第十二章穩(wěn)定電流的磁場

第十二章真空中穩(wěn)恒電流的磁場

§12-1磁場磁感應強度矢量

§12-2磁感應通量

磁感應線的閉合性

§12-3

畢奧—薩伐爾—拉普拉斯定律

§12-4

磁場環(huán)路定律（安培環(huán)路定律）

§12-5安培定律

§12-6

關于磁力的功§12-7霍爾效應

§12-1磁場磁感應強度矢量

1.磁場圖1.電流對磁針的作用圖2.磁鐵對電流的作用圖3.電流間的相互作用實驗表明，磁場只存在于電流或運動電荷的周圍。磁鐵產(chǎn)生的磁場的本質(zhì)，也是由其內(nèi)部的運動電荷產(chǎn)生的。磁場只對電流及運動電荷有磁力作用。

2.磁感應強度矢量當試驗電荷以速度通過磁場中某點時,不管的方向怎樣改變,試驗電荷在點所受的磁力

的方向永遠與試驗電荷的速度方向垂直。當試驗電荷沿某一直線通過點，磁力等于零。

圖4.磁力與運動電荷的速度的方向關系

定義：的方向即為的方向。

的大小為

。MKSA有理制(?！っ?庫·米—特斯拉）（12-1）

3.洛侖茲力

圖5.、、三者的方向關系（12-2）即有洛侖茲力（12-3）洛侖茲公式（12-4）

§12-2磁感應通量

磁感應線的閉合性

1.磁感應線

圖6.分別為(a)長直電流(b)圓電流(c)螺線管電流的磁感應線

圖7.螺繞環(huán)

磁感應線都是圍繞電流的閉合線,或者說是從無限遠處來，到無限遠處去，沒有起點，也沒有終點。

2．磁場的高斯定理（1）磁感應通量圖8.通過任一小面的磁感應線的單位為韋伯（Wb)（12-6）磁感應強度等于通過單位垂直面積的磁感應通量。（12-5）（2）磁場的高斯定理表明磁場是無源場，且，有旋場。

圖8.通過閉合面的磁通量（12-7）

§12-3畢奧—薩伐爾—拉普拉斯定律

載流導體中任一電流元(的方向即電流流動的方向),在空間某點處產(chǎn)生的磁感應強度的大小與的大小成正比,與和矢徑(即由電流元指向場點的矢量)之間的夾角的正弦成正比,而與矢徑長度的平方成反比,即

（12-8）

1.畢—薩—拉定律（12-9）圖9.畢—薩—拉定律（12-10）

2.運動電荷的磁場圖10.電流元中的運動電荷n、

q單位時間內(nèi)通過橫截面的電量為即電流強度為（12-11）

(a)垂直于直面向外(b)垂直于直面向內(nèi)圖11.運動電荷的磁場方向圖12.直電流產(chǎn)生的磁場（12-12）

3.畢—薩—拉定律的應用設有一長直導線載有電流,求離導線為處的磁感應強度。解：

(1)直電流所產(chǎn)生的磁場由圖可知則有（12-13）方向垂直于板面向內(nèi)。acscorr=()aapooctgrctgrl-=-=

2.圓電流在軸線上所產(chǎn)生的磁場圖13.圓電流在軸線上的磁場當導線趨于無限長時，，則在離它為處的磁感應強度為（12-14）任一直徑兩端的電流元在點產(chǎn)生的磁感應強度的垂直分量的大小相等、方向相反，因而相互抵消，故總場強的大小即為的代數(shù)和，即(12-15)方向平行于向右。26頁討論：（1），上式化為（2）若，則式分母中的可忽略不計，得(12-15)圓電流在圓心處產(chǎn)生的磁場。（12-16）令（稱為圓電流磁矩）（12-17）據(jù)（12-15）式3.螺線管軸線上的磁場圖在下一頁（12-18）于是式可改寫為（12-16）代入上式，有圖14螺線管軸線上的磁場

上一頁由圖中幾何條件知代入式，得(12-18)討論：（1）若是無限長螺線管，則有，

（2）若在螺線管的一端，而另一段無限長,即

,（12-20）（12-21）（12-19）方向與電流流動方向成右手系。

4.亥姆霍茲線圈

1.求軸線上任意一點的磁感應強度。

2.討論a的取值為多大時,距兩線圈圓心等遠的點o處的磁場最均勻。

圖15亥姆霍茲線圈·由式(12-15)由上式可知（12-22）令處的,可得在點磁場最均勻的條件為（12-23）解：電荷面密度uRQope4=\uRQoQpe41=例：一半徑為的均勻帶電球面,球面上電勢為。今球面繞直徑以角速度勻速旋轉(zhuǎn)，如圖示。試求球心處的磁感應強度。在球面上任選一環(huán)帶,半徑為,其中心到點的距離為。注意環(huán)帶以轉(zhuǎn)動,電荷也在運動,相當于有電流于是考慮到圓電流軸線上的磁感應強度公式對應關系為有要點：將旋轉(zhuǎn)的帶電球面看成半徑不同而同軸放置的一系列的圓電流構(gòu)成的系統(tǒng)，利用圓電流軸線上任一點的磁感應強度公式求解。考慮到上下兩半球在點的方向一致,有方向沿軸正方向.

§12-4磁場環(huán)路定律（安培環(huán)路定律）

1.

磁場環(huán)路定律

(1)求閉合曲線不包圍電流時的值。

段：圖16磁場環(huán)路定律＇所以段用同樣方法可得：

(2)求閉合曲線包圍電流時的值。圖16

磁場環(huán)路定律如電流方向反向，而沿閉合曲線的繞行方向不變，則有綜合以上三種情況得：（12-24）如果閉合曲線包含的電流不止一個，那么推廣上面的結(jié)果得圖17繞行方向與電流方向間的關系在磁場中沿任何閉合回路,磁感應強度的環(huán)流等于該回路所包圍的電流強度代數(shù)和的倍。（12-25）磁場環(huán)流定律—對連續(xù)分布的電流則有磁場的環(huán)流不等于零。因此，在磁場中不能引入標量勢的概念，即磁場不是有勢場，所以，磁場不是保守力場。（12-26）2.

磁場環(huán)路定律的應用舉例（1）求在通有均勻電流的無限長圓柱體內(nèi)外的磁場圖18圓柱狀載流導體內(nèi)外的磁場解：1.考慮圓柱體外任一點而比較上兩式，得2.考慮圓柱體內(nèi)任一點因此圖19磁感應強度與圓柱體軸線的距離之間的關系圖（2）螺繞環(huán)內(nèi)的磁場解:設螺繞環(huán)單位長度上密繞有匝線圈,導線中電流強度為。圖20

螺繞環(huán)內(nèi)的磁場磁感應強度沿所選回路的環(huán)流為據(jù)磁場環(huán)路定律，有所以（3）長直螺線管內(nèi)中心區(qū)域的磁場圖21利用安培環(huán)流定律計算長直螺線管內(nèi)的磁場過點選一圖示繞行回路abcd

。由磁場環(huán)路定律得所以

1.安培定律而

§12-5安培定律從載流導線中想像的取出一段電流元,長度為,截面積為,在磁感應強度為的磁場中,每個自由電子將受到一洛侖茲力。設導線內(nèi)自由電子的體密度為，在這一小段中這些自由電子所受的總力，即作用在這小段導線上的磁力為（12-27）（12-27）式改寫為（12-27*）（12-27*）式為安培定律的數(shù)學表達式。由該式?jīng)Q定的力稱為安培力。一段有限長的電流在外磁場中所受的力，由下式計算（12-28）解:例：電流流過一半徑為的鉛絲環(huán)，此環(huán)放在的均勻磁場中，環(huán)的平面與磁場垂直，求鉛絲環(huán)所受張力是多少？張力即物體所承受的兩部分間的相互作用力。半圓弧在、兩端受到另半個圓的拉力(即張力),在平衡時,有于是兩無限長直電流之間的相互作用力安培的定義圖22長直電流之間的相互作用力

在處的磁感應強度單位長度上受力完全相同的討論,得（12-29a）（12-29b）與方向相反。方向垂直于，且由指向。作用在上長這一段上的力由(12-27*)式得（12-27*）安培的定義—安培是一恒定電流，若其保持在處于真空中相距1米的兩無限長而圓截面可忽略的平行直導線內(nèi)，則此兩導線之間產(chǎn)生的力在每米長度上等于(N)。

3.載流平面線圈在外磁場中所受的力矩圖23載流平面線圈在外磁場中所受的力矩這一對大小相等,方向相反,但作用線不重合的力構(gòu)成力偶。力偶矩的大小為磁矩矢量的方向與線圈平面的法線平行，有（12-30）（12-30）式具有一般性。圖24任一平面線圈可以看作許多小矩形線圈的組合有磁感應通量的增量為圖25磁力所作的功

§12-6關于磁力的功

1.磁力對載流導線作的功在導線移動過程中，磁力所作的功為（12-31）

2.磁力對旋轉(zhuǎn)的載流線圈所作的功圖25磁力矩所作的功設線圈轉(zhuǎn)過極小的角度,使與之間的夾角從增為+。則磁力矩所作的功為（12-32）（12-33）當線圈從轉(zhuǎn)到時，對應的磁感應通量從Ф1變到Ф2，磁力矩所作的總功為

如果電流是隨時間而變的,磁力作功的一般表達式為（12-34）[例]測定磁感應強度常用的實驗裝置——磁秤如圖所示，它的一臂下面掛有矩形線圈，寬為b，長為l，共有N匝，線圈的下端放在待測的均勻磁場中,其平面與磁感應強度垂直，當線圈中通有電流I時，線圈受到一向上的作用力，使天平失去平衡，調(diào)節(jié)砝碼m使兩臂達到平衡。用上述數(shù)據(jù)求待測磁場的磁感應強度。BI線圈的底邊受到安培力,方向向上,大小為,當天平恢復平衡時，這個向上的安培力恰與所調(diào)整砝碼的重量相等，由此可得故待測磁場的磁感應強度由圖可見，作用在兩側(cè)直邊上的力大小相等，方向相反，它們相互抵消。[解]如N=9匝，b=10.0cm，I=0.10A，加kg砝碼才能恢復平衡，代入上式得§12-7霍爾效應將一導電板放在垂直于它的磁場中，當有電流通過時，在導電板的P1、P2兩側(cè)會產(chǎn)生一電勢差U1U2,這種現(xiàn)象稱為霍爾效應。（1）洛侖茲力的大小P1、P2間形成電勢差后，載流子受到的電力平衡時電流強度與運動速度之間的關系為代入上式得與式比較，得（1）[例]把一寬為2.0cm，厚1.0mm的銅片，放在B=1.5T的磁場中，磁場垂直通過銅片。如果銅片載有電流200A，求呈現(xiàn)在銅片上下兩側(cè)間的霍耳電勢差有多大？每個銅原子中只有一個自由電子，故單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)n即等于單位體積內(nèi)的原子數(shù)。已知銅的相對原子質(zhì)量為64，1mol銅（0.064kg）有6.0×1023個原子（阿伏加德羅常數(shù)），銅的密度為9.0×103kg/m3，所以銅片中自由電子的密度[解]銅片中電流為200A時，霍耳電勢差只有22μV，可見在通常情況下銅片中的霍爾效應是很弱的。在半導體中，載流子濃度n遠小于金屬中自由電子的濃度，因此可得到較大的霍耳電勢差。在這些材料中能產(chǎn)生電流的數(shù)量級約為1mA，如果選用和例中銅片大小相同的材料，取I=0.1mA，n=1020m-3，則可算出其霍耳電勢差約為9.4mV，用一般的毫伏表就能測量出來?；舳妱莶?/p>

1.從畢─薩─拉定律能導出無限長直電流的磁場公式