第6章多元函數(shù)微積分

第6章多元函數(shù)微積分6.1空間解析幾何簡(jiǎn)介.6.2多元函數(shù)微分學(xué).6.3多元函數(shù)積分學(xué).1主要內(nèi)容：一.空間直角坐標(biāo)系.二.向量的基本概念及其運(yùn)算.三.平面與直線的方程.四.曲面方程的概念和常用曲面的方程.五.空間曲線及其在坐標(biāo)面上的投影.6.1空間解析幾何簡(jiǎn)介2O過(guò)空間一個(gè)定點(diǎn)O，

y軸(縱軸)

z軸(豎軸)(坐標(biāo))原點(diǎn)

x軸(橫軸)

x

1

y

1

z

1拇指方向四指轉(zhuǎn)向右手規(guī)則作三條互相垂直的軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位．它們的正向通常符合右手規(guī)則.這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系．一、空間直角坐標(biāo)系3三條坐標(biāo)軸中的任意兩條都可以確定一個(gè)平面，坐標(biāo)面：這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面．x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy面，另兩個(gè)坐標(biāo)面是yOz面、zOx面.面面面4O

z

y

x

第一卦限卦限：三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分叫做一個(gè)卦限．5O

z

y

x

第二卦限卦限：6第三卦限O

z

y

x

卦限：7O

z

y

x

第四卦限卦限：8O

z

y

x

第五卦限卦限：9O

z

y

x

第六卦限卦限：10O

z

y

x

第七卦限卦限：11O

z

y

x

第八卦限卦限：12二、空間一點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)M為空間一已知點(diǎn)．O

x

y

zPRx

z

yMQ過(guò)點(diǎn)M作三個(gè)平面分別垂直于

x軸y

軸和z

軸，三個(gè)平面在

x軸、y軸和z

軸的交點(diǎn)依次為P、Q、R，在x

軸、y

軸和

z軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z，我們稱這組數(shù)為點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把x、y、z分別稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)．坐標(biāo)為x、y、z

的點(diǎn)M

記為M(x，y，z)．13三、空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)為空間兩點(diǎn),在直角及直角中,由勾股定理有:求14特殊地：若兩點(diǎn)分別為所以之間的距離為15

解由距離公式，得

例1

求之間的距離16向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．在數(shù)學(xué)上，用一條有方向的線段(稱為有向線段)來(lái)表示向量．有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．Fvvvvv例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量．三、向量的基本概念及其運(yùn)算

1.向量的基本概念17以M1為起點(diǎn)、M2為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量，記作向量的符號(hào)：向量可用粗體字母表示，也可用上加箭頭書寫體字母表示，例如，b，i，j，k，F(xiàn)，

Ox

yzM1M218向量的模：?jiǎn)挝幌蛄浚耗５扔?的向量叫做零向量，記作0．零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，它的方向可以看作是任意的．模等于1的向量叫做單位向量．零向量：向量的大小叫做向量的模．19由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量，并稱這種向量為自由向量，簡(jiǎn)稱向量．自由向量：如果向量a和b的模相等，又互相平行,且指向相同,則說(shuō)向量a和b是相等的，記為a

b．相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合．20向量平行：零向量認(rèn)為是與任何向量都平行．兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反，就稱這兩個(gè)向量平行．向量a與b平行，記作a//b．212．向量的運(yùn)算

(1).向量的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度為已知,則向量22再以B為的和，記作a

b

，即cab

．設(shè)有兩個(gè)向量a與b，任取一點(diǎn)A，作a

，起點(diǎn)，作=

b，那么向量c

稱為向量a

與b連接AC，bacaABbC這種作出兩向量之和的方法叫三角形法則．(2).向量的加法,減法和數(shù)與向量的乘法23平行四邊形法則：AD為邊作一平行四邊形ABCD，以AB、C

連接對(duì)角線AC，當(dāng)向量a

與b

不平行時(shí)，作a

，b，那么向量等于向量a

與b

的和a

b．bacaABbD24向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：(2)結(jié)合律(a

b)

c

a

(b

c)．(1)交換律a

b

b

a；由向量加法的交換律與結(jié)合律，可知任意多個(gè)向量加法的法則：以前一向量的終點(diǎn)作為后一向量的起點(diǎn)，相繼作向量，再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量，25負(fù)向量：向量的減法：設(shè)a為一向量，與a的模相同而方向相反的向量叫做a的曲面向量，記為

a

．我們規(guī)定兩個(gè)向量b與a的差為b

a

b

(a)．即把向量a加到向量b上，便得b與a的差b

a．a(chǎn)-aa-ab-abbabaa26它的方向當(dāng)>0時(shí)與a相同，當(dāng)0時(shí)，|a|0，即a為零向量，特別地，當(dāng)1時(shí)，有1a

a，(1)a

a．當(dāng)<0時(shí)與a相反．向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作a，向量與數(shù)的乘法：規(guī)定a是一個(gè)向量，它的模|a||||a|，27軸的正方向的單位向量，—稱為基本單位向量設(shè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)為

的始點(diǎn)在原點(diǎn),(如圖),利用向量的加法可得,在中，而，又所以得(3)．向量的坐標(biāo)表示及其加法基本單位向量：以分別表示沿OXZYPQRM(x,y,z)28故上式稱為向量的坐標(biāo)表示式．由數(shù)與向量的乘積定義,得29利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行向量的加減和數(shù)乘：則{

a

x

b

x，a

y

b

y，a

z

b

z}．{

a

x

-

b

x，a

y

-b

y，a

z

-b

z}．{

a

x，a

y，a

z}．，30定義1(4)向量的數(shù)量積數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”.31注：證32數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）33定義注://向量積也稱為“叉積(5).兩向量的向量積

34向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）證:////（3）35設(shè)向量積的計(jì)算公式36如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．已知設(shè)平面上的任一點(diǎn)為必有四.平面與直線的方程

1.平面的方程37平面的點(diǎn)法式方程

平面上的點(diǎn)都滿足上面的方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上面的方程．其中法向量已知點(diǎn)上面的方程稱為平面的方程,平面稱為方程的圖形．38定義:空間直線可看成兩平面的交線．此方程組空間直線的一般方程2.直線的方程（1）空間直線的一般方程39方向向量的定義：如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量.（2）空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程40直線的對(duì)稱式方程令直線的參數(shù)方程得41解所以交點(diǎn)為取所求直線方程求其方程例142五.曲面方程的概念和常用曲面的方程

1,曲面方程的概念曲面方程的定義：(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程；(1)曲面Ｓ上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；那么，方程就叫做曲面的方程，Ｓ而曲面Ｓ就叫做方程的圖形432，常用的曲面方程1，坐標(biāo)面的方程坐標(biāo)面是由坐標(biāo)軸所確定的平面．以坐標(biāo)面為例在該平面上任取一點(diǎn),它的坐標(biāo)為0,即；反過(guò)來(lái),滿足方程的任一組解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在坐標(biāo)面上，所以坐標(biāo)面的方程為面的方程為同樣可以得到:坐標(biāo)面的方程為坐標(biāo)44方程是過(guò)點(diǎn)且平行于坐標(biāo)面的平面方程類似地，２，球心在點(diǎn)、半徑為的球面的方程．

45解根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為面方程例146定義:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.定曲線Ｃ叫柱面的準(zhǔn)線動(dòng)直線Ｌ叫柱面的母線３，柱面的方程47柱面舉例拋物柱面平面48柱面的特征：（其他類推）角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，

其準(zhǔn)線為xoy面上的曲線C橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面49六.空間曲線及其在坐標(biāo)面上的投影空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.----空間曲線的一般方程特點(diǎn)：曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上,不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程1.空間曲線的一般方程50例1方程組表示怎樣的曲線?解表示圓柱面，表示平面，表示橢圓.所以51例2

方程組表示怎樣的曲線?解表示上半球面,表示圓柱面,它們的交線如圖.52-------空間曲線的參數(shù)方程2.空間曲線的參數(shù)方程53經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)

螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，解例３54設(shè)空間曲線的一般方程：空間曲線在面上的投影曲線3.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影55類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線,面上的投影曲線,56截線方程為解的截線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線方程.