài)系數計算公式其中：SKP—皮爾遜偏態(tài)測定值；Mo—眾數