2017-2018版高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.4.2微積分基本定理（二）學案2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．4.2微積分基本定理(二)明目標、知重點會應用定積分求兩條或多條曲線圍成的圖形的面積．1．曲邊梯形的面積(1）當x∈[a，b]時，若f(x)〉0，由直線x＝a,x＝b（a≠b），y＝0和曲線y＝f（x）所圍成的曲邊梯形的面積S＝?eq\o\al（b,a)f（x)dx.（2）當x∈［a，b］時，若f（x)<0，由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f（x）圍成的曲邊梯形的面積S＝－?eq\o\al(b，a)f（x）dx。2．兩函數(shù)圖象圍成圖形的面積當x∈［a,b］時，若f（x）>g(x）〉0,由直線x＝a，x＝b（a≠b)和曲線y＝f(x),y＝g（x)圍成的平面圖形的面積S＝?eq\o\al(b，a)［f（x）－g（x)]dx。(如圖)探究點一求不分割型圖形的面積思考怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？答求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形,確定積分上下限,用定積分來表示面積，然后計算定積分即可．例1求由曲線y＝x2,直線y＝2x和y＝x圍成的圖形的面積．解方法一如圖，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝x）)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，，y＝2x））解出O，A，B三點的橫坐標分別是0，1,2.故所求的面積S＝eq\i\in(0,1,）（2x－x）dx＋eq\i\in（1,2,）（2x－x2）dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f（x2,2）))eq\o\al（1，0)＋eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x2－\f(x3，3)))）)eq\o\al(2，1)＝eq\f(1，2）－0＋(4－eq\f（8,3))－(1－eq\f（1,3）)＝eq\f（7,6）.方法二由于點D的橫坐標也是2，故S＝eq\i\in(0，2,）（2x－x)dx－eq\i\in(1，2,）(x2－x）dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f(x2，2）））eq\o\al（2，0）－eq\b\lc\\rc\|（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－\f(x2,2)))）)eq\o\al（2,1）＝2－(eq\f（8，3）－2)＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,2））＝eq\f(7，6)。方法三因為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,4)y2）)′＝eq\f(y,2),eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2,3）y\f（3，2）－\f(y2，4）））′＝eq\r(y)－eq\f（y，2)，故所求的面積為S＝eq\i\in(0,1,)(y－eq\f(y，2）)dy＋eq\i\in（1,4,）(eq\r（y)－eq\f（y,2)）dy＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y2）)eq\o\al（1，0)＋eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）y\f(3，2）－\f（y2，4)））））eq\o\al（4,1）＝eq\f（1,4）＋(eq\f(2，3）×8－eq\f（1,4)×16）－(eq\f(2，3)－eq\f（1，4)）＝eq\f(7，6).反思與感悟求由曲線圍成圖形面積的一般步驟：（1)根據(jù)題意畫出圖形;(2)找出范圍,確定積分上、下限；(3）確定被積函數(shù)；(4)將面積用定積分表示；(5）用微積分基本定理計算定積分，求出結果．跟蹤訓練1求由拋物線y＝x2－4與直線y＝－x＋2所圍成圖形的面積．解由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x2－4,y＝－x＋2））得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝5））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2,y＝0)），所以直線y＝－x＋2與拋物線y＝x2－4的交點為（－3,5）和(2,0），設所求圖形面積為S，根據(jù)圖形可得S＝?eq\o\al（2，－3)(－x＋2)dx－?eq\o\al(2，－3）（x2－4）dx＝(2x－eq\f(1，2）x2）｜eq\o\al(2,－3)－(eq\f（1,3)x3－4x）|eq\o\al（2,－3)＝eq\f(25,2）－(－eq\f（25,3）)＝eq\f（125,6)。探究點二分割型圖形面積的求解思考由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復雜的圖形，在不同的區(qū)間位于上方和下方的曲線不同時，這種圖形的面積如何求？答求出曲線的不同的交點橫坐標，將積分區(qū)間細化，分別求出相應區(qū)間曲邊梯形的面積再求和，注意在每個區(qū)間上被積函數(shù)均是由上減下．例2計算由直線y＝x－4,曲線y＝eq\r(2x）以及x軸所圍圖形的面積S。解方法一作出直線y＝x－4,曲線y＝eq\r（2x)的草圖．解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\r（2x)，,y＝x－4))得直線y＝x－4與曲線y＝eq\r（2x)交點的坐標為(8，4)．直線y＝x－4與x軸的交點為(4，0)．因此，所求圖形的面積為S＝S1＋S2＝?eq\o\al(4，0)eq\r（2x）dx＋eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（?\o\al(8，4）\r（2x)dx－?\o\al(8,4)x－4dx)）＝eq\f(2\r(2)，3）x｜eq\o\al（4，0)＋eq\f(2\r(2），3）xeq\f（3，2)｜eq\o\al（8,4)－eq\f(1,2）（x－4)2｜eq\o\al（8，4）＝eq\f(40，3）。方法二把y看成積分變量，則S＝?eq\o\al（4,0)（y＋4－eq\f（1，2)y2)dy＝(eq\f（1,2）y2＋4y－eq\f（1,6）y3）｜eq\o\al(4,0)＝eq\f（40,3)。反思與感悟兩條或兩條以上的曲線圍成的圖形，一定要確定圖形范圍，通過解方程組求出交點的坐標,定出積分上、下限,若積分變量選x運算較繁鎖，則積分變量可選y，同時要更換積分上、下限．跟蹤訓練2求由曲線y＝eq\r（x），y＝2－x，y＝－eq\f（1，3)x所圍成圖形的面積．解畫出圖形,如圖所示．解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝\r（x），，x＋y＝2，)）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x）,,y＝－\f(1,3）x,))及eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝2，，y＝－\f(1,3）x,）)得交點分別為（1,1)，（0,0)，(3，－1)，所以S＝?eq\o\al(1，0)［eq\r（x)－（－eq\f（1,3）x）]dx＋?eq\o\al(3，1）[（2－x)－(－eq\f(1，3）x)]dx＝?eq\o\al（1，0）(eq\r（x)＋eq\f(1，3)x）dx＋?eq\o\al(3，1)(2－x＋eq\f(1,3)x）dx＝（＋eq\f（1,6)x2)｜eq\o\al(1,0)＋(2x－eq\f（1,2)x2＋eq\f(1，6)x2)｜eq\o\al(3,1）＝eq\f(2，3)＋eq\f(1,6）＋（2x－eq\f（1，3)x2)|eq\o\al(3,1)＝eq\f(5，6）＋6－eq\f(1，3）×9－2＋eq\f（1,3)＝eq\f（13，6）.探究點三定積分的綜合應用例3在曲線y＝x2（x≥0）上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為eq\f（1，12）,試求:切點A的坐標以及在切點A處的切線方程．解如圖,設切點A(x0,y0)，其中x0≠0，由y′＝2x，過點A的切線方程為y－y0＝2x0(x－x0），即y＝2x0x－xeq\o\al（2,0)，令y＝0，得x＝eq\f（x0,2)，即C（eq\f(x0，2），0)，設由曲線和過點A的切線與x軸圍成圖形的面積為S，則S＝S曲邊△AOB－S△ABC,∵S曲邊△AOB＝S△ABC＝eq\f(1,2)|BC|·|AB｜＝eq\f（1,2）(x0－eq\f（x0,2））·xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al（3，0）.∴S＝eq\f（1,3)xeq\o\al(3,0)－eq\f(1,4）xeq\o\al（3，0）＝eq\f（1，12）xeq\o\al（3，0）＝eq\f(1，12）.∴x0＝1，從而切點為A（1，1），切線方程為2x－y－1＝0。反思與感悟本題綜合考查了導數(shù)的意義以及定積分等知識,運用待定系數(shù)法，先設出切點的坐標,利用導數(shù)的幾何意義，建立了切線方程，然后利用定積分以及平面幾何的性質求出所圍成的平面圖形的面積，根據(jù)條件建立方程求解，從而使問題得以解決．跟蹤訓練3如圖所示，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值．解拋物線y＝x－x2與x軸兩交點的橫坐標為x1＝0，x2＝1，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積S＝?eq\o\al(1,0）(x－x2）dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x2,2）－\f（1,3）x3）)|eq\o\al（1,0）＝eq\f（1,6).又eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x－x2，,y＝kx,）)由此可得，拋物線y＝x－x2與y＝kx兩交點的橫坐標為x3＝0，x4＝1－k，所以,eq\f(S，2)＝?eq\o\al（1－k，0）（x－x2－kx）dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1－k，2）x2－\f（1，3)x3））｜eq\o\al(1－k，0）＝eq\f(1,6）(1－k）3。又知S＝eq\f（1,6）,所以（1－k）3＝eq\f(1，2），于是k＝1－eq\r（3，\f（1,2）)＝1－eq\f(\r(3,4),2）.1．在下面所給圖形的面積S及相應表達式中,正確的有（)S＝?eq\o\al（a，b）［f(x）－g(x)］dxS＝?eq\o\al(8,0）(2eq\r(2x）－2x＋8)dx①②S＝?eq\o\al（4，1）f（x）dx－?eq\o\al（7，4)f(x）dxeqS＝?\o\al(a,0)［gx－fx]dx＋?\o\al（b，a)[fx－gx］dx③④A．①③ B．②③C．①④ D．③④答案D解析①應是S＝?eq\o\al(b，a)［f(x)－g（x)］dx，②應是S＝?eq\o\al(8,0)2eq\r（2x）dx－?eq\o\al(8,4）（2x－8）dx，③和④正確，故選D.2．曲線y＝cosx(0≤x≤eq\f(3，2)π）與坐標軸所圍圖形的面積是(）A．2 B．3C.eq\f(5，2) D．4答案B解析＝sineq\f(π,2）－sin0－sineq\f(3π，2）＋sineq\f（π，2)＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲線y＝x2與直線y＝2x所圍成的平面圖形的面積為________．答案eq\f(4,3）解析解方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2x,,y＝x2，）)得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0，，y＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,,y＝4.））∴曲線y＝x2與直線y＝2x交點為(2,4），（0，0）．∴S＝?eq\o\al（2,0）（2x－x2）dx＝（x2－eq\f（1，3）x3）｜eq\o\al（2,0)＝(4－eq\f（8,3))－0＝eq\f(4,3).4．由曲線y＝x2＋4與直線y＝5x，x＝0,x＝4所圍成平面圖形的面積是________．答案eq\f（19,3）解析由圖形可得S＝?eq\o\al(1，0）(x2＋4－5x）dx＋?eq\o\al（4，1）(5x－x2－4)dx＝(eq\f(1，3)x3＋4x－eq\f(5,2）x2)｜eq\o\al(1,0）＋(eq\f（5,2）x2－eq\f（1，3)x3－4x)|eq\o\al(4,1)＝eq\f（1,3)＋4－eq\f（5,2）＋eq\f（5，2）×42－eq\f(1，3）×43－4×4－eq