第3章2綜合指標(biāo)-2平均指標(biāo)和變異指標(biāo)(6)2

（一）算術(shù)平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)（三）幾何平均數(shù)（四）眾數(shù)（五）中位數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)三、平均指標(biāo)的計(jì)算1、眾數(shù)的特點(diǎn)將數(shù)據(jù)排序后,出現(xiàn)次數(shù)最多或有明顯集中趨勢(shì)的變量值是眾數(shù)用來(lái)說(shuō)明總體中大多數(shù)單位所達(dá)到的一般水平用Mo

表示不受極端數(shù)值的影響可用于數(shù)量型或品質(zhì)型數(shù)據(jù)眾數(shù)可能不存在可能有多個(gè)眾數(shù)

比如在服裝行業(yè)中，生產(chǎn)商、批發(fā)商和零售商在做有關(guān)生產(chǎn)或存貨的決策時(shí)，更感興趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。

眾數(shù)的應(yīng)用單項(xiàng)式變量數(shù)列的眾數(shù)組距式變量數(shù)列的眾數(shù)眾數(shù)的不唯一性2、眾數(shù)的確定01234567891011121314

Mode=90123456當(dāng)數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢(shì)，且有顯著的極端值時(shí)，適合使用眾數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)不明顯或存在兩個(gè)以上分布中心時(shí)，不適合使用眾數(shù)（前者無(wú)眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒(méi)有眾數(shù)）。出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200413名學(xué)生出生時(shí)間分布直方圖沒(méi)有突出地集中在某個(gè)年份192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學(xué)生的身高分布直方圖出現(xiàn)了兩個(gè)明顯的分布中心日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800【例】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。A.單項(xiàng)式變量數(shù)列的眾數(shù)B.組距式變量數(shù)列的眾數(shù)1.確定眾數(shù)所在的組

2.計(jì)算公式【例2】某車(chē)間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）200以下

200～400400～600600以上37328合計(jì)50計(jì)算該車(chē)間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)。組距=200表某車(chē)間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）105～110110～115115～120120～125125～130130～135135～140358141064合計(jì)50【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)（一）算術(shù)平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)（三）幾何平均數(shù)（四）眾數(shù)（五）中位數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)三、平均指標(biāo)的計(jì)算

將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，指處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值在總體標(biāo)志值差異很大時(shí)，具有較強(qiáng)的代表性重要的中心位置度量，用Me表示不易受極端值的影響,中位數(shù)將所有數(shù)據(jù)分為兩半，一半比中位數(shù)小，另一半比中位數(shù)大

1、中位數(shù)的概念Me50%50%0123456789100123456789101214

平均數(shù)=5平均數(shù)=60123456789100123456789101214

中位數(shù)=5中位數(shù)=5未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)單項(xiàng)式變量數(shù)列的中位數(shù)組距式變量數(shù)列的中位數(shù)2、中位數(shù)的確定最小值中位數(shù)=7最大值最小值中位數(shù)=（7+8）/2=7.5最大值A(chǔ).未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)中位數(shù)的位次為：即第3個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)【例1】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷(xiāo)售額為440元、600元、480元、750元、520元，則中位數(shù)=?排序：440元、480元、520元、600元、750元中位數(shù)的位次為：中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個(gè)單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即【例2】若上述售貨小組為6個(gè)人，某天的銷(xiāo)售額為480元、440元、750元、520元、600元、760元，則中位數(shù)=?排序：440元、480元、520元、600元、750元，760元【例3】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下，要求計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）10111213147010038015010070170550700800合計(jì)800—中位數(shù)的位次：B.單項(xiàng)式變量數(shù)列中位數(shù)的確定）

銷(xiāo)售額（百萬(wàn)元）商店數(shù)頻率（﹪）累計(jì)次數(shù)累計(jì)頻率（﹪）向上累計(jì)向下累計(jì)向上累計(jì)向下累計(jì)5以下

5～1010～1515～2020～2525以上410161343820322686414304347505046362073828608694100100927240146合計(jì)50100————

(1)確定中位數(shù)所在的組

(2)中位數(shù)的近似計(jì)算公式為：說(shuō)明：公式以數(shù)據(jù)在各組中均勻分布為假定條件，違背該假定，則誤差較大。C.組距式變量數(shù)列中位數(shù)的確定【例】某車(chē)間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250

合計(jì)50—計(jì)算該車(chē)間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)。組距=200表3-5某車(chē)間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）向下累計(jì)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~1403581410645047423420104合計(jì)50—【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)六、各種平均數(shù)的比較（一）各種平均數(shù)的特點(diǎn)及應(yīng)用場(chǎng)合

算術(shù)平均數(shù)是就全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，實(shí)際中應(yīng)用最為廣泛。其主要缺點(diǎn)是易受極端值的影響，對(duì)偏態(tài)分布其代表性較差。

調(diào)和平均數(shù)主要用于不能直接計(jì)算的數(shù)據(jù),易受極端值的影響。

幾何平均數(shù)主要用于計(jì)算比率數(shù)據(jù)的平均數(shù),易受極端值的影響。

眾數(shù)不受極端值的影響,對(duì)偏態(tài)分布其代表性較好，但不是根據(jù)所有的變量值計(jì)算的。

中位數(shù)不受極端值大小的影響，對(duì)偏態(tài)分布其代表性較好，但不是根據(jù)所有的變量值計(jì)算的。（二）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系對(duì)稱分布

算術(shù)平均數(shù)=中位數(shù)=

眾數(shù)左偏分布算術(shù)平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)

算術(shù)平均數(shù)運(yùn)用平均數(shù)應(yīng)該注意的問(wèn)題同質(zhì)總體用組平均數(shù)補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)用分配數(shù)列說(shuō)明總平均數(shù)例：如果你是一家制造業(yè)公司的供應(yīng)部門(mén)經(jīng)理，與兩家原材料供應(yīng)商聯(lián)系供貨，兩家供應(yīng)商均表示能在大約10個(gè)工作日內(nèi)供齊所需原材料。幾個(gè)月的運(yùn)轉(zhuǎn)之后，你發(fā)現(xiàn)盡管兩家供貨商供貨的平均時(shí)間都是大約10天，但他們供貨所需天數(shù)的分布情況卻是不同的（如下圖）。問(wèn):兩家供貨商按時(shí)供貨的可信度相同嗎？考慮它們直方圖的差異，你更愿意選擇哪家供貨商供貨呢？

第三章綜合指標(biāo)★第一節(jié)總量指標(biāo)第二節(jié)相對(duì)指標(biāo)第三節(jié)平均指標(biāo)第四節(jié)標(biāo)志變動(dòng)度一、離中趨勢(shì)的涵義二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及計(jì)算三、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差及方差

課程學(xué)生語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)總成績(jī)平均成績(jī)甲乙丙65609965659565701195195195656565單位：分某班三名同學(xué)三門(mén)課程的成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)比較三名同學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的差異。集中趨勢(shì)弱、離中趨勢(shì)強(qiáng)集中趨勢(shì)強(qiáng)、離中趨勢(shì)弱例：如果你是一家制造業(yè)公司的供應(yīng)部門(mén)經(jīng)理，與兩家原材料供應(yīng)商聯(lián)系供貨，兩家供應(yīng)商均表示能在大約10個(gè)工作日內(nèi)供齊所需原材料。幾個(gè)月的運(yùn)轉(zhuǎn)之后，你發(fā)現(xiàn)盡管兩家供貨商供貨的平均時(shí)間都是大約10天，但他們供貨所需天數(shù)的分布情況卻是不同的（如下圖）。問(wèn):兩家供貨商按時(shí)供貨的可信度相同嗎？考慮它們直方圖的差異，你更愿意選擇哪家供貨商供貨呢？指總體中各單位標(biāo)志值背離分布中心的規(guī)?；虺潭?，用標(biāo)志變異指標(biāo)來(lái)反映。一、離中趨勢(shì)的涵義變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動(dòng)度：綜合反映總體各個(gè)單位標(biāo)志值的差異程度或離散程度以平均指標(biāo)為基礎(chǔ)，結(jié)合運(yùn)用變異指標(biāo)是統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)重要方法說(shuō)明平均指標(biāo)的代表性程度測(cè)定社會(huì)生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過(guò)程的均勻性或協(xié)調(diào)性以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性程度變異指標(biāo)的概念一、離中趨勢(shì)的涵義二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及計(jì)算三、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差及方差測(cè)定標(biāo)志變異度的絕對(duì)量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測(cè)定標(biāo)志變異度的相對(duì)量指標(biāo)（表現(xiàn)為無(wú)名數(shù)）全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及計(jì)算方差（一）全距【例A】某售貨小組5人某天的銷(xiāo)售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則全距的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):計(jì)算方法簡(jiǎn)單、易懂；缺點(diǎn):易受極端數(shù)值的影響不能全面反映所有標(biāo)志值差異大小及分布狀況準(zhǔn)確程度差平均差A(yù).D.是各單位標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)反映各標(biāo)志值對(duì)其平均數(shù)的平均差異程度簡(jiǎn)單式加權(quán)式（二）平均差1、平均差

——簡(jiǎn)單式,未分組資料總體算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值【例】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷(xiāo)售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷(xiāo)售額的平均差。解：即該售貨小組5個(gè)人銷(xiāo)售額的平均差為93.6元。2、平均差

——加權(quán)式,分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值3、平均差的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)不易受極端數(shù)值的影響能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度缺點(diǎn)用絕對(duì)值的形式不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算如果把絕對(duì)值符號(hào)換成括號(hào)會(huì)發(fā)生什么?為什么?一般情況下都是通過(guò)計(jì)算另一種標(biāo)志變異指標(biāo)——標(biāo)準(zhǔn)差，來(lái)反映總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值的差異狀況⑴方差——簡(jiǎn)單式，未分組資料1.定義：是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)，用來(lái)表示。2.計(jì)算公式：總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)（三）方差⑵方差——加權(quán)，分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值⑴簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差——未分組資料1.定義：是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開(kāi)平方根，用來(lái)表示；回顧：標(biāo)準(zhǔn)差的平方是方差，用來(lái)表示。2.計(jì)算公式：總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)（四）標(biāo)準(zhǔn)差⑵加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差——分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值【例】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷(xiāo)售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷(xiāo)售額的標(biāo)準(zhǔn)差。解：（比較：其銷(xiāo)售額的平均差為93.6元）即該售貨小組銷(xiāo)售額的標(biāo)準(zhǔn)差為109.62元。按零件數(shù)分組組中值(Xi)頻數(shù)(fi)xf105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5

358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合計(jì)—

506160.0—

3100.50【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算工人日加工零件數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算欄計(jì)算欄3.標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)不易受極端數(shù)值的影響能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問(wèn)題可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算4.標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)捷計(jì)算避免離差平方和在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)目的:X平方的均值X均值的平方5.標(biāo)準(zhǔn)差的比較Mean=15.5

s=3.338

11121314151617181920211112131415161718192021DataBDataAMean=15.5s=0.92581112131415161718192021Mean=15.5s=4.57DataCMean=15.5測(cè)定標(biāo)志變異度的絕對(duì)量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測(cè)定標(biāo)志變異度的相對(duì)量指標(biāo)（表現(xiàn)為無(wú)名數(shù)）全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)標(biāo)志變異指標(biāo)的種類方差可比變異系數(shù)指標(biāo)變異系數(shù)是以相對(duì)數(shù)形式表示的變異指標(biāo)變異系數(shù)是通過(guò)變異指標(biāo)中的全距、平均差或標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)對(duì)比得到的常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，計(jì)算方法如下：

（五）變異系數(shù)對(duì)比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數(shù)代表性的大?。簶?biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小的總體，其平均數(shù)的代表性大；反之，亦然?！纠磕衬昙?jí)一、二兩班某門(mén)課的平均成績(jī)分別為82分和76分，其成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為15.6分和14.8分，比較兩班平均成績(jī)代表性的大小解：一班成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：二班成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：因?yàn)?，所以一班平均成?jī)的代表性比二班好。1.甲、乙兩單位職工人數(shù)及工資資料如下：甲單位的職工平均工資為1700元，標(biāo)準(zhǔn)差為110元；乙單位資料如下表所