第3章命題邏輯

數(shù)理邏輯（MathematicalLogic）是研究演繹推理的一門學科,是邏輯學的主要分支（辯證邏輯、形式邏輯）；它的主要研究內(nèi)容是推理，特別著重于推理過程是否正確；它不是研究某個特定的語句是否正確，而是著重于語句之間的關系。它的主要研究方法是采用數(shù)學的方法來研究數(shù)學推理、數(shù)學性質(zhì)和數(shù)學基礎；所謂數(shù)學方法就是引進一套符號體系的方法，所以數(shù)理邏輯又叫符號邏輯（SymbolicLogic）。第二篇數(shù)理邏輯什么是數(shù)理邏輯？用數(shù)學的方法來研究推理的規(guī)律統(tǒng)稱為數(shù)理邏輯。為什么要研究數(shù)理邏輯？

程序＝算法＋數(shù)據(jù) 算法＝邏輯＋控制數(shù)理邏輯在人類腦力勞動自動化過程中，將發(fā)揮越來越大的作用！總結主要研究內(nèi)容命題邏輯

命題的基本概念命題聯(lián)結詞命題公式命題的范式主要研究內(nèi)容謂詞邏輯謂詞的基本概念謂詞公式公式的標準型推理與證明技術命題邏輯推理理論謂詞邏輯推理理論數(shù)學歸納法按定義證明法第3章命題邏輯

命題邏輯也稱命題演算，或語句邏輯。它研究以命題為基本單位構成的前提和結論之間的可推導關系，研究什么是命題？如何表示命題？如何由一組前提推導一些結論？命題邏輯的特征：

在研究邏輯的形式時，我們把一個命題只分析到其中所含的命題成份為止，不再分析下去。不把一個簡單命題再分析為非命題的集合，不把謂詞和量詞等非命題成份分析出來。3.0內(nèi)容提要命題公式3命題范式4命題基本概念1集合的表示方法2命題聯(lián)結詞23.1本章學習要求重點掌握一般掌握了解11、五種基本聯(lián)結詞2、24個基本的等價公式3掌握求命題范式的方法3聯(lián)結詞的完備集的理解和學習2公式的代入規(guī)則和替換規(guī)則3.2.1命題定義3.2.1

具有確切真值的陳述句稱為命題,該命題可以取一個“值”，稱為真值。3.2命題與命題聯(lián)結詞真值只有“真”和“假”兩種，分別用“Ｔ”(或“１”)和“Ｆ”(或“０”)表示。太陽是圓的；成都是一個旅游城市；北京是中國的首都；1＋1＝10；我喜歡看足球比賽；3能被2整除；地球外的星球上也有人；中國是世界上人口最多的國家；今天是晴天；ｘ+y>０；例3.2.1T

TTT/FT/FFT/FTT/F非命題例3.2.1(續(xù))把門關上；滾出去！你要出去嗎？今天天氣真好??！這個語句是假的。非命題非命題非命題非命題非命題四川不是一個國家；3既是素數(shù)又是奇數(shù)；張謙是大學生或是運動員；如果周末天氣晴朗，則我們將到郊外旅游；2+2=4當且僅當雪是白的。例3.2.2這些命題都不是簡單的陳述句，它們是由一些簡單的陳述句通過“不”、“并且”、“或者”、“如果…，則…”、‘“當且僅當”等這樣的關聯(lián)詞和標點符號復合而成的，即它們都可以分解成更為簡單的陳述句。一般來說，命題可分兩種類型：原子命題(簡單命題)：不能再分解為更為簡單命題的命題。復合命題：可以分解為更為簡單命題的命題。而且這些簡單命題之間是通過如“或者”、“并且”、“不”、“如果...，則...”、“當且僅當”等這樣的關聯(lián)詞和標點符號復合而構成一個復合命題。命題的分類P：今天天氣很冷。Q：今天天氣很冷并且刮風。R：今天天氣很冷并且刮風，但室內(nèi)暖和。通常用大寫的帶或不帶下標的英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ、...P、Q、R、...Ai、Bi

、Ci、...Pi、Qi、Ri、...等表示命題命題的表示3.2.2命題聯(lián)結詞定義3.2.2

設P是任一命題，復合命題“非P”(或“P的否定”)稱為P的否定式(Negation)，記作P，“”為否定聯(lián)結詞。若P：四川是一個國家。則P：四川不是一個國家。PPO11OP為真當且僅當P為假。合取聯(lián)結詞定義3.2.3

設P、Q是任兩個命題，復合命題“P并且Q”(或“P和Q”)稱為P與Q的合取式(Conjunction)，記作P∧Q，“∧”為合取聯(lián)結詞。P∧Q為真當且僅當P，Q同為真。若P：3是素數(shù)；Q：3是奇數(shù)。則P∧Q：3既是素數(shù)又是奇數(shù)。PQP∧QOOOO1O1OO111析取聯(lián)結詞定義3.2.4

設P、Q是任兩個命題，復合命題“P或者Q”稱為P與Q的析取式(Disjunction)，記作P∨Q，“∨”為析取聯(lián)結詞。P∨Q為真當且僅當P，Q中至少一個為真。若P：張謙是大學生；Q：張謙是運動員。則P∨Q：張謙是大學生或是運動員。PQP∨QOOOO111O1111蘊涵聯(lián)結詞定義3.2.5

設P、Q是任兩個命題，復合命題“如果P，則Q”稱為P與Q的蘊涵式(Implication)，記作P→Q，“→”稱為蘊涵聯(lián)結詞，P稱為蘊涵式的前件，Q稱為蘊涵式的后件。P→Q為假當且僅當P為真且Q為假。若P：周末天氣晴朗；Q：我們將到郊外旅游。則P→Q：如果周末天氣晴朗，則我們將到郊外旅游。PQP→QOO1O111OO111等價聯(lián)結詞定義3.2.6

設P、Q是任兩個命題，復合命題“P當且僅當Q”稱為P與Q的等價式(Enuivalence)，記作PQ，“”稱為等價聯(lián)結詞。PQ為真當且僅當P、Q同為真假。

若P：2+2=4；Q：雪是白的。則PQ：2+2=4當且僅當雪是白的。PQPQOO1O1O1OO111總結聯(lián)結詞記號復合命題記法讀法真值結果否定┐非A┐AA的否定┐A為真當且僅當A為假合取∧A并且BA∧BA合取BA∧B為真當且僅當A,B同為真析取∨A或者BA∨BA析取BA∨B為真當且僅當A,B中至少一個為真蘊涵→若A，則BA→BA蘊涵BA→B為假當且僅當A為真B為假等價A當且僅當BABA等價于BAB為真當且僅當A,B同為真假說明1、聯(lián)結詞是句子與句子之間的聯(lián)結，而非單純的名詞、形容詞、數(shù)詞等的聯(lián)結；2、聯(lián)結詞是兩個句子真值之間的聯(lián)結，而非句子的具體含義的聯(lián)結，兩個句子之間可以無任何的內(nèi)在聯(lián)系；3、聯(lián)結詞與自然語言之間的對應并非一一對應；（1）合取聯(lián)結詞“∧”對應了自然語言的“既…又…”、“不僅…而且…”、“雖然…但是…”、“并且”、“和”、“與”等；（4）析取聯(lián)結詞“”對應的是“或”、“或者”。（3）等價聯(lián)結詞“”對應了自然語言中的“等價”、“當且僅當”、“充分必要”等；（2）蘊涵聯(lián)結詞“→”,“P→Q”對應了自然語言中的“如P則Q”、“只要P就Q”、“P僅當Q”、“只有Q才P”、“除非Q否則P”、“沒有 Q，就沒有P”等；說明符號化下列命題（1）四川不是人口最多的省份；（2）王超是一個德智體全面發(fā)展的好學生；（3）教室的燈不亮可能是燈管壞了或者是停電了；（4）如果周末天氣晴朗，那么學院將組織我們到石像湖春游；（5）兩個三角形全等當且僅當三角形的三條邊全部相等。例3.2.3設Ｐ：四川是人口最多的省份。則命題（1）可表示為┐Ｐ。設Ｐ：王超是一個思想品德好的學生；Ｑ：王超是一個學習成績好的學生；

R：王超是一個體育成績好的學生。則命題（2）可表示為Ｐ∧Ｑ∧R。設Ｐ：教室的燈不亮可能是燈管壞了Ｑ：教室的燈不亮可能是停電了則命題（3）可表示為Ｐ∨Ｑ。設Ｐ：周末天氣晴朗；Ｑ：學院將組織我們到石像湖春游。則命題（4）可表示為Ｐ→Ｑ。設Ｐ：兩個三角形全等；Ｑ：三角形的三條邊全部相等。則命題（5）可表示為ＰＱ。為了不使句子產(chǎn)生混淆，作如下約定，命題聯(lián)結詞之優(yōu)先級如下：否定→合取→析取→蘊涵→等價同級的聯(lián)結詞，按其出現(xiàn)的先后次序(從左到右)若運算要求與優(yōu)先次序不一致時，可使用括號；同級符號相鄰時，也可使用括號。括號中的運算為最優(yōu)先級。約定設命題 P：明天下雨；

Q：明天下雪； R：我將去學校。符號化下述語句：除非明天不下雨并且不下雪，否則我將不去學校。只要明天不下雨或不下雪，我就去學校。只有明天不是雨夾雪，我才去學校。明天上午我將雨雪無阻一定去學校例3.2.4R→┐P∧┐Q

┐P∨┐Q→RR→┐(P∧Q)(P∧Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨ (P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)((P∧Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐P∧┐Q))∧R例3.2.5設命題

P：你陪伴我；

Q：你代我叫車子；

R：我將出去。

符號化下述語句：

⑴．除非你陪伴我或代我叫車子，否則我將不出去

⑵．如果你陪伴我并且代我叫輛車子，則我將出去

⑶．如果你不陪伴我或不代我叫輛車子，我將不出去R→(P∨Q)或┐(P∨Q)→┐R(P∧Q)→R(┐P∨┐Q)→┐R3.2.3聯(lián)結詞理解難點（1）聯(lián)結詞“┐”是自然語言中的“非”、“不”和“沒有”等的邏輯抽象；（2）聯(lián)結詞“∧”是自然語言中的“并且”、“既…又…”、“但”、“和”等的邏輯抽象；（3）聯(lián)結詞“∨”是自然語言中的“或”、“或者”等邏輯抽象；但“或”有“可兼或”、“不可兼或”二種，如：張明明天早上9點乘飛機到北京或者到上海(不可兼或)我喜歡學習或喜歡音樂(可兼或)。（4）聯(lián)結詞“→”是自然語言中的“如果…，則…”，“若…，才能…”、“除非…，否則…”等的邏輯抽象。主要描述方法有：

（1）因為P所以Q；（2）只要P就Q；（3）P僅當Q；（4）只有Q，才P；（5）除非Q，才P；（6）除非Q，否則非P；（7）沒有Q，就沒有P。聯(lián)結詞理解難點如：設P：雪是白色的； Q：2+2=4。將下列命題符號化：因為雪是白色的，所以2+2=4；如果2+2=4，則雪是白色的；只有雪是白色的，才有2+2=4；只有2+2=4，雪才是白色的；只要雪不是白色的，就有2+2=4；除非雪是白色的，否則2+2≠4；雪是白色的當且僅當2+2=4；P→QQ→PQ→PP→Q

P→Q

P→Q或Q→PPQ聯(lián)結詞理解難點在自然語言中，前件為假，不管結論真假，整個語句的意義，往往無法判斷。但在數(shù)理邏輯中，當前件P為假時，不管Q的真假如何，則P→Q都為真。此時稱為“善意推定”；這里要特別提醒一下“→”的含義，在自然語言中，條件式中前提和結論間必含有某種因果關系，但在數(shù)理邏輯中可以允許兩者無必然因果關系，也就是說并不要求前件和后件有什么聯(lián)系；聯(lián)結詞理解難點（5）雙條件聯(lián)結詞“”是自然語言中的“充分必要條件”、“當且僅當”等的邏輯抽象；（6）聯(lián)結詞連接的是兩個命題真值之間的聯(lián)結，而不是命題內(nèi)容之間的連接，因此復合命題的真值只取決于構成他們的各原子命題的真值，而與它們的內(nèi)容、含義無關，與聯(lián)結詞所連接的兩原子命題之間是否有關系無關；聯(lián)結詞理解難點（7）聯(lián)結詞“∧”、“∨”、“”具有對稱性，而聯(lián)結詞“┐”、“→”沒有；（8）聯(lián)結詞“∧”、“∨”、“┐”同構成計算機的與門、或門和非門電路是相對應的，從而命題邏輯是計算機硬件電路的表示、分析和設計的重要工具。聯(lián)結詞理解難點3.2.4命題聯(lián)結詞的應用例3.2.6

用復合命題表示如下圖所示的開關電路：設：Ａ：開關Ｐ閉合；Ｂ：開關Ｑ閉合。

A∧BA∨B┐A用復合命題表示如下圖所示的邏輯電路：例3.2.7P

QP

QP解:設P：輸入端Ｐ為高電位，Q：輸入端Ｑ為高電位,則

“與門”對應于P∧Q

“或門”對應于P∨Q“非門”對應于┐P3.3命題公式、解釋與真值表定義3.3.1

一個特定的命題是一個常值命題，它不是具有值“T”(“1”)，就是具有值“F”(“0”)。而一個任意的沒有賦予具體內(nèi)容的原子命題是一個變量命題，常稱它為命題變量(或命題變元)，該命題變量無具體的真值，它的變域是集合{T，F(xiàn)}(或{0，1})當原子命題是命題變元時，則復合命題為命題變元的“函數(shù)”，且該“函數(shù)”的值仍為“真”或“假”值，這樣的函數(shù)可形象地稱為“真值函數(shù)”,或稱為命題公式，此命題公式?jīng)]有確切真值。3.3.1命題公式定義3.3.2(命題公式)命題變元本身是一個公式；如G是公式，則(┐G)也是公式；如G，H是公式，則(G∧H)、(G∨H)、(G→H)、(GH)也是公式；命題公式是僅由有限步使用規(guī)則1-3后產(chǎn)生的結果。該公式常用符號G、H、…等表示。（Ｐ∧Ｑ∧），（Ｐ→Ｑ）→等是命題公式嗎？例3.3.1

符號串：

((P∧(Q∨R))→(Q∧(┐S∨R)))；

(┐P∧Q)；(P→(┐(P∧Q)))；

(((P→Q)∧(R→Q))(P→R))。等都是命題公式。例3.3.2

符號串： (P→Q)∧┐Q)； (P→Q； (┐P∨Q∨(R；P∨Q∨。等都不是合法的命題公式。例例3.3.3試用符號形式寫出下列命題：雖然今天天氣晴朗，老陳還是不來；除非你陪伴我或代我叫車子，否則我將不出去；停機的原因在于語法錯誤或者程序錯誤；若a和b是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)；我們要做到身體好、學習好、工作好，為祖國四化建設而奮斗。

P：今天天氣晴朗，Q：老陳要來,則有：P∧┐QP：你陪伴我；Q：你代我叫車子；R：我出去。則有：R→P∨Q或┐P∧┐Q→┐RP：停機的原因在于語法錯誤，Q：停機的原因在于程序錯誤，則有：P∨

QP：a是偶數(shù)，Q：b是偶數(shù)，R：a+b是偶數(shù)，則有：P∧Q→RP：我們要做到身體好Q：我們要做到學習好R：我們要做到工作好S：我們要為祖國四化建設而奮斗則有：P∧Q∧R S公式(P∧(Q∨R))→(Q∧(┐S∨R))可表示如下： (P∧(Q∨R))→(Q∧(┐S∨R))P∧(Q∨R)

Q∧(┐S∨R)P

Q∨R

Q

┐S∨RQ

R

┐SRS例3.3.43.3.2公式的解釋與真值表定義3.3.3設P1、P2、…、Pn是出現(xiàn)在公式G中的所有命題變元，指定P1、P2、…、Pn一組真值，則這組真值稱為G的一個解釋,常記為Ｉ。

一般來說，若有ｎ個命題變元，則應有2n個不同的解釋。

如果公式G在解釋Ｉ下是真的，則稱Ｉ滿足G；如果G在解釋Ｉ下是假的，則稱Ｉ弄假G。定義3.3.4

將公式G在其所有可能解釋下的真值情況列成的表，稱為G的真值表。例3.3.5求下面公式的真值表：Ｇ＝(P→((PQ)∧R))∨Q其中，Ｐ、Ｑ、Ｒ是Ｇ的所有命題變元。10

0

0010

0

0

011

1

1

0000

1

011

1

1

111

0

1

11100

111

00

1111110101100011010001000GP→((PQ)∧R)((PQ)∧RPQPPQR例3.3.5（續(xù)）PQR(P→((PQ)∧R))∨Q000001010011100101110111進一步化簡為：1001110011110111111101000011110000100001例3.3.6PQ(Ｐ→Ｑ)→Ｐ

(Ｐ→Ｑ)∧Ｐ(Ｐ∧Ｑ)(Ｐ→Q)00

01

10

11

求下面這組公式的真值表： Ｇ1＝(Ｐ→Ｑ)→Ｐ；Ｇ2＝(Ｐ→Ｑ)∧Ｐ；Ｇ3＝(Ｐ∧Ｑ)(Ｐ→Q)。10110101110110100011100101100100011001100100從這三個真值表可以看到一個非常有趣的事實：公式G1對所有可能的解釋具有“真”值公式G3對所有可能的解釋均具有“假”值公式G2則具有“真”和“假”值結論定義3.3.5公式G稱為永真公式(重言式)，如果在它的所有解釋之下都為“真”。公式G稱為永假公式(矛盾式),如果在它的所有解釋之下都為“假”。公式G稱為可滿足的，如果它不是永假的。從上述定義可知三種特殊公式之間的關系：永真式G的否定G是矛盾式；矛盾式G的否定G是永真式。永真式一定是可滿足式,可滿足式不一定是永真式可滿足式的否定不一定為不可滿足式(即為矛盾式)G是可滿足的當且僅當至少有一個解釋Ｉ，使G在Ｉ下為真。結論例3.3.7寫出下列公式的真值表，并驗證其公式是重言式、矛盾式、可滿足公式。（1）G1=(Ｐ→Ｑ)(Ｐ∨Ｑ)；（2）G2=(ＰQ)((Ｐ→Q)∨(Q→Ｐ))；（3）G3=(P→Q)∨Q。解PQ(Ｐ→Ｑ)(Ｐ∨Ｑ)(Ｐ

Q)((Ｐ→Q)∨(Q→Ｐ))(P→Q)∨Q001

0

1011

0

1101

0

11110

0永真公式可滿足公式永假公式可滿足公式三個公式的真值表如下：若將其看成兩個公式，分別令：

Ｇ＝Ｐ→Ｑ，Ｈ＝┐Ｐ∨Ｑ。則ＧＨ是一個永真公式，即這兩個公式對任何解釋都必同為真假，從真值的角度來說，Ｇ和Ｈ是相等的。定義3.3.6

設G、H是公式，如果在任意解釋Ｉ下，G與H的真值相同，則稱公式G與H是等價的，記作

G＝H。分析公式（1）定理3.3.1公式G與H等價的充分必要條件是公式GH是永真公式。證明:“”假定G，H等價，則G，H在其任意解釋Ｉ下或同為真或同為假，于是由“”的意義知，GH在其任何的解釋Ｉ下，其真值為“真”，即GH為永真公式。“”假定公式GH是永真公式，Ｉ是它的任意解釋，在Ｉ下，GH為真，因此，G、H或同為真，或同為假，由于Ｉ的任意性，故有G＝H。定理

首先，雙條件詞“”是一種邏輯聯(lián)結詞，公式GH是命題公式，其中“”是一種邏輯運算，GH的結果仍是一個命題公式。而邏輯等價“＝”則是描述了兩個公式G與H之間的一種邏輯等價關系，G＝H表示“命題公式G的真值結果等于命題公式H的真值結果”，G＝H的結果不是命題公式。

其次，如果要求用計算機來判斷命題公式G、H是否邏輯等價，即G＝H那是辦不到的，然而計算機卻可“計算”公式GH是否是永真公式。

“＝”與“”的區(qū)別“=”的性質(zhì)由于“=”不是一個聯(lián)結詞，而是一種關系，為此，這種關系具有如下三個性質(zhì)：（1）自反性G=G；（2）對稱性若G=H，則H=G；（3）傳遞性若G=H，H=S，則G=S。這三條性質(zhì)體現(xiàn)了“=”的實質(zhì)含義。3.3.4命題公式的基本等價關系例3.3.5

證明公式G1＝(ＰＱ)與公式G2＝(P→Q)∧(Q→P)之間是邏輯等價的。解：根據(jù)定理3.3.1，只需判定公式G3＝(ＰＱ)((P→Q)∧(Q→P))為永真公式。11100100G3＝(ＰＱ)((Ｐ→Q)∧(Q→Ｐ))PQ

1111101100

0100111111設G，H，S是任何的公式，則：基本等價公式Ｅ1：G∨(H∨S)＝(G∨H)∨S (結合律)Ｅ2:G∧(H∧S)＝(G∧H)∧SＥ3：G∨H＝H∨G (交換律)Ｅ4：G∧H＝H∧GＥ5：G∨G＝G (冪等律)Ｅ6：G∧G＝GＥ7：G∨(G∧H)＝G (吸收律)Ｅ8：G∧(G∨H)＝GＥ9：G∨(H∧S)＝(G∨H)∧(G∨S) (分配律）Ｅ10：G∧(H∨S)＝(G∧H)∨(G∧S)Ｅ11：G∨０＝G (同一律)Ｅ12：G∧１＝GＥ13：G∨１＝１ (零律)Ｅ14：G∧０＝０Ｅ15：G∨┐G＝１ (排中律)Ｅ16：G∧┐G＝０ (矛盾律)基本等價公式（續(xù)）基本等價公式（續(xù)）Ｅ17：┐(┐G)＝G (雙重否定律)Ｅ18：┐(G∨H)＝┐G∧┐H (DeMorgan定律)Ｅ19：┐(G∧H)＝┐G∨┐HＥ20：(GH)＝(G→H)∧(H→G)

(等價式)Ｅ21：(G→H)＝(┐G∨H) (蘊涵式)E22：G→Ｈ＝Ｈ→G

(假言易位)E23：G

Ｈ＝GＨ (等價否定等式)E24：(G→Ｈ)∧(G→Ｈ)＝G

(歸謬論)這種圖是將G，H理解為某總體論域上的子集合，而規(guī)定G∧H為兩集合的公共部分（交集合），G∨H為兩集合的全部（并集合），┐G為總體論域（如矩形域）中G的補集，將命題中的真值“1”理解為集合中的總體論域（全集），將命題中的真值“0”理解為集合中的空集，則有：

G∧HG∨H┐GUABUABUA命題與集合之間的關系設G(P1,P2,…,Pn)是一個命題公式，其中：P1、P2、…、Pn是命題變元，G1(P1,P2,…,Pn)、G2(P1,P2,…,Pn)、...、Gn(P1,P2,…,Pn)為任意的命題公式，分別用G1、G2…、Gn取代G中的P1、P2、…、Pn后得到新的命題公式：G(G1,G2,…,Gn)＝G’(P1,P2,…,Pn)若G是永真公式（或永假公式），則G’也是一個永真公式（或永假公式）。定理3.3.2(代入定理)例3.3.6設Ｇ(Ｐ,Ｑ)＝(Ｐ∧(Ｐ→Ｑ))→Ｑ，證明公式G是一個永真公式。另有兩個任意公式： Ｈ(Ｐ,Ｑ)＝(Ｐ∨Ｑ)； Ｓ(Ｐ,Ｑ)＝(ＰＱ)。進一步驗證代入定理的正確性。解建立公式G的真值表如右所示。可見為永真公式。PQ(Ｐ∧(Ｐ→Ｑ))→Ｑ001011101111例3.3.6（續(xù)）將Ｈ，Ｓ代入到Ｇ中分別取代G中的命題變元P、Q，所得到的公式Ｇ＇為：Ｇ＇(P,Q)=G(H,S)=(H∧(H→S))→S=((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)→(ＰＱ)))→(ＰＱ)建立新公式Ｇ′(P,Q)的真值表，代入定理符合。11100100((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)→(ＰＱ)))→(ＰＱ)PQ101110101001101010111001110111111001定理3.3.3(替換定理)設G1是G的子公式(即G1是公式G的一部分)，H1是任意的命題公式，在G中凡出現(xiàn)G1處都以H1替換后得到新的命題公式H，若G1＝H1，則G＝H。利用24個基本等價公式及代入定理和替換定理，可完成公式的轉化和等價判定。例3.3.7利用基本的等價關系，完成如下工作：（1）判斷公式的類型：證明((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨ (Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)是一個永真公式。（2）證明公式之間的等價關系：證明Ｐ→(Ｑ→Ｒ)=(Ｐ∧Ｑ)→Ｒ（3）化簡公式：證明(P∧(Ｑ∧R))∨((Ｑ∧R)∨(P∧R))=R證明（1）((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)=((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨(Ｑ∧Ｒ)))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=T

即:((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)為永真公式；

┐(G∨H)＝┐G∧┐H┐(G∧H)＝┐G∨┐HG∨(H∧S)＝(G∨H)∧(G∨S)G∧(H∨S)＝(G∧H)∨(G∧S)排中律G∨┐G＝１

冪等律G∨G＝G G∧G＝G證明(續(xù))（2）要證P→(Q→R)=(P∧Q)→R；

P→(Q→R)=P∨(Q→R)=P∨(Q∨R)=(P∨Q)∨R=(P∧Q)∨R=(P∧Q)→R（3）要證

(P∧(Q∧R))∨((Q∧R)∨(P∧R))=R

(P∧(Q∧R))∨((Q∧R)∨(P∧R))=(P∧Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)=((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)=((P∨Q)∨(Q∨P))∧R=T∧R=R蘊含式(G→H)＝(┐G∨H)

3.3.5命題公式的難點命題公式和命題不同，它是一個公式，無具體的真值可言，只有當給予公式中的每個命題變元以具體的真值指派，公式才有具體的真值；命題公式之間的等價聯(lián)結詞“”和等價關系“＝”之間是兩個完全不同的概念，前者是一種運算，后者是一種關系，兩個公式之間，通過聯(lián)結詞“”的運算以后，仍然是一個命題公式，但等價關系“＝”只能將一個命題公式轉化成與之等價的另一個命題公式，“＝”是不可計算的；命題公式的難點對于24個基本的等價公式，如果將運算“﹁”、“∧”、“∨”分別對應于集合中的運算“￣”、“∩”、“∪”，真值“1”、“0”分別對應于集合中的全集“U”和空集“”，則集合中的19個基本的等價公式對應于命題的公式E1到E19，E20到E24是命題邏輯中所特有的公式，重點要求記住E20和E21。只有熟練地掌握這24個基本的等價公式，并且對聯(lián)結詞“∧”、“∨”注意用括號來標識其優(yōu)先級別，才能正確地加以應用。3.3.6命題公式的應用例3.3.8

利用基本的等價關系，化簡下列電路圖&&≥1≥1&TSRQPRPSQPSPQRP解：上述電路圖可描述為：（1）((P∧Q∧R)∨(P∧Q∧S))∧((P∧R)∨(P∧S))（2）((P∧Q∧R)∨(P∨Q∨S))∧(P∧S∧T)例3.3.8利用21個基本等價關系，化簡公式(1)、(2)可得：（1）((P∧Q∧R)∨(P∧Q∧S))∧((P∧R)∨(P∧S))=((P∧Q∧(R∨S))∧(P∧(R∨S))=P∧Q∧(R∨S)；（2）((P∧Q∧R)∨(P∨Q∨S))∧(P∧S∧T)=(P∨Q∨S)∧(P∧S∧T)=P∧S∧T。SRQPPTS&

吸收律G∨(G∧H)＝G G∧(G∨H)＝G

例3.3.9將下面程序語言進行化簡。IfAthenifBthenXelseYelseifBthenXelseY

TFFTFTStartAXYEndBB

解：執(zhí)行X的條件為：

(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)執(zhí)行Y的條件為：

(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)例3.3.9(續(xù)）執(zhí)行X的條件可化簡為：(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)＝Ｂ∧(Ａ∨Ａ)＝Ｂ執(zhí)行Y的條件可化簡為：(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)＝Ｂ∧(Ａ∨Ａ)＝ＢTXYEndStartBF程序可簡化為：IfBthenXelseY

例3.3.10

從前，有一個邏輯學家被關在大牢，有一天，國王對邏輯學家說：“聽說你智慧過人，我給你一個機會，這個大牢有兩個門，有兩個戰(zhàn)士守著，其中一個人說的是真話，另一個人說的是假話，這兩個門，一個是生門，一個是死門，你只能問兩個戰(zhàn)士中的一個，而且只能問一句話，如果你能通過生門出去，我就放了你，否則……嘿嘿……”請問：邏輯學家該怎樣回答？

邏輯學家沉思片刻，即向一戰(zhàn)士發(fā)問，然后開門從容離去。該邏輯學家應如何發(fā)問？解邏輯學家手指一門問身旁的一名戰(zhàn)士說:“這扇門是死亡門，他(指另一名戰(zhàn)士)將回答‘是’,對嗎？”

當被問戰(zhàn)士回答“對”,則邏輯學家開啟所指的門從容離去。當被問的戰(zhàn)士回答“否”,則邏輯學家開啟另一扇門從容離去。

PQRS

0011

0100

1001

1110邏輯學家能夠從容離去嗎？P:被問戰(zhàn)士是誠實人；Q:被問戰(zhàn)士的回答是“是”R:另一名戰(zhàn)士的回答是“是”S:這扇門是死亡門。例3.3.11一家航空公司，為了保證安全，用計算機復核飛行計劃。每臺計算機能給出飛行計劃正確或有誤的回答。由于計算機也有可能發(fā)生故障，因此采用三臺計算機同時復核。由所給答案，再根據(jù)“少數(shù)服從多數(shù)”的原則作出判斷，試將結果用命題公式表示，并加以簡化，畫出電路圖。解設C1，C2，C3分別表示三臺計算機的答案。S表示判斷結果。

C1C2C3

S

000

0

001

0

010

0

011

1

100

0

1011

110

1

111

1真值表則根據(jù)真值表，利用聯(lián)結詞的定義，S可用C1，C2，C3所對應的命題公式表示出來，同時可畫出該命題公式所對應的電路圖。解(續(xù))S=(C1∧C2∧C3)∨(C1∧C2∧C3)∨(C1∧C2∧C3)∨(C1∧C2∧C3)=((C1∨C1)∧C2∧C3)∨(C1∧(C2∨C2)∧C3)∨(C1∧C2∧(C3∨C3))(冪等、交換、分配)=(C2∧C3)∨(C1∧C3)∨(C1∧C2)C1C2C3S&&&≥1≥1只要C1，C2，C3中有兩個一樣的取值，那么S就為該值3.5公式的標準型——范式3.5.1析取范式和合取范式定義3.5.1

（1）命題變元或命題變元的否定稱為文字（2）有限個文字的析取稱為析取式(也稱為子句）（3）有限個文字的合取稱為合取式(也稱為短語）（4）P與

P稱為互補對。例（1）Ｐ、Ｐ是文字；（2）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ是子句；（3）Ｐ∧Ｑ∧Ｒ是短語。┐P是一個子句，這種說法正確么？一個命題變元或者其否定既可以是簡單的子句，也可以是簡單的短語。因此，Ｐ，Ｐ不但是文字，也是子句、短語

定義3.5.2（1）有限個短語的析取式稱為析取范式（2）有限個子句的合取式稱為合取范式一個不含最外層括號的短語或子句既是是析取范式，也是合取范式。Ｐ、Ｐ是析取范式、合取范式；Ｐ∨Ｑ∨Ｒ是子句、析取范式、合取范式，(Ｐ∨Ｑ∨Ｒ)僅是子句、合取范式；Ｐ∧Ｑ∧Ｒ是短語、析取范式、合取范式，(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)僅是短語、析取范式；(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｑ)是析取范式；(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｑ)是合取范式；句子Ｐ∨(Ｑ∨Ｒ)、(Ｑ∨Ｒ)即不是析取范式也不是合取范式例總結單個的文字是子句、短語、析取范式，合取范式單個的子句是合取范式；單個的短語是析取范式；若單個的子句或短語無最外層括號，則它既是析取范式又是合取范式；析取范式、合取范式僅含聯(lián)結詞集{，∧，∨}“”聯(lián)結詞僅出現(xiàn)在命題變元前。范式的求解方法定理3.5.1

對于任意命題公式，都存在與其等價的析取范式和合取范式。轉換方法：（1）利用等價公式中的蘊涵式和等價式將公式中的→、用聯(lián)結詞、∧、∨來取代，這可利用如下等價關系：

(Ｇ→Ｈ)=(Ｇ∨Ｈ)；(ＧＨ)=(Ｇ→Ｈ)∧(Ｈ→Ｇ)=(Ｇ∨Ｈ)∧(Ｈ∨Ｇ)。范式的求解方法(續(xù))（2）重復使用德摩根定律將否定號移到各個命題變元的前端，并消去多余的否定號，這可利用如下等價關系：(Ｇ)=Ｇ；

(Ｇ∨Ｈ)=Ｇ∧Ｈ；

(Ｇ∧Ｈ)=Ｇ∨Ｈ。（3）重復利用分配定律，可將公式化成一些合取式的析取，或化成一些析取式的合取，這可利用如下等價關系：Ｇ∨(Ｈ∧Ｓ)=(Ｇ∨Ｈ)∧(Ｇ∨Ｓ)；Ｇ∧(Ｈ∨Ｓ)=(Ｇ∧Ｈ)∨(Ｇ∧Ｓ)。例3.5.1求公式：(Ｐ→Ｑ)∨(ＰR)的析取范式和合取范式解

(Ｐ→Ｑ)∨(ＰR)=(Ｐ∨Ｑ)∨((Ｐ∨R)∧(R∨P))=((Ｐ∨Ｑ)∨(Ｐ∨R)) ∧((Ｐ∨Ｑ)∨(R∨P))=(Ｐ∨Ｑ∨Ｐ∨R)∧(Ｐ∨Ｑ∨

R∨P）

=(Ｐ∨Ｑ∨R) ——合取范式=Ｐ∨Ｑ∨R ——析取范式

范式的不惟一性考慮公式：(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)，其與之等價的析取范式： Ｐ∨(Ｑ∧Ｒ)； (Ｐ∧Ｐ)∨(Ｑ∧Ｒ)； Ｐ∨(Ｑ∧Ｑ)∨(Ｑ∧Ｒ)； Ｐ∨(Ｐ∧Ｒ)∨(Ｑ∧Ｒ)。這種不惟一的表達形式給研究問題帶來了不便。3.5.2主析取范式和主合取范式1.極小項和極大項定義3.5.3

在含有n個命題變元P1、P2、P3、…、Pn的短語或子句中，若每個命題變元與其否定不同時存在，但二者之一恰好出現(xiàn)一次且僅一次，則稱此短語或子句為關于P1、P2、P3、…、Pn的一個極小項或極大項。對于n個命題變元，可構成2n個極小項和2n個極大項（1）一個命題變元P，對應的極小項有兩項：P、

P；極大項有兩項：P、

P。（2）兩個命題變元P、Q，對應的極小項有四項：P∧Q、

P∧Q、P∧Q、

P∧Q；極大項有四項：P∨Q、

P∨Q、P∨Q、

P∨Q。例（3）三個命題變元P、Q、R，對應的極小項有八項：

Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧ＲＰ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧ＲＰ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧Ｒ；極大項有八項：

Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨ＲＰ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨ＲＰ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨Ｒ。例(續(xù))兩個命題變元的所對應極小項真值表

PQ┐P∧┐Q┐P∧Q

P∧┐Q

P∧Q

001000

010100

100010

110001注意：（1）沒有等價的兩個極小項；（2）使該極小項的真值為真的指派是唯一的；（3）使極小項為真的那組指派為對應極小項的編碼；（4）命題變元與1對應，命題變元的否定與0對應。

Ｐ∧Ｑ→{0、0}為真→{00}→m00(m0)Ｐ∧Ｑ→{0、1}為真→{01}→m01(m1)Ｐ∧Ｑ→{1、0}為真→{10}→m10(m2)Ｐ∧Ｑ→{1、1}為真→{11}→m11(m3)兩個命題變元的所對應極大項真值表PQ┐P∨┐Q┐P∨QP∨┐QP∨Q001

110011

101101

011110

111注意：（1）沒有等價的兩個極大項；（2）使該極大項的真值為假的指派是唯一的；（3）使極大項為假的那組指派為對應極大項的編碼；（4）命題變元與0對應，命題變元的否定與1對應。Ｐ∨Ｑ→{0、0}為假→{00}→M00(M0)Ｐ∨Ｑ→{0、1}為假→{01}→M01(M1)Ｐ∨Ｑ→{1、0}為假→{10}→M10(M2)Ｐ∨Ｑ→{1、1}為假→{11}→M11(M3)三個命題變元的極小項和極大項PQR極小項極大項000m0=┐P∧┐Q∧┐RM0=P∨Q∨R001m1=┐P∧┐Q∧RM1=P∨Q∨┐R010m2=┐P∧Q∧┐RM2=P∨┐Q∨R011m3=┐P∧Q∧RM3=P∨┐Q∨┐R100m4=P∧┐Q∧┐RM4=┐P∨Q∨R101m5=P∧┐Q∧RM5=┐P∨Q∨┐R110m6=P∧Q∧┐RM6=┐P∨┐Q∨R111m7=P∧Q∧RM7=┐P∨┐Q∨┐R任意兩個不同極小項的合取必為假；任意兩個不同極大項的析取必為真；極大項的否定是極小項；極小項的否定是極大項；所有極小項的析取為永真公式；所有極大項的合取是永假公式。mi∧mj=F,i≠j極小項和極大項的性質(zhì)Mi=┐miMi∨Mj=T,i≠j

┐Mi=

mi2主析取范式和主合取范式定義3.5.4

在給定的析取范式中，每一個短語都是極小項，則稱該范式為主析取范式在給定的合取范式中，每一個子句都是極大項，則稱該范式為主合取范式如果一個主析取范式不包含任何極小項，則稱該主析取范式為“空”；如果一個主合取范式不包含任何極大項，則稱主合取范式為“空”。定理3.5.2任何一個公式都有與之等價的主析取范式和主合取范式。證明：（1）利用定理3.5.1先求出該公式所對應的析取范式和合取范式；（2）在析取范式的短語和合取范式的子句中，如同一命題變元出現(xiàn)多次，則將其化成只出現(xiàn)一次；（3）去掉析取范式中所有永假式的短語和合取范式中所有永真式的子句，即去掉含有形如P∧┐P子公式的短語和含有形如P∨┐P子公式的子句；證明(續(xù)1)（4）若析取范式的某一個短語中缺少該命題公式中所規(guī)定的命題變元，則可用公式：(Ｐ∨┐Ｐ)∧Q=Q將命題變元P補進去，并利用分配律展開，然后合并相同的短語，此時得到的短語將是標準的極小項；若合取范式的某一個子句中缺少該命題公式中所規(guī)定的命題變元，則可用公式：(Ｐ∧┐Ｐ)∨Q=Q將命題變元P補進去，并利用分配律展開，然后合并相同的子句，此時得到的子句將是標準的極大項；證明(續(xù)2)（5）利用冪等律將相同的極小項和極大項合并，同時利用交換律進行順序調(diào)整，由此可轉換成標準的主析取范式和主合取范式。證明該定理的過程，實際上就是求一個公式的主析取范式和主合取范式的方法，將該方法稱為等價公式轉換法。需要說明求任何一個公式的主析取范式和主合取范式不僅要取決于該公式，而且取決于該公式所包含的命題變元。如公式：

G1(P,Q)=(P→Q)∧Q，G2(P,Q,R)=(P→Q)∧Q。前者是依賴于兩個命題變元的，后者應依賴于三個命題變元。3求主析取范式和主合取范式的方法主范式真值表技術對公式的真值結果進行分解，分解成等價的極小項的析取或者極大項的合取公式轉換法利用基本等價公式進行變換定理3.5.2例3.5.2利用等價公式轉換法求公式(P→Q)→(Q∧R)的主析取范式和主合取范式。解

（1）求主析取范式(P→Q)→(Q∧R)=(P∨Q)∨(Q∧R)＝(P∧Q)∨(Q∧R)——析取范式=(P∧Q∧(R∨R))∨((P∨P)∧Q∧R)=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)——主析取范式例3.5.2（續(xù)）（2）求主合取范式(P→Q)→(Q∧R)=(P∧Q)∨(Q∧R)

=(P∨Q)∧(P∨R)∧(Q∨Q)∧(Q∨R)=(P∨Q)∧(P∨R)∧(Q∨R) ——合取范式=(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨(Q∧Q)∨R)∧ ((P∧P)∨Q∨R)=(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧((P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)=(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)——主合取范式

我們已經(jīng)學會使用公式轉換法，那么用真值表技術又如何求解主范式呢？如何用極小項來構成主析取范式？

PQm0m1

m2m3P→Q備注0010001010100110001001100011m1必須包含在主析取范式中m0必須包含在主析取范式中m3必須包含在主析取范式中m2一定不能包含在主析取范式中主析取范式中必須且只能包含使得公式真值為真的那些解釋對應的極小項。如何用極大項來構成主合取范式？PQM0M1M2M3PQ備注0001111011011010110101111101M1必須包含在主合取范式中M2必須包含在主合取范式中M0一定不能包含在主合取范式中M3一定不能包含在主合取范式中主合取范式中必須且只能包含使得公式真值為假的那些解釋對應的極大項。例3.5.3求公式G=(Ｐ→Ｑ)Ｒ的主析取范式和主合取范式。解：首先列出其真值表：PQRP→Q(P→Q)R00010001110101001111100011010011010111111)、求公式的主析取范式PQR(P→Q)R00000011010001111001101011001111P∧Ｑ∧ＲP∧Ｑ∧ＲP∧Ｑ∧ＲP∧Ｑ∧Ｒ00001000000001000010000000000001將極小項全部進行析取后，可得到相應的主析取范式：G=(Ｐ→Ｑ)Ｒ=(┐P∧┐Ｑ∧Ｒ)∨(┐P∧Ｑ∧Ｒ)∨ (Ｐ∧┐Ｑ∧┐Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)2)、求公式的主合取范式PQR(P→Q)R00000011010001111001101011001111P∨Ｑ∨ＲP∨Ｑ∨ＲP∨Ｑ∨ＲP∨Ｑ∨Ｒ0