第五講：直線與平面及平面與平面的相對位置關(guān)系(相交),點、直線和平面的綜合題

點、直線、平面綜合問題距離問題——作垂直、求實長(度量)相對位置關(guān)系(定位)角度問題(度量)直線與平面、平面與平面的相對位置——相交（含垂直）2/4/20231M平面與平面相交兩平面相交，其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：判別可見性。求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題。ABCFKNL2/4/20232可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefcfdbeam(n)平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●如何判別？例1：求兩平面的交線MN，并判別可見性。還可通過重影點判別可見性。還有何辦法判別？步驟：１．空間及投影分析２．作圖XO2/4/20233bcfhaeabcefh1(2)平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點m

、bc與fh的交點n即為兩個共有點的正面投影，故mn即交線MN的正面投影。①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，在上方，點Ⅱ在BC上，在下方，故fh可見，n2不可見。m●●n●2●n●m●1●例2：求兩平面的交線MN，并判別可見性。步驟：１．空間及投影分析２．作圖XO2/4/20234兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。求兩平面的交線llnmmnPVQV1221kke’e2．連接兩個共有點，畫出交線KE。XO2/4/20235直線與平面垂直的幾何條件：

若一直線垂直于平面內(nèi)的任意兩條相交直線，則直線與平面互相垂直。垂直--直線與平面垂直;

平面與平面垂直2/4/20236定理1若一直線垂直于一平面，則該直線的水平投影必垂直于該平面的水平線的水平投影；其正面投影必垂直于該平面的正平線的正面投影。knknXO2/4/20237定理2（逆）若一直線的水平投影垂直于一平面水平線的水平投影；其正面投影垂直于該平面正平線的正面投影，則該直線必垂直于該平面。XO2/4/20238例3：平面由BDF給定，試過定點K作平面的法線。acacnnXO2/4/20239h例4：試過定點K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）2/4/202310例5：平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。efef不垂直XO2/4/202311兩平面垂直的幾何條件若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD2/4/202312反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。兩平面垂直兩平面不垂直2/4/202313g例6平面由BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面。hacachg2/4/202314例題試判斷ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。ffdd結(jié)論：因為AD直線不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。2/4/202315例題試過定點A作直線與已知直線EF正交。2/4/202316EQ分析——過已知點A作平面垂直于已知直線EF，并交于點K，連接AK，AK即為所求。FAK2/4/202317作圖21aefafe1221PV12kk2/4/202318距離問題基本問題：點到直線的距離點到平面的距離衍生問題:兩直線間距離(平行和交叉)

直線到平面的距離兩平面間的距離點、直線、平面綜合問題——2/4/202319根據(jù)要求求距離k’k距離的實長解題要點：1、作垂線;2、求垂足;3、連接線段,求實長.作圖結(jié)果要求：表示距離的線段的投影、實長都須作出。距離問題例：求圖中點A到平面CDE的距離。a’ac’d’e’cedXO2/4/202320根據(jù)要求求距離例：求點A到直線CD的距離。距離的實長k’k解題要點：1、作垂面;2、求垂足;3、求實長.距離問題a’ad’e’edOX2/4/202321求兩交叉直線的公垂線。a’bcdc’d’b’ak’l’kl解題要點：1.從空間理解概念;2.明確作圖思路.距離問題OX2/4/202322空間幾何元素之間相對位置關(guān)系例：經(jīng)過A點求作直線AB，使其與Q平面平行，且與直線CD相交。bb’QVQHaa’cdc’d’解題要點：1.求線先定面;2.明確平面的跡線表示.OX2/4/202323求角度直線的傾角－－用直角三角形法平面的傾角－－用最大斜度線兩直線的夾角－－求角所在平面實形直線與平面的夾角－－借助垂線兩平面的夾角－－作垂面2/4/202324求角度求直線AB與P平面的夾角。p’pa’b’abOX2/4/202325分析2/4/202326小結(jié)－－本講基本要求相交問題

1．熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和求兩個面的交線的作圖方法（其中一平面的投影具有積聚性）。

2．熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。

3．熟練掌握利用重影點判別投影可見性的方法。垂直問題

掌握線面垂直的投影特性及作圖方法。了解面面垂直的投影特性及作圖方法。2/4/202327例試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。OX2/4/202328分析過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH2/4/202329作圖mnhhnmPV11221．過點K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點H。3．連接KH，KH即為所求。OX2/4/202330例試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。OX2/4/2