高中數(shù)學北師大版第二章解析幾何初步 單元測試五圓與圓的方程

單元測試五圓與圓的方程班級____姓名____考號____分數(shù)____本試卷滿分100分，考試時間90分鐘．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．過點A(1,2)，且與兩坐標軸相切的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝1答案：A解析：由圖形易知滿足此條件的圓有兩個．2．兩圓x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置關系是()A．相離B．相交C．內(nèi)切D．外切答案：B解析：4－3<5<4＋3.3．過圓x2＋y2＝25上一點P(－4，－3)的圓的切線方程為()A．4x－3y－25＝0B．4x＋3y＋25＝0C．3x＋4y－25＝0D．3x－4y－25＝0答案：B解析：k＝eq\f(－3－0,－4－0)＝eq\f(3,4)，則切線的斜率為－eq\f(4,3)，且經(jīng)過(－4，－3)這一點，直線方程為4x＋3y＋25＝0.4．若圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關于直線2ax－by＋1＝0對稱，則a＋b等于()A．1B．－1\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案：C解析：∵圓心(－1,2)，∴－2a－2b＋1＝0，∴a＋b＝eq\f(1,2).5．以A(－1,2)，B(5，－6)為直徑兩端點的圓的標準方程是()A．(x－2)2＋(y＋2)2＝25B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝25C．(x－2)2＋(y－2)2＝25D．(x＋2)2＋(y－2)2＝25答案：A解析：A(－1,2)，B(5，－6)兩點連線的中點為圓心，其圓心坐標為(2，－2)，可知選A.6．若直線ax＋by－1＝0與圓x2＋y2＝1相切，則點P(a，b)的位置是()A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．以上皆有可能答案：A解析：∵直線與圓相切，∴eq\f(1,\r(a2＋b2))＝1，P(a，b)到圓心的距離d＝eq\r(a2＋b2)＝1，∴點P在圓上．7．圓心為A(1，－2)且與直線x－3y＋3＝0相切的圓的方程為()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝eq\r(10)B．(x－1)2＋(y＋2)2＝10C．(x＋1)2＋(y－2)2＝eq\r(10)D．(x＋1)2＋(y－2)2＝10答案：B解析：圓半徑r＝eq\f(|1＋6＋3|,|1＋9|)＝eq\r(10)，故圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝10.8．直線x＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長等于2eq\r(3)，則a的值等于()A．1或3\r(2)或－eq\r(2)\r(3)D．－1或3答案：A解析：由題意|a－2|2＋(eq\r(3))2＝22，解得a＝1或3.9．若直線－2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)始終平分圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0的周長，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．4B．2\f(1,4)\f(1,2)答案：A解析：由題意可知，直線過圓心得a＋b＝1.∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝4.10．直線y＝－x＋b與曲線y＝eq\r(4－x2)有且只有兩個公共點，則b的取值范圍是()A．2＜b＜2eq\r(2)B．2≤b＜2eq\r(2)C．2≤b≤2eq\r(2)D．2＜b≤2eq\r(2)答案：B解析：由圖可知，2≤b<2eq\r(2).二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填在題中橫線上．11．以點C(－3,4)為圓心，2eq\r(3)為半徑的圓的方程是________．答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝12.12．點P在圓x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點Q在圓x2＋y2＋4x＋2y＝4上，則|PQ|的最小值是________．答案：3eq\r(5)－6解析：P在圓x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圓心O1(4,2)，半徑為3.Q在圓x2＋y2＋4x＋2y＝4上，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，圓心O2(－2，－1)，半徑為3，∴|O1O2|＝eq\r([4－－2]2＋[2－－1]2)＝eq\r(36＋9)＝3eq\r(5).∴|PQ|min＝|O1O2|－R1－R2＝3eq\r(5)－6.13．直線mx＋ny＝1與圓x2＋y2＝4的交點為整點(橫縱坐標均為整數(shù)的點)，這樣的直線的條數(shù)是________條．答案：8解析：圓上的點為整點的有四個(±2,0)，(0，±2)，顯然直線mx＋ny＝1不能過原點．若直線與圓有兩個交點，則這樣的直線有4條；若直線與圓相切，則這樣的直線也有4條，故8條直線．三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．14．求過點A(1,6)和B(5,6)且與直線2x－3y＋16＝0相切的圓的方程．解：顯然圓心在線段AB的垂直平分線x＝3上設圓心為(3，b)，半徑為r，則(x－3)2＋(y－b)2＝r2，得(1－3)2＋(6－b)2＝r2，而r＝eq\f(|6－3b＋16|,\r(13))，∴b＝3，r＝eq\r(13)，∴(x－3)4＋(y－3)4＝13.15．已知圓C1：x2＋y2－10x－10y＝0，圓C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.(1)求圓C1與圓C2的公共弦所在的直線的方程；(2)求它們的公共弦長．解：(1)x2＋y2－10x－10y＝0，①；x2＋y2＋6x－2y－40＝0，②；②－①得：2x＋y－5＝0為公共弦所在直線的方程；(2)弦長的一半為eq\r(50－20)＝eq\r(30)，公共弦長為2eq\r(30).16．求以兩圓C1：x2＋y2＋2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x－5＝0的交點為直徑的圓的方程．解：設過C1、C2交點的圓的方程為：x2＋y2＋2x－3＋λ(x2＋y2－4x－5)＝0，整理即得圓心為(－eq\f(1－2λ,1＋λ)，0)．又∵兩圓公共弦為3x＋1＝0，圓心在公共弦上，∴－3×eq\f(1－2λ,1＋λ)＋1＝0，∴λ＝eq\f(2,7).∴所求圓的方程為9x2＋9y2＋6x－31＝0.即x2＋y2＋eq\f(2,3)x－eq\f(31,9)＝0.17．已知曲線C：x＝eq\r(4－y2)與直線y＝k(x－1)＋3只有一個交點，求實數(shù)k的取值范圍．解：曲線C的方程可化為x2＋y2＝4，x≥0，∴曲線C表示以(0,0)為圓心，2為半徑的圓的右半部分，直線過定點M(1,3)．如圖所示．由圖可得kAM＝1，kBM＝5，∴1≤k＜5.又eq\f(|－k＋3|,\r(1＋k2))＝2，化簡得3k2＋6k－5＝0，解得k＝－1±eq\f(2\r(6),3)(舍去正根)．綜上，實數(shù)k的取值范圍是1≤k＜5或k＝－1－eq\f(2\r(6),3).18．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線的方程；(2)從圓C外一點P(x1，y1)向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的點P的坐標．解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，圓心為(－1,2)，半徑為eq\r(2).當切線過原點時，設切線方程為y＝kx，則eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2).所以k＝2±eq\r(6)，即切線方程為y＝(2±eq\r(6))x.當切線不過原點時，設切線方程為x＋y＝a，則eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2).所以a＝－1或a＝3，即切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.所以切線方程為y＝(2＋eq\r(6))x或y＝(2－eq\r(6))x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)設P(x1，y1)．∵|P