方程型綜合問題

第十章近年中考壓軸題選練

第45課方程型綜合問題考題分析方程型綜合題是中考試題中常見的中檔題，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形，解方程(組)、解不等式(組)，函數(shù)知識．其基本形式有：求代數(shù)式的值，求參數(shù)的值或取值范圍，與方程有關(guān)的代數(shù)式的證明．方程是貫穿初中代數(shù)的一條知識主線，方程型綜合題也是中考命題的熱點．題型分類深度剖析例1：閱讀下面的材料，回答問題：解方程x4－5x2＋4＝0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4.當(dāng)y＝1時，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.(1)在由原方程得到方程①的過程中，利用________法達到________的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．(2)解方程(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.換元降次(2)設(shè)x2＋x＝y(tǒng)，于是原方程可變?yōu)閥2－4y－12＝0，解得y1＝6，y2＝－2.當(dāng)y＝6時，x2＋x＝6，∴x1＝2，x2＝－3；當(dāng)y＝－2時，x2＋x＝－2，方程沒有實數(shù)根．∴原方程有二個根，x1＝2，x2＝－3.探究提高：在解題過程體會換元法在解方程時化難為易，化繁為簡；本題中用換元法達到降次的目的，將高次方轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次方程．知能遷移1：(1)解方程，求出x1，x2，并計算兩個解的和與積，填入下表.方程x1x2x1＋x2x1·x29x2－2＝02x2－3x＝0x2－3x＋2＝0關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，且a≠0，b2－ac≥0)(2)觀察表格中方程兩個解的和、兩個解的積與原方程的系數(shù)之間的關(guān)系有什么規(guī)律，寫出你的結(jié)論．(2)結(jié)論：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，且a≠0，b2－4ac≥0)有兩個實數(shù)根x1，x2，則有x1＋x2＝－，x1·x2＝.例2：如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，點D為AB的中點．(1)如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？解：(1)①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝3×1＝3厘米，∵AB＝10厘米，點D為AB的中點，∴BD＝5厘米．又∵PC＝BC－BP，BC＝8厘米，∴PC＝8－3＝5厘米，∴PC＝BD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP.②∵vp≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌CQP，∠B＝∠C，則BP＝PC＝4，CQ＝BD＝5，∴點P，點Q運動的時間t＝＝秒，∴vQ＝＝＝厘米/秒．(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？探究提高：這是一個動點問題，要明確動點的運動時間、運動速度，可求得動點的移動路程，根據(jù)問題中的等量關(guān)系，列出方程，求出動點的運動時間或運動速度．知能遷移2：正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當(dāng)M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．(1)證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；(2)設(shè)BM＝x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；(3)當(dāng)M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN，求此時x的值．例3：如圖，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D(3,0)和點E(0,4)，動點C從點M(5,0)出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左作勻速運動．與此同時，動點P從點D出發(fā)，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動．設(shè)運動時間為t秒．(1)請用含t的代數(shù)式分別表示出點C與點P的坐標(biāo)；(2)以點C為圓心、t個單位長度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，連接PA、PB.①當(dāng)⊙C與射線DE有公共點時，求t的取值范圍；②當(dāng)△PAB為等腰三角形時，求t的值．探究提高：問題中△PAB為等腰三角形，注意分類討論，則有PA＝PB或PA＝AB，或PB＝AB，用含t的代數(shù)式來表示PA、AB、PB或由此尋找等量關(guān)系，列出以t為未知數(shù)的方程，求得方程的解，即得到t的值．知能遷移3：如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點，A點的坐標(biāo)為(－1,0)，過點C的直線y＝x－3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H，若PB＝5t，且0<t<1.(1)填空：點C的坐標(biāo)是_________，b＝_________，c＝_________；(2)求線段QH的長(用含t的式子表示)；(0，－3)－3－(2)求線段QH的長(用含t的式子表示)；解：(3)依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．例4：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB－BC－CP于點E.點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點B停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒(t>0)．(1)當(dāng)t＝2時，AP＝______，點Q到AC的距離是______；(2)在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；(不必寫出t的取值范圍)(3)在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值，若不能，請說明理由．(4)當(dāng)DE經(jīng)過點C時，請直接寫出t的值．探究提高：通過添加輔助線，或根據(jù)已知條件，可以證明兩個三角形相似，由相似三角形的性質(zhì)得對應(yīng)邊成比例，根據(jù)此等量關(guān)系列出方程．知能遷移4：已知拋物線y＝x2－2x＋a(a<0)與y軸相交于點A，頂點為M.直線y＝x－a分別與x軸，y軸相交于B、C兩點，并且與直線AM相交于點N.(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點M與N的坐標(biāo)，則M(____，____)，N(____，____)；(2)如圖，將△NAC沿y軸翻折，若點N的對應(yīng)點N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點D，連結(jié)CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；(3)在拋物線y＝x2－2x＋a(a<0)上是否存在一點P，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．思想方法感悟提高方程思想就是把問題中的已知量與未知量之