第十二章穩(wěn)定電流的磁場(chǎng)

第十二章真空中穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)

§12-1磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量

§12-2磁感應(yīng)通量

磁感應(yīng)線的閉合性

§12-3

畢奧—薩伐爾—拉普拉斯定律

§12-4

磁場(chǎng)環(huán)路定律（安培環(huán)路定律）

§12-5安培定律

§12-6

關(guān)于磁力的功§12-7霍爾效應(yīng)

§12-1磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量

1.磁場(chǎng)圖1.電流對(duì)磁針的作用圖2.磁鐵對(duì)電流的作用圖3.電流間的相互作用實(shí)驗(yàn)表明，磁場(chǎng)只存在于電流或運(yùn)動(dòng)電荷的周圍。磁鐵產(chǎn)生的磁場(chǎng)的本質(zhì)，也是由其內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的。磁場(chǎng)只對(duì)電流及運(yùn)動(dòng)電荷有磁力作用。

2.磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量當(dāng)試驗(yàn)電荷以速度通過磁場(chǎng)中某點(diǎn)時(shí),不管的方向怎樣改變,試驗(yàn)電荷在點(diǎn)所受的磁力

的方向永遠(yuǎn)與試驗(yàn)電荷的速度方向垂直。當(dāng)試驗(yàn)電荷沿某一直線通過點(diǎn)，磁力等于零。

圖4.磁力與運(yùn)動(dòng)電荷的速度的方向關(guān)系

定義：的方向即為的方向。

的大小為

。MKSA有理制(?！っ?庫(kù)·米—特斯拉）（12-1）

3.洛侖茲力

圖5.、、三者的方向關(guān)系（12-2）即有洛侖茲力（12-3）洛侖茲公式（12-4）

§12-2磁感應(yīng)通量

磁感應(yīng)線的閉合性

1.磁感應(yīng)線

圖6.分別為(a)長(zhǎng)直電流(b)圓電流(c)螺線管電流的磁感應(yīng)線

圖7.螺繞環(huán)

磁感應(yīng)線都是圍繞電流的閉合線,或者說是從無限遠(yuǎn)處來，到無限遠(yuǎn)處去，沒有起點(diǎn)，也沒有終點(diǎn)。

2．磁場(chǎng)的高斯定理（1）磁感應(yīng)通量圖8.通過任一小面的磁感應(yīng)線的單位為韋伯（Wb)（12-6）磁感應(yīng)強(qiáng)度等于通過單位垂直面積的磁感應(yīng)通量。（12-5）（2）磁場(chǎng)的高斯定理表明磁場(chǎng)是無源場(chǎng)，且，有旋場(chǎng)。

圖8.通過閉合面的磁通量（12-7）

§12-3畢奧—薩伐爾—拉普拉斯定律

載流導(dǎo)體中任一電流元(的方向即電流流動(dòng)的方向),在空間某點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與的大小成正比,與和矢徑(即由電流元指向場(chǎng)點(diǎn)的矢量)之間的夾角的正弦成正比,而與矢徑長(zhǎng)度的平方成反比,即

（12-8）

1.畢—薩—拉定律（12-9）圖9.畢—薩—拉定律（12-10）

2.運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)圖10.電流元中的運(yùn)動(dòng)電荷n、

q單位時(shí)間內(nèi)通過橫截面的電量為即電流強(qiáng)度為（12-11）

(a)垂直于直面向外(b)垂直于直面向內(nèi)圖11.運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)方向圖12.直電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)（12-12）

3.畢—薩—拉定律的應(yīng)用設(shè)有一長(zhǎng)直導(dǎo)線載有電流,求離導(dǎo)線為處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：

(1)直電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)由圖可知?jiǎng)t有（12-13）方向垂直于板面向內(nèi)。acscorr=()aapooctgrctgrl-=-=

2.圓電流在軸線上所產(chǎn)生的磁場(chǎng)圖13.圓電流在軸線上的磁場(chǎng)當(dāng)導(dǎo)線趨于無限長(zhǎng)時(shí)，，則在離它為處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（12-14）任一直徑兩端的電流元在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的垂直分量的大小相等、方向相反，因而相互抵消，故總場(chǎng)強(qiáng)的大小即為的代數(shù)和，即(12-15)方向平行于向右。26頁(yè)討論：（1），上式化為（2）若，則式分母中的可忽略不計(jì)，得(12-15)圓電流在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)。（12-16）令（稱為圓電流磁矩）（12-17）據(jù)（12-15）式3.螺線管軸線上的磁場(chǎng)圖在下一頁(yè)（12-18）于是式可改寫為（12-16）代入上式，有圖14螺線管軸線上的磁場(chǎng)

上一頁(yè)由圖中幾何條件知代入式，得(12-18)討論：（1）若是無限長(zhǎng)螺線管，則有，

（2）若在螺線管的一端，而另一段無限長(zhǎng),即

,（12-20）（12-21）（12-19）方向與電流流動(dòng)方向成右手系。

4.亥姆霍茲線圈

1.求軸線上任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

2.討論a的取值為多大時(shí),距兩線圈圓心等遠(yuǎn)的點(diǎn)o處的磁場(chǎng)最均勻。

圖15亥姆霍茲線圈·由式(12-15)由上式可知（12-22）令處的,可得在點(diǎn)磁場(chǎng)最均勻的條件為（12-23）解：電荷面密度uRQope4=\uRQoQpe41=例：一半徑為的均勻帶電球面,球面上電勢(shì)為。今球面繞直徑以角速度勻速旋轉(zhuǎn)，如圖示。試求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。在球面上任選一環(huán)帶,半徑為,其中心到點(diǎn)的距離為。注意環(huán)帶以轉(zhuǎn)動(dòng),電荷也在運(yùn)動(dòng),相當(dāng)于有電流于是考慮到圓電流軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式對(duì)應(yīng)關(guān)系為有要點(diǎn)：將旋轉(zhuǎn)的帶電球面看成半徑不同而同軸放置的一系列的圓電流構(gòu)成的系統(tǒng)，利用圓電流軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式求解。考慮到上下兩半球在點(diǎn)的方向一致,有方向沿軸正方向.

§12-4磁場(chǎng)環(huán)路定律（安培環(huán)路定律）

1.

磁場(chǎng)環(huán)路定律

(1)求閉合曲線不包圍電流時(shí)的值。

段：圖16磁場(chǎng)環(huán)路定律＇所以段用同樣方法可得：

(2)求閉合曲線包圍電流時(shí)的值。圖16

磁場(chǎng)環(huán)路定律如電流方向反向，而沿閉合曲線的繞行方向不變，則有綜合以上三種情況得：（12-24）如果閉合曲線包含的電流不止一個(gè)，那么推廣上面的結(jié)果得圖17繞行方向與電流方向間的關(guān)系在磁場(chǎng)中沿任何閉合回路,磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流等于該回路所包圍的電流強(qiáng)度代數(shù)和的倍。（12-25）磁場(chǎng)環(huán)流定律—對(duì)連續(xù)分布的電流則有磁場(chǎng)的環(huán)流不等于零。因此，在磁場(chǎng)中不能引入標(biāo)量勢(shì)的概念，即磁場(chǎng)不是有勢(shì)場(chǎng)，所以，磁場(chǎng)不是保守力場(chǎng)。（12-26）2.

磁場(chǎng)環(huán)路定律的應(yīng)用舉例（1）求在通有均勻電流的無限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)外的磁場(chǎng)圖18圓柱狀載流導(dǎo)體內(nèi)外的磁場(chǎng)解：1.考慮圓柱體外任一點(diǎn)而比較上兩式，得2.考慮圓柱體內(nèi)任一點(diǎn)因此圖19磁感應(yīng)強(qiáng)度與圓柱體軸線的距離之間的關(guān)系圖（2）螺繞環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)解:設(shè)螺繞環(huán)單位長(zhǎng)度上密繞有匝線圈,導(dǎo)線中電流強(qiáng)度為。圖20

螺繞環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度沿所選回路的環(huán)流為據(jù)磁場(chǎng)環(huán)路定律，有所以（3）長(zhǎng)直螺線管內(nèi)中心區(qū)域的磁場(chǎng)圖21利用安培環(huán)流定律計(jì)算長(zhǎng)直螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)過點(diǎn)選一圖示繞行回路abcd

。由磁場(chǎng)環(huán)路定律得所以

1.安培定律而

§12-5安培定律從載流導(dǎo)線中想像的取出一段電流元,長(zhǎng)度為,截面積為,在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁場(chǎng)中,每個(gè)自由電子將受到一洛侖茲力。設(shè)導(dǎo)線內(nèi)自由電子的體密度為，在這一小段中這些自由電子所受的總力，即作用在這小段導(dǎo)線上的磁力為（12-27）（12-27）式改寫為（12-27*）（12-27*）式為安培定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。由該式?jīng)Q定的力稱為安培力。一段有限長(zhǎng)的電流在外磁場(chǎng)中所受的力，由下式計(jì)算（12-28）解:例：電流流過一半徑為的鉛絲環(huán)，此環(huán)放在的均勻磁場(chǎng)中，環(huán)的平面與磁場(chǎng)垂直，求鉛絲環(huán)所受張力是多少？張力即物體所承受的兩部分間的相互作用力。半圓弧在、兩端受到另半個(gè)圓的拉力(即張力),在平衡時(shí),有于是兩無限長(zhǎng)直電流之間的相互作用力安培的定義圖22長(zhǎng)直電流之間的相互作用力

在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度單位長(zhǎng)度上受力完全相同的討論,得（12-29a）（12-29b）與方向相反。方向垂直于，且由指向。作用在上長(zhǎng)這一段上的力由(12-27*)式得（12-27*）安培的定義—安培是一恒定電流，若其保持在處于真空中相距1米的兩無限長(zhǎng)而圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)，則此兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力在每米長(zhǎng)度上等于(N)。

3.載流平面線圈在外磁場(chǎng)中所受的力矩圖23載流平面線圈在外磁場(chǎng)中所受的力矩這一對(duì)大小相等,方向相反,但作用線不重合的力構(gòu)成力偶。力偶矩的大小為磁矩矢量的方向與線圈平面的法線平行，有（12-30）（12-30）式具有一般性。圖24任一平面線圈可以看作許多小矩形線圈的組合有磁感應(yīng)通量的增量為圖25磁力所作的功

§12-6關(guān)于磁力的功

1.磁力對(duì)載流導(dǎo)線作的功在導(dǎo)線移動(dòng)過程中，磁力所作的功為（12-31）

2.磁力對(duì)旋轉(zhuǎn)的載流線圈所作的功圖25磁力矩所作的功設(shè)線圈轉(zhuǎn)過極小的角度,使與之間的夾角從增為+。則磁力矩所作的功為（12-32）（12-33）當(dāng)線圈從轉(zhuǎn)到時(shí)，對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)通量從Ф1變到Ф2，磁力矩所作的總功為

如果電流是隨時(shí)間而變的,磁力作功的一般表達(dá)式為（12-34）[例]測(cè)定磁感應(yīng)強(qiáng)度常用的實(shí)驗(yàn)裝置——磁秤如圖所示，它的一臂下面掛有矩形線圈，寬為b，長(zhǎng)為l，共有N匝，線圈的下端放在待測(cè)的均勻磁場(chǎng)中,其平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直，當(dāng)線圈中通有電流I時(shí)，線圈受到一向上的作用力，使天平失去平衡，調(diào)節(jié)砝碼m使兩臂達(dá)到平衡。用上述數(shù)據(jù)求待測(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。BI線圈的底邊受到安培力,方向向上,大小為,當(dāng)天平恢復(fù)平衡時(shí)，這個(gè)向上的安培力恰與所調(diào)整砝碼的重量相等，由此可得故待測(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度由圖可見，作用在兩側(cè)直邊上的力大小相等，方向相反，它們相互抵消。[解]如N=9匝，b=10.0cm，I=0.10A，加kg砝碼才能恢復(fù)平衡，代入上式得§12-7霍爾效應(yīng)將一導(dǎo)電板放在垂直于它的磁場(chǎng)中，當(dāng)有電流通過時(shí)，在導(dǎo)電板的P1、P2兩側(cè)會(huì)產(chǎn)生一電勢(shì)差U1U2,這種現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。（1）洛侖茲力的大小P1、P2間形成電勢(shì)差后，載流子受到的電力平衡時(shí)電流強(qiáng)度與運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系為代入上式得與式比較，得（1）[例]把一寬為2.0cm，厚1.0mm的銅片，放在B=1.5T的磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)垂直通過銅片。如果銅片載有電流200A，求呈現(xiàn)在銅片上下兩側(cè)間的霍耳電勢(shì)差有多大？每個(gè)銅原子中只有一個(gè)自由電子，故單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)n即等于單位體積內(nèi)的原子數(shù)。已知銅的相對(duì)原子質(zhì)量為64，1mol銅（0.064kg）有6.0×1023個(gè)原子（阿伏加德羅常數(shù)），銅的密度為9.0×103kg/m3，所以銅片中自由電子的密度[解]銅片中電流為200A時(shí)，霍耳電勢(shì)差只有22μV，可見在通常情況下銅片中的霍爾效應(yīng)是很弱的。在半導(dǎo)體中，載流子濃度n遠(yuǎn)小于金屬中自由電子的濃度，因此可得到較大的霍耳電勢(shì)差。在這些材料中能產(chǎn)生電流的數(shù)量級(jí)約為1mA，如果選用和例中銅片大小相同的材料，取I=0.1mA，n=1020m-3，則可算出其霍耳電勢(shì)差約為9.4mV，用一般的毫伏表就能測(cè)量出來?；舳妱?shì)差

1.從畢─薩─拉定律能導(dǎo)出無限長(zhǎng)直電流的磁場(chǎng)公式