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第八章 方差分析例如要比較好、中、差三類學(xué)校學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是否有顯著性差異,如果用上一章講過(guò)的t檢驗(yàn)方法來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn),就需要做3次配對(duì)檢驗(yàn),即分別對(duì)好與中、好與差、中與差學(xué)校之間差異的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。如果要檢驗(yàn)一至六年級(jí)認(rèn)知發(fā)展水平差異的顯著性,仍用t檢驗(yàn)方法,根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式,可算得將要做15種配對(duì)檢驗(yàn)。分析利弊用t檢驗(yàn)或Z檢驗(yàn)法檢驗(yàn)各組的差異時(shí),不僅麻煩,而且統(tǒng)計(jì)推斷的可靠度隨分組的組數(shù)增多而降低。如果做3次配對(duì)檢驗(yàn),每次檢驗(yàn)的可靠度定為0.95,做3次統(tǒng)計(jì)推斷總的可靠度則變?yōu)?.953=0.86,犯錯(cuò)誤的概率增加為0.14。如果進(jìn)行10次檢驗(yàn),做10次推斷總的可靠度則變?yōu)?.9510=0.60,犯錯(cuò)誤的概率變?yōu)?.40。因此,當(dāng)需要同時(shí)比較多組平均數(shù)時(shí),最好不用兩兩配對(duì)比較的方法,而應(yīng)采用其他方法。即本章介紹的方差分析方法從總體上使可靠度保持在0.95或0.99的水平。第一節(jié) 方差分析的基本原理一、方差分析的目的方差分析的目的就在于對(duì)多組平均數(shù)綜合性地進(jìn)行差異的顯著性檢驗(yàn)。例:從某小學(xué)一、三、五年級(jí)隨機(jī)抽取各4人,向其呈現(xiàn)一組詞匯,記錄其識(shí)記結(jié)果,并繪成圖形。學(xué)生可能的得分結(jié)果多種多樣,如下圖所示的兩種可能情況。二、方差分析的邏輯123456789101112
261366753234
得分學(xué)生編號(hào)一五三年級(jí)①組間差異:②組內(nèi)差異:8642小大可能性一108642123456789101112一三五
2343106981091110①組間差異:大②組內(nèi)差異:小得分可能性二結(jié)論通過(guò)對(duì)組間差異與組內(nèi)差異比值的分析,來(lái)推斷幾個(gè)相應(yīng)平均數(shù)差異的顯著性,這就是方差分析的邏輯。
三、以F檢驗(yàn)來(lái)推斷幾個(gè)平均數(shù)差異的顯著性
方差分析就是要進(jìn)行F檢驗(yàn)。如果組間與組內(nèi)方差相等或相近,F(xiàn)比值等于或接近1,就應(yīng)該保留零假設(shè),即認(rèn)為各組平均數(shù)無(wú)顯著性差異;如果F比值很大,超過(guò)了F抽樣分布上對(duì)應(yīng)于某個(gè)可靠度的臨界值,則應(yīng)該拒絕零假設(shè),即認(rèn)為組間與組內(nèi)方差有顯著性差異,由此可推斷,各組平均數(shù)之間有顯著性差異。
F檢驗(yàn)的步驟:第一步:提出假設(shè)各個(gè)總體平均數(shù)相等至少有兩個(gè)總體平均數(shù)不相等第二步:計(jì)算F比值
對(duì)于某組數(shù)據(jù)與總平均數(shù)的離差平方和用公式表示就是:然后,計(jì)算組間自由度、組內(nèi)自由度和總自由度
組間自由度:組內(nèi)自由度:
總自由度:
第三步:統(tǒng)計(jì)決斷
根據(jù)分子和分母自由度查F值的臨界值表,找在0.05和0.01顯著性水平上的臨界值。在這里,分子自由度為組間自由度,分母自由度為組內(nèi)自由度,在本例中分別為2和9。查教科書中的附表3,得
因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F=33.42**>8.02,P<0.01,由此可以得出結(jié)論,三個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均識(shí)記詞匯成績(jī)有極其顯著的差異。
四、方差分析中的幾個(gè)概念1.因素因素——即實(shí)驗(yàn)中的自變量。只有一個(gè)自變量的實(shí)驗(yàn)稱為單因素實(shí)驗(yàn)。有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的實(shí)驗(yàn)稱為多因素實(shí)驗(yàn)。2.水平水平——指某一個(gè)因素的不同情況。水平有質(zhì)的不同和量的差異兩種情況。例1,所要研究的因素為性別,這個(gè)因素就可以分為男和女兩個(gè)不同的水平。例2,要研究不同教材所產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效果是否有顯著性差異,可以從四所學(xué)校同一個(gè)年級(jí)中各抽取一組學(xué)生,每組學(xué)生用一種教材進(jìn)行教學(xué),然后比較各組學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的高低。例3,按IQ分?jǐn)?shù)的高低把被試分成高智商、智商中等和低智商三個(gè)水平。例4,按考試成績(jī)高低把學(xué)生分為高成就、成績(jī)中等和低成就三個(gè)水平。3.處理處理——指按單因素的各個(gè)“水平”條件或多因素的各個(gè)“水平”的組合條件進(jìn)行的重復(fù)實(shí)驗(yàn)。例如,要研究性別因素對(duì)智力發(fā)展的影響,可以從同齡學(xué)生中各抽取男女學(xué)生50名參加智力測(cè)驗(yàn)。性別因素所分成的兩個(gè)水平(男和女)即兩種處理。假如要研究四種教材及兩種教法對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的影響,那么四種教材與第一種教法結(jié)合的四種處理加上四種教材與第二種教法結(jié)合的四種處理,共有8種處理。第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析為了檢驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)因素多種不同水平間的差異的顯著性,將從同一個(gè)總體中隨機(jī)抽取的被試,再隨機(jī)地分入各實(shí)驗(yàn)組,施以各種不同的實(shí)驗(yàn)處理以后,用方差分析法對(duì)這多個(gè)獨(dú)立樣本平均數(shù)差異的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn),稱為完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析。又叫做獨(dú)立組實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。解:第一步:提出假設(shè)至少有兩個(gè)總體平均數(shù)不相等第二步:選擇并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量將上表中的數(shù)據(jù)代入組間和組內(nèi)平方和的公式,計(jì)算得,然后,計(jì)算組間自由度和組內(nèi)自由度第三步:統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表,得因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F=4.16*>3.10,P<0.05,由此可以得出結(jié)論,這四種計(jì)算機(jī)助學(xué)軟件所產(chǎn)生的效果有顯著性的差異。例2:教科書107頁(yè)。二、n不相等的情況例1:為了研究作業(yè)量對(duì)小學(xué)五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的影響,從某小學(xué)五年級(jí)各班中隨機(jī)抽取A、B、C三個(gè)平行班來(lái)做實(shí)驗(yàn)(假定該校五年級(jí)有三個(gè)以上的平行班,各班的平均學(xué)習(xí)成績(jī)、智力水平及各種教學(xué)條件都基本相等),研究者讓A班教師每天布置十道作業(yè)題,B每天布置三道作業(yè)題,C班每天都不布置作業(yè)。學(xué)期結(jié)束時(shí)三個(gè)班進(jìn)行統(tǒng)一的數(shù)學(xué)考試,這三個(gè)班學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢榱擞?jì)算方便,我們這里假定各班的人數(shù)都很少),問(wèn)作業(yè)量不同是否影響了數(shù)學(xué)成績(jī)?解:第一步:提出假設(shè)至少有兩個(gè)總體平均數(shù)不相等第二步:選擇并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量因?yàn)樵谶@里被試是用完全隨機(jī)抽樣的方法抽取來(lái)的,有多組被試,要以方差分析法進(jìn)行平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn),即計(jì)算F比值。將上表中的數(shù)據(jù)代入組間和組內(nèi)及總平方和的公式,計(jì)算得,
然后,計(jì)算組間自由度、組內(nèi)自由度和總自由度
第三步:統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表,得因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F=6.87**>6.51,P<0.01,由此推翻零假設(shè),既可以在0.01的顯著性水平上下結(jié)論,每天標(biāo)志的作業(yè)量不同使三個(gè)班中至少有兩個(gè)班的期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)有極其顯著的差異。
例2:教科書109頁(yè)。三、運(yùn)用樣本統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行組間與組內(nèi)方差的F檢驗(yàn)例1:某研究者為了研究看電視的時(shí)間對(duì)兒童寫作能力發(fā)展的影響,特隨機(jī)抽取了100名小學(xué)四學(xué)生,把這100名學(xué)生又隨機(jī)分成四組,每組有25人。A組學(xué)生每天允許看兩小時(shí)電視,B每天允許看1小時(shí),C組每天允許看半小時(shí),D組不許看電視。經(jīng)過(guò)半年實(shí)驗(yàn),對(duì)這些學(xué)生進(jìn)行寫作能力測(cè)試,結(jié)果如下。解:第一步:提出假設(shè)至少有兩個(gè)總體平均數(shù)不相等第二步:選擇并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量首先,由組間平方和的定義公式,得或者然后,計(jì)算組間自由度和組內(nèi)自由度第三步:統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表,得因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F=61.37**>3.98,P<0.01,因此可以在0.01的顯著性水平上作出推斷,每天看電視的時(shí)間對(duì)兒童的寫作能力有極其顯著的影響。例2:教科書111頁(yè)。第三節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析用方差分析法對(duì)多個(gè)相關(guān)樣本平均數(shù)差異所進(jìn)行的顯著性檢驗(yàn),稱之為隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析。每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)分配有以下三種方式:(3)區(qū)組內(nèi)以一個(gè)團(tuán)體為一個(gè)基本單元。在被試的安排上也可以有兩種方式,一種是從每個(gè)區(qū)組中只抽取一個(gè)團(tuán)體,這個(gè)團(tuán)體接受所有的處理;另一種是從每個(gè)區(qū)組中抽取的團(tuán)體數(shù)是實(shí)驗(yàn)處理數(shù)的整數(shù)倍,將這些團(tuán)體分成若干等份,每一部分被試接受一種實(shí)驗(yàn)處理。例如,將某市的學(xué)校分成五個(gè)區(qū)組:全國(guó)重點(diǎn)、市重點(diǎn)、區(qū)重點(diǎn)、一般學(xué)校和較差的學(xué)校,從這五個(gè)區(qū)組中分別抽取4所學(xué)校,實(shí)驗(yàn)中安排了A、B、C、D四種處理,這樣每個(gè)區(qū)組各有一所學(xué)校接受一種處理。檢查隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)恰當(dāng)不恰當(dāng)要看兩方面:一方面要看是不是每一個(gè)區(qū)組都接受了所有的實(shí)驗(yàn)處理,接受每一個(gè)處理的人數(shù)或團(tuán)體數(shù)相同;另一方面要看每一個(gè)實(shí)驗(yàn)處理在各個(gè)區(qū)組中重復(fù)的次數(shù)(人數(shù)或團(tuán)體數(shù))是否相同。兩種單因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法的比較在完全隨機(jī)設(shè)計(jì)中,各組平均數(shù)之間差異是否顯著,要通過(guò)將組間方差與組內(nèi)方差比較才能得知。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)通過(guò)對(duì)各個(gè)實(shí)驗(yàn)處理都安排相同或匹配過(guò)的被試,這樣就可以計(jì)算,把個(gè)別差異從組內(nèi)方差中分離出來(lái)。
例1:教科書112頁(yè)。解:第一步:提出假設(shè)至少有兩個(gè)總體平均數(shù)不相等將表中的數(shù)據(jù)代入平方和的計(jì)算公式中,得其次,計(jì)算自由度總自由度:組間自由度:區(qū)組自由度:誤差自由度:因此,第三步:統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表,得因?yàn)閷?shí)際計(jì)算出的F組間=99.00**>6.99,P<0.01,F(xiàn)組內(nèi)=17.00**>6.99,P<0.01,因此可以在0.01的顯著性水平上推翻零假設(shè),即可得出結(jié)論:這四種教材的教學(xué)效果有極其顯著的差異。由于各區(qū)組的平均數(shù)差異顯著,因此也可以說(shuō),這個(gè)實(shí)驗(yàn)采取區(qū)組設(shè)計(jì)是有必要的,并且是成功的。第四節(jié) 各個(gè)平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)對(duì)多組平均數(shù)的逐對(duì)差異檢驗(yàn),以Newman-Keul提出的q檢驗(yàn)法(或稱N-K法)最為常用。一、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的q檢驗(yàn)
1.各組n相等的情況例1:為了提高初三學(xué)生的物理成績(jī),物理老師特設(shè)計(jì)了A、B、C、D四種計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的軟件。為了檢查這四種軟件的效果,從某校初三學(xué)生中隨機(jī)抽取了24名學(xué)生,分成4組,然后隨機(jī)指派每組學(xué)生去使用一種軟件。學(xué)期結(jié)束時(shí)進(jìn)行統(tǒng)一考試,成績(jī)?nèi)缦?,?wèn)這四種助學(xué)軟件所產(chǎn)生的效果有沒(méi)有不同?解:第一步:確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值經(jīng)過(guò)前面的方差分析,得知得然后,將四個(gè)平均數(shù)依大小順序排列:平均數(shù) 68.33 70.17 72.83 78.50組名 B D A CA組與B組的平均數(shù)差異的其等級(jí)數(shù)a=3,相應(yīng)的q的臨界值為因?yàn)樗裕瑧?yīng)該保留零假設(shè),即A、B兩組平均數(shù)之間無(wú)顯著性差異。例2:從五所中學(xué)(全國(guó)重點(diǎn)、市重點(diǎn)、區(qū)重點(diǎn)、一般中學(xué)、較差的中學(xué))同一個(gè)年級(jí)隨機(jī)各抽取3名學(xué)生,數(shù)學(xué)統(tǒng)一測(cè)驗(yàn)結(jié)果如表8.2所示,問(wèn)五所學(xué)校數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)有無(wú)顯著性差異?(教科書第144頁(yè))2.各組n不相等的情況例1:為了研究作業(yè)量對(duì)小學(xué)五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的影響,從某小學(xué)五年級(jí)各班中隨機(jī)抽取A、B、C三個(gè)平行班來(lái)做實(shí)驗(yàn)(假定該校五年級(jí)有三個(gè)以上的平行班,各班的平均學(xué)習(xí)成績(jī)、智力水平及各種教學(xué)條件都基本相等),研究者讓A班教師每天布置十道作業(yè)題,B每天布置三道作業(yè)題,C班每天都不布置作業(yè)。學(xué)期結(jié)束時(shí)三個(gè)班進(jìn)行統(tǒng)一的數(shù)學(xué)考試,問(wèn)作業(yè)量不同是否影響了學(xué)習(xí)成績(jī)?例2:見(jiàn)教科書第117頁(yè)。例1:見(jiàn)教科書第118頁(yè)。一、各組n相等的情況例如,為了提高初三學(xué)生的物理成績(jī),物理老師特設(shè)計(jì)了A、B、C、D四種計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的軟件。為了檢查這四種軟件的效果,從某校初三學(xué)生中隨機(jī)抽取了24名學(xué)生,分成4組,然后隨機(jī)指派每組學(xué)生去使用一種軟件。學(xué)期結(jié)束時(shí)進(jìn)行統(tǒng)一考試,成績(jī)?nèi)缦?,?wèn)這四種助學(xué)軟件所產(chǎn)生的效果有沒(méi)有不同?第二步:計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值=50.17=11.07=32.30=19.77通過(guò)比較,得因此,第三步:統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)K=4,df=6-1=5,查附表5,找到相應(yīng)的=0.05和=0.01兩個(gè)顯著性水平上的臨界值因?yàn)?4.53<13.7,p>0.05,所以方差齊性,因此可以說(shuō),前面所做的方差分析其結(jié)論是可靠的。二、各組n不相等的情況例如,為了研究作業(yè)量對(duì)小學(xué)五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的影響,從某小學(xué)五年級(jí)各班中隨機(jī)抽取A、B、C三個(gè)平行班來(lái)做實(shí)驗(yàn)(假定該校五年級(jí)有三個(gè)以上的平行班,各班的平均學(xué)習(xí)成績(jī)、智力水平及各種教學(xué)條件都基本相等),研究者讓A班教師每天布置十道作業(yè)題,B每天布置三道作業(yè)題,C班每天都不布置作業(yè)。學(xué)期結(jié)束時(shí)三個(gè)班進(jìn)行統(tǒng)一的數(shù)學(xué)考試,這三個(gè)班學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢榱擞?jì)算方便,我們這里假定各班的人數(shù)都很少),問(wèn)作業(yè)量不同是否影響了數(shù)學(xué)成績(jī)?第二步:計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值=25.30=18.17=4.33通過(guò)比較,得因此,第三步:統(tǒng)計(jì)決斷K=3,df=6-1=5,查附表5,找到相應(yīng)的兩個(gè)臨界值為因?yàn)?5.84<10.80,p.0.05所以要保留零假設(shè),即方差齊性。因此可以認(rèn)為,前面所做的方差分析其結(jié)論是可靠的。第六節(jié)多因素方差分析簡(jiǎn)介一、多因素方差分析的功能多因素方差分析不僅可以檢驗(yàn)各個(gè)因素對(duì)因變量作用的顯著性,而且還可以檢驗(yàn)因素與因素間共同結(jié)合對(duì)因變量發(fā)生交互作用的顯著性。第二步:計(jì)算各假設(shè)所要檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量的值對(duì)于A因素,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為:對(duì)于B因素,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為:對(duì)于A因素與B因素的交互作用,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為:第三步:統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子和分母自由度及=0.05和=0.01兩個(gè)顯著性水平查附表3尋找F臨界值。然后,將實(shí)際計(jì)算出的F值與這兩個(gè)臨界值相比較,若實(shí)際計(jì)算出的F值小于臨界值則保留零假設(shè);如果實(shí)際計(jì)算出的F值大于臨界值則應(yīng)拒絕零假設(shè)。第四步:列出方差分析表例:為了研究3種小學(xué)英語(yǔ)教材用兩種不同的教學(xué)方法(一種是傳統(tǒng)講授法,另一種是將課堂講授與學(xué)生的游戲和活動(dòng)結(jié)合起來(lái)的方法)所產(chǎn)生的教學(xué)效果有什么不同,研究者從小學(xué)五年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了24名被試,并隨機(jī)分成6組,每組有4名被試,每組被試被隨機(jī)指派接受一種實(shí)驗(yàn)處理,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)驗(yàn)之后進(jìn)行統(tǒng)一測(cè)試,結(jié)果如下,試對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。解:第一步:提出假設(shè)首先,提出關(guān)于A因素的假設(shè):然后,提出關(guān)于B因素的假設(shè):最后,提出關(guān)于A、B兩個(gè)因素交互作用是否顯著的假設(shè):A、B兩個(gè)因素交互作用不顯著A、B兩個(gè)因素交互作用顯著A因素至少有兩個(gè)水平的總體平均數(shù)不相等第二步:計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值首先,計(jì)算平方和于是A因素組間平方和為:B因素平方和為:A與B交互作用的平方和為:然后,計(jì)算自由度=nK-1=46-1=23=6-1=5=Ka-1=3-1=2,=Kb-1=2-1,所以最后,計(jì)算各個(gè)F值第三步:統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)分子自由度、分母自由度查附表3,找到各個(gè)臨界值,即所以A因素F=1.10<3.55=B因素F=0.77<4.41=ABF=10.52**>8.29=,p>0.05,保留零假設(shè),p>0.05,保留零假設(shè),p<0.01,拒絕零假設(shè)差異來(lái)源SSdfMSFF0.05F0.01A因素30.3333215.16661.103.556.01B因素10.6666110.66660.77264.418.29A×B290.33342145.166710.5151組內(nèi)248.51813.8056總差異579.333323三種教材、兩種教法對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)影響的方差分析處理12…j…nTiA1x11x12…x1j…x1nT1A2X21X22…X2j…X2nT2…………………
AiX31X32…X3j…X3nTi…………………
AkXk1Xk2…Xkj…XknTk
T單因素?cái)?shù)據(jù)模式因素A重復(fù)因素
BTi.B1B2…Bj…BbA112…nx111x112…x11nx121x122…x12n…x1j1x1j2…x1jn…x1b1x1b2…x1bnT1.TijT
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