第八章方差分析

第八章 方差分析例如要比較好、中、差三類學校學生的學習成績是否有顯著性差異，如果用上一章講過的t檢驗方法來進行檢驗，就需要做3次配對檢驗，即分別對好與中、好與差、中與差學校之間差異的顯著性進行檢驗。如果要檢驗一至六年級認知發(fā)展水平差異的顯著性，仍用t檢驗方法，根據(jù)組合數(shù)的計算公式，可算得將要做15種配對檢驗。分析利弊用t檢驗或Z檢驗法檢驗各組的差異時，不僅麻煩，而且統(tǒng)計推斷的可靠度隨分組的組數(shù)增多而降低。如果做3次配對檢驗，每次檢驗的可靠度定為0.95，做3次統(tǒng)計推斷總的可靠度則變?yōu)?.953=0.86，犯錯誤的概率增加為0.14。如果進行10次檢驗，做10次推斷總的可靠度則變?yōu)?.9510=0.60，犯錯誤的概率變?yōu)?.40。因此，當需要同時比較多組平均數(shù)時，最好不用兩兩配對比較的方法，而應采用其他方法。即本章介紹的方差分析方法從總體上使可靠度保持在0.95或0.99的水平。第一節(jié) 方差分析的基本原理一、方差分析的目的方差分析的目的就在于對多組平均數(shù)綜合性地進行差異的顯著性檢驗。例：從某小學一、三、五年級隨機抽取各4人，向其呈現(xiàn)一組詞匯，記錄其識記結(jié)果，并繪成圖形。學生可能的得分結(jié)果多種多樣，如下圖所示的兩種可能情況。二、方差分析的邏輯123456789101112

261366753234

得分學生編號一五三年級①組間差異：②組內(nèi)差異：8642小大可能性一108642123456789101112一三五

2343106981091110①組間差異：大②組內(nèi)差異：小得分可能性二結(jié)論通過對組間差異與組內(nèi)差異比值的分析，來推斷幾個相應平均數(shù)差異的顯著性，這就是方差分析的邏輯。

三、以F檢驗來推斷幾個平均數(shù)差異的顯著性

方差分析就是要進行F檢驗。如果組間與組內(nèi)方差相等或相近，F(xiàn)比值等于或接近1，就應該保留零假設，即認為各組平均數(shù)無顯著性差異；如果F比值很大，超過了F抽樣分布上對應于某個可靠度的臨界值，則應該拒絕零假設，即認為組間與組內(nèi)方差有顯著性差異，由此可推斷，各組平均數(shù)之間有顯著性差異。

F檢驗的步驟：第一步：提出假設各個總體平均數(shù)相等至少有兩個總體平均數(shù)不相等第二步：計算F比值

對于某組數(shù)據(jù)與總平均數(shù)的離差平方和用公式表示就是：然后，計算組間自由度、組內(nèi)自由度和總自由度

組間自由度：組內(nèi)自由度：

總自由度：

第三步：統(tǒng)計決斷

根據(jù)分子和分母自由度查F值的臨界值表，找在0.05和0.01顯著性水平上的臨界值。在這里，分子自由度為組間自由度，分母自由度為組內(nèi)自由度，在本例中分別為2和9。查教科書中的附表3，得

因為實際計算出的F=33.42**>8.02，P<0.01，由此可以得出結(jié)論，三個年級學生的平均識記詞匯成績有極其顯著的差異。

四、方差分析中的幾個概念1.因素因素——即實驗中的自變量。只有一個自變量的實驗稱為單因素實驗。有兩個或兩個以上自變量的實驗稱為多因素實驗。2.水平水平——指某一個因素的不同情況。水平有質(zhì)的不同和量的差異兩種情況。例1，所要研究的因素為性別，這個因素就可以分為男和女兩個不同的水平。例2，要研究不同教材所產(chǎn)生的學習效果是否有顯著性差異，可以從四所學校同一個年級中各抽取一組學生，每組學生用一種教材進行教學，然后比較各組學生學習成績的高低。例3，按IQ分數(shù)的高低把被試分成高智商、智商中等和低智商三個水平。例4，按考試成績高低把學生分為高成就、成績中等和低成就三個水平。3.處理處理——指按單因素的各個“水平”條件或多因素的各個“水平”的組合條件進行的重復實驗。例如，要研究性別因素對智力發(fā)展的影響，可以從同齡學生中各抽取男女學生50名參加智力測驗。性別因素所分成的兩個水平（男和女）即兩種處理。假如要研究四種教材及兩種教法對學生學習成績的影響，那么四種教材與第一種教法結(jié)合的四種處理加上四種教材與第二種教法結(jié)合的四種處理，共有8種處理。第二節(jié)完全隨機設計的方差分析為了檢驗某一個因素多種不同水平間的差異的顯著性，將從同一個總體中隨機抽取的被試，再隨機地分入各實驗組，施以各種不同的實驗處理以后，用方差分析法對這多個獨立樣本平均數(shù)差異的顯著性進行檢驗，稱為完全隨機設計的方差分析。又叫做獨立組實驗設計。解：第一步：提出假設至少有兩個總體平均數(shù)不相等第二步：選擇并計算檢驗統(tǒng)計量將上表中的數(shù)據(jù)代入組間和組內(nèi)平方和的公式，計算得，然后，計算組間自由度和組內(nèi)自由度第三步：統(tǒng)計決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表，得因為實際計算出的F=4.16*>3.10，P<0.05，由此可以得出結(jié)論，這四種計算機助學軟件所產(chǎn)生的效果有顯著性的差異。例2：教科書107頁。二、n不相等的情況例1：為了研究作業(yè)量對小學五年級學生學習成績的影響，從某小學五年級各班中隨機抽取A、B、C三個平行班來做實驗（假定該校五年級有三個以上的平行班，各班的平均學習成績、智力水平及各種教學條件都基本相等），研究者讓A班教師每天布置十道作業(yè)題，B每天布置三道作業(yè)題，C班每天都不布置作業(yè)。學期結(jié)束時三個班進行統(tǒng)一的數(shù)學考試，這三個班學生的成績?nèi)缦拢榱擞嬎惴奖?，我們這里假定各班的人數(shù)都很少），問作業(yè)量不同是否影響了數(shù)學成績？解：第一步：提出假設至少有兩個總體平均數(shù)不相等第二步：選擇并計算檢驗統(tǒng)計量因為在這里被試是用完全隨機抽樣的方法抽取來的，有多組被試，要以方差分析法進行平均數(shù)差異的顯著性檢驗，即計算F比值。將上表中的數(shù)據(jù)代入組間和組內(nèi)及總平方和的公式，計算得，

然后，計算組間自由度、組內(nèi)自由度和總自由度

第三步：統(tǒng)計決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表，得因為實際計算出的F=6.87**>6.51，P<0.01，由此推翻零假設，既可以在0.01的顯著性水平上下結(jié)論，每天標志的作業(yè)量不同使三個班中至少有兩個班的期末數(shù)學考試成績有極其顯著的差異。

例2：教科書109頁。三、運用樣本統(tǒng)計量進行組間與組內(nèi)方差的F檢驗例1：某研究者為了研究看電視的時間對兒童寫作能力發(fā)展的影響，特隨機抽取了100名小學四學生，把這100名學生又隨機分成四組，每組有25人。A組學生每天允許看兩小時電視，B每天允許看1小時，C組每天允許看半小時，D組不許看電視。經(jīng)過半年實驗，對這些學生進行寫作能力測試，結(jié)果如下。解：第一步：提出假設至少有兩個總體平均數(shù)不相等第二步：選擇并計算檢驗統(tǒng)計量首先，由組間平方和的定義公式，得或者然后，計算組間自由度和組內(nèi)自由度第三步：統(tǒng)計決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表，得因為實際計算出的F=61.37**>3.98，P<0.01，因此可以在0.01的顯著性水平上作出推斷，每天看電視的時間對兒童的寫作能力有極其顯著的影響。例2：教科書111頁。第三節(jié)隨機區(qū)組設計的方差分析用方差分析法對多個相關(guān)樣本平均數(shù)差異所進行的顯著性檢驗，稱之為隨機區(qū)組設計的方差分析。每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)分配有以下三種方式：（3）區(qū)組內(nèi)以一個團體為一個基本單元。在被試的安排上也可以有兩種方式，一種是從每個區(qū)組中只抽取一個團體，這個團體接受所有的處理；另一種是從每個區(qū)組中抽取的團體數(shù)是實驗處理數(shù)的整數(shù)倍，將這些團體分成若干等份，每一部分被試接受一種實驗處理。例如，將某市的學校分成五個區(qū)組：全國重點、市重點、區(qū)重點、一般學校和較差的學校，從這五個區(qū)組中分別抽取4所學校，實驗中安排了A、B、C、D四種處理，這樣每個區(qū)組各有一所學校接受一種處理。檢查隨機區(qū)組設計恰當不恰當要看兩方面：一方面要看是不是每一個區(qū)組都接受了所有的實驗處理，接受每一個處理的人數(shù)或團體數(shù)相同；另一方面要看每一個實驗處理在各個區(qū)組中重復的次數(shù)（人數(shù)或團體數(shù)）是否相同。兩種單因素實驗設計的方法的比較在完全隨機設計中，各組平均數(shù)之間差異是否顯著，要通過將組間方差與組內(nèi)方差比較才能得知。隨機區(qū)組設計通過對各個實驗處理都安排相同或匹配過的被試，這樣就可以計算，把個別差異從組內(nèi)方差中分離出來。

例1：教科書112頁。解：第一步：提出假設至少有兩個總體平均數(shù)不相等將表中的數(shù)據(jù)代入平方和的計算公式中，得其次，計算自由度總自由度：組間自由度：區(qū)組自由度：誤差自由度：因此，第三步：統(tǒng)計決斷根據(jù)分子和分母自由度查F值表，得因為實際計算出的F組間=99.00**>6.99，P<0.01，F(xiàn)組內(nèi)=17.00**>6.99，P<0.01，因此可以在0.01的顯著性水平上推翻零假設，即可得出結(jié)論：這四種教材的教學效果有極其顯著的差異。由于各區(qū)組的平均數(shù)差異顯著，因此也可以說，這個實驗采取區(qū)組設計是有必要的，并且是成功的。第四節(jié) 各個平均數(shù)差異的顯著性檢驗對多組平均數(shù)的逐對差異檢驗，以Newman-Keul提出的q檢驗法（或稱N-K法）最為常用。一、完全隨機設計的q檢驗

1.各組n相等的情況例1：為了提高初三學生的物理成績，物理老師特設計了A、B、C、D四種計算機輔助教學的軟件。為了檢查這四種軟件的效果，從某校初三學生中隨機抽取了24名學生，分成4組，然后隨機指派每組學生去使用一種軟件。學期結(jié)束時進行統(tǒng)一考試，成績?nèi)缦?，問這四種助學軟件所產(chǎn)生的效果有沒有不同？解：第一步：確定檢驗統(tǒng)計量并計算其值經(jīng)過前面的方差分析，得知得然后，將四個平均數(shù)依大小順序排列：平均數(shù) 68.33 70.17 72.83 78.50組名 B D A CA組與B組的平均數(shù)差異的其等級數(shù)a=3，相應的q的臨界值為因為所以，應該保留零假設，即A、B兩組平均數(shù)之間無顯著性差異。例2：從五所中學（全國重點、市重點、區(qū)重點、一般中學、較差的中學）同一個年級隨機各抽取3名學生，數(shù)學統(tǒng)一測驗結(jié)果如表8.2所示，問五所學校數(shù)學測驗成績有無顯著性差異？（教科書第144頁）2.各組n不相等的情況例1：為了研究作業(yè)量對小學五年級學生學習成績的影響，從某小學五年級各班中隨機抽取A、B、C三個平行班來做實驗（假定該校五年級有三個以上的平行班，各班的平均學習成績、智力水平及各種教學條件都基本相等），研究者讓A班教師每天布置十道作業(yè)題，B每天布置三道作業(yè)題，C班每天都不布置作業(yè)。學期結(jié)束時三個班進行統(tǒng)一的數(shù)學考試，問作業(yè)量不同是否影響了學習成績？例2：見教科書第117頁。例1：見教科書第118頁。一、各組n相等的情況例如，為了提高初三學生的物理成績，物理老師特設計了A、B、C、D四種計算機輔助教學的軟件。為了檢查這四種軟件的效果，從某校初三學生中隨機抽取了24名學生，分成4組，然后隨機指派每組學生去使用一種軟件。學期結(jié)束時進行統(tǒng)一考試，成績?nèi)缦?，問這四種助學軟件所產(chǎn)生的效果有沒有不同？第二步：計算檢驗統(tǒng)計量的值=50.17=11.07=32.30=19.77通過比較，得因此，第三步：統(tǒng)計決斷根據(jù)K=4,df=6-1=5，查附表5，找到相應的=0.05和=0.01兩個顯著性水平上的臨界值因為=4.53<13.7,p>0.05，所以方差齊性，因此可以說，前面所做的方差分析其結(jié)論是可靠的。二、各組n不相等的情況例如，為了研究作業(yè)量對小學五年級學生學習成績的影響，從某小學五年級各班中隨機抽取A、B、C三個平行班來做實驗（假定該校五年級有三個以上的平行班，各班的平均學習成績、智力水平及各種教學條件都基本相等），研究者讓A班教師每天布置十道作業(yè)題，B每天布置三道作業(yè)題，C班每天都不布置作業(yè)。學期結(jié)束時三個班進行統(tǒng)一的數(shù)學考試，這三個班學生的成績?nèi)缦拢榱擞嬎惴奖悖覀冞@里假定各班的人數(shù)都很少），問作業(yè)量不同是否影響了數(shù)學成績？第二步：計算檢驗統(tǒng)計量的值=25.30=18.17=4.33通過比較，得因此，第三步：統(tǒng)計決斷K=3,df=6-1=5，查附表5，找到相應的兩個臨界值為因為=5.84<10.80，p.0.05所以要保留零假設，即方差齊性。因此可以認為，前面所做的方差分析其結(jié)論是可靠的。第六節(jié)多因素方差分析簡介一、多因素方差分析的功能多因素方差分析不僅可以檢驗各個因素對因變量作用的顯著性，而且還可以檢驗因素與因素間共同結(jié)合對因變量發(fā)生交互作用的顯著性。第二步：計算各假設所要檢驗的統(tǒng)計量的值對于A因素，檢驗統(tǒng)計量的計算公式為：對于B因素，檢驗統(tǒng)計量的計算公式為：對于A因素與B因素的交互作用，檢驗統(tǒng)計量的計算公式為：第三步：統(tǒng)計決斷根據(jù)分子和分母自由度及=0.05和=0.01兩個顯著性水平查附表3尋找F臨界值。然后，將實際計算出的F值與這兩個臨界值相比較，若實際計算出的F值小于臨界值則保留零假設；如果實際計算出的F值大于臨界值則應拒絕零假設。第四步：列出方差分析表例：為了研究3種小學英語教材用兩種不同的教學方法（一種是傳統(tǒng)講授法，另一種是將課堂講授與學生的游戲和活動結(jié)合起來的方法）所產(chǎn)生的教學效果有什么不同，研究者從小學五年級學生中隨機抽取了24名被試，并隨機分成6組，每組有4名被試，每組被試被隨機指派接受一種實驗處理，經(jīng)過一段時間的教學實驗之后進行統(tǒng)一測試，結(jié)果如下，試對實驗結(jié)果進行方差分析。解：第一步：提出假設首先，提出關(guān)于A因素的假設：然后，提出關(guān)于B因素的假設：最后，提出關(guān)于A、B兩個因素交互作用是否顯著的假設：A、B兩個因素交互作用不顯著A、B兩個因素交互作用顯著A因素至少有兩個水平的總體平均數(shù)不相等第二步：計算檢驗統(tǒng)計量的值首先，計算平方和于是A因素組間平方和為：B因素平方和為：A與B交互作用的平方和為：然后，計算自由度=nK-1=46-1=23=6-1=5=Ka-1=3-1=2，=Kb-1=2-1，所以最后，計算各個F值第三步：統(tǒng)計決斷根據(jù)分子自由度、分母自由度查附表3，找到各個臨界值，即所以A因素F=1.10<3.55=B因素F=0.77<4.41=ABF=10.52**>8.29=，p>0.05，保留零假設，p>0.05，保留零假設，p<0.01，拒絕零假設差異來源SSdfMSFF0.05F0.01A因素30.3333215.16661.103.556.01B因素10.6666110.66660.77264.418.29A×B290.33342145.166710.5151組內(nèi)248.51813.8056總差異579.333323三種教材、兩種教法對學習成績影響的方差分析處理12…j…nTiA1x11x12…x1j…x1nT1A2X21X22…X2j…X2nT2…………………

AiX31X32…X3j…X3nTi…………………

AkXk1Xk2…Xkj…XknTk

T單因素數(shù)據(jù)模式因素A重復因素

BTi.B1B2…Bj…BbA112…nx111x112…x11nx121x122…x12n…x1j1x1j2…x1jn…x1b1x1b2…x1bnT1.TijT