2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步4.1空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識4.2空間圖形的公理(一)學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4．1空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識4．2空間圖形的公理(一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1。通過長方體這一常見的空間圖形,體會點、直線、平面之間的位置關(guān)系.2.會用符號表達(dá)點、線、面的位置關(guān)系.3.掌握空間圖形的三個公理及其推論．知識點一空間圖形的基本位置關(guān)系對于長方體有12條棱和6個面．思考112條棱中，棱與棱有幾種位置關(guān)系？思考2棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系？思考3六個面之間有哪幾種位置關(guān)系．梳理位置關(guān)系圖形表示符號表示點與直線的位置關(guān)系點A在直線a外A?a點B在直線a上B∈a點與平面的位置關(guān)系點A在平面α內(nèi)A∈α點B在平面α外B?α直線與直線的位置關(guān)系平行a∥b相交異面a與b異面直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)線面相交線面平行平面與平面的位置關(guān)系面面平行面面相交異面直線不同在____________________的兩條直線，叫作異面直線知識點二空間圖形的公理思考1照相機支架只有三個腳支撐說明什么?思考2一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？思考3教室的墻面與地面有公共點，這些公共點有什么規(guī)律？梳理（1)空間圖形的公理公理內(nèi)容圖形符號作用公理1如果一條直線上的______在一個平面內(nèi)，那么這條直線上__________都在這個平面內(nèi)(即直線在______內(nèi))________，________，且______，________?lα用來證明直線在平面內(nèi)公理2過______________________的三點，有且只有一個平面（即可以確定一個平面）A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α用來確定一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條__________________________,________?α∩β＝l,且P∈l用來證明空間的點共線和線共點(2）公理2的推論推論1：一條直線和直線外一點確定一個平面（圖①)．推論2：兩條相交直線確定一個平面(圖②）．推論3：兩條平行直線確定一個平面（圖③）．類型一文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化例1根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系．（1）點P與直線AB；(2）點C與直線AB;(3）點M與平面AC；(4)點A1與平面AC;（5）直線AB與直線BC；（6）直線AB與平面AC;（7）平面A1B與平面AC。反思與感悟（1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．（2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1用符號語言表示下列語句,并畫成圖形．(1)直線l經(jīng)過平面α內(nèi)兩點A,B;(2)直線l在平面α外，且過平面α內(nèi)一點P;(3）直線l既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi)；(4)直線l是平面α與β的交線，平面α內(nèi)有一條直線m與l平行．類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用eq\x(命題角度1點線共面問題)例2如圖，已知：aα，bα,a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQα。引申探究將本例中的兩條平行線改為三條,即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)．反思與感悟在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明:（1）納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)．（2）重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合．跟蹤訓(xùn)練2已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C。求證：直線l1，l2,l3在同一平面內(nèi)．eq\x(命題角度2點共線、線共點問題）例3如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點,F為AA1的中點．求證：CE、D1F，DA三線交于一點．反思與感悟(1）點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性,通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線,證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R,如圖所示,求證：P,Q,R三點共線．1。用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是(）A.A∈l，l?α B。A∈l，lαC。Al，l?α D.Al，lα2．滿足下列條件，平面α∩平面β＝AB，直線aα，直線bβ且a∥AB,b∥AB的圖形是()3．下列推理錯誤的是()A．A∈l，A∈α，B∈l,B∈α?lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.lα，A∈l?A?αD．A,B，C∈α,A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α與β重合4．如圖，α∩β＝l，A,B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A,B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M5．如圖，在△ABC中,若AB,BC在平面α內(nèi)，判斷AC是否在平面α內(nèi)．1．解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān),即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義,恰當(dāng)?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言．文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候,要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時,要注意線的實虛．2．在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想．答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1相交，平行，既不平行也不相交．思考2棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交．思考3平行和相交．梳理a∩b＝Oaαa∩α＝Aa∥αα∥βα∩β＝a任何一個平面內(nèi)知識點二思考1不在同一直線上的三點確定一個平面．思考2直尺在桌面上．思考3這些公共點在同一直線上．梳理(1)兩點所有的點平面A∈lB∈lA∈αB∈α不在一條直線上通過這個點的公共直線P∈αP∈β題型探究例1解(1）點P∈直線AB。（2)點C?直線AB。(3)點M∈平面AC。(4)點A1?平面AC。(5）直線AB∩直線BC＝點B。（6）直線AB平面AC。(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB。跟蹤訓(xùn)練1解（1)A∈α,B∈α，A∈l，B∈l，如圖．(2）lα,P∈l，P∈α.如圖（3)lα，lβ.如圖．（4）α∩β＝l,mα，m∥l.如圖．例2證明因為PQ∥a，所以PQ與a確定一個平面β，所以直線aβ，點P∈β.因為P∈b,bα,所以P∈α.又因為aα，所以α與β重合，所以PQα。引申探究解已知:a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c和l共面．證明：如圖,∵a∥b，∴a與b確定一個平面α.∵l∩a＝A,l∩b＝B，∴A∈α，B∈α。又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)α?！遙∥c，∴b與c確定一個平面β，同理lβ.∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推論知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，∴平面α與平面β重合,∴a，b，c和l共面．跟蹤訓(xùn)練2證明方法一(納入平面法）∵l1∩l2＝A,∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α?！遧2∩l3＝B，∴B∈l2。又∵l2α,∴B∈α.同理可證C∈α?！連∈l3,C∈l3，∴l(xiāng)3α.∴直線l1，l2,l3在同一平面內(nèi)．方法二(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α。∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2,l3確定一個平面β?！逜∈l2，l2α，∴A∈α?！逜∈l2,l2β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β,C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1，l2,l3在同一平面內(nèi)．例3證明如圖，連接EF，D1C，A1B.∵E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又∵A1B綊D1C，∴EF綊eq\f(1,2)D1C，∴E，F(xiàn)，D1，C四點共面，∴D1F與CE相交，設(shè)交點為P.又∵D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據(jù)公理3，可得P∈DA,即CE、D1F、DA相交于一點．跟蹤訓(xùn)練3證明方法一∵AB∩α＝P,∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC?！嘤晒?可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點共線．方法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR。又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R,∴平面APR∩平面α＝PR?！連∈平面APR，C∈平面APR，∴B