第十章.動(dòng)量定理(哈工大理論力學(xué))

動(dòng)力學(xué)實(shí)際上的問題是：1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。2、大量的問題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)情況。動(dòng)力學(xué)普遍定理概述對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題：建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求解。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題：理論上講，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出3n個(gè)微分方程，聯(lián)立求解它們即可。

從本章起,將要講述解答動(dòng)力學(xué)問題的其它方法,而首先要討論的是動(dòng)力學(xué)普遍定理(包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。第十章動(dòng)量定理動(dòng)力學(xué)

動(dòng)量、動(dòng)量矩和動(dòng)能定理從不同的側(cè)面揭示了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系總體的運(yùn)動(dòng)變化與其受力之間的關(guān)系，可用以求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題。

動(dòng)量、動(dòng)量矩和動(dòng)能定理稱為動(dòng)力學(xué)普遍定理。 本章將闡明及應(yīng)用動(dòng)量定理第十章動(dòng)量定理第十章動(dòng)量定理§10-1動(dòng)量與沖量§10-2動(dòng)量定理§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理幾個(gè)概念

一.質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要概念。質(zhì)心C點(diǎn)的位置：

在均勻重力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置重合。可采用靜力學(xué)中確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。內(nèi)力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對(duì)任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：二、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力外力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。第十章動(dòng)量定理幾個(gè)實(shí)際問題第十章動(dòng)量定理幾個(gè)實(shí)際問題§10-1動(dòng)量與沖量一、動(dòng)量1、動(dòng)量的定義（1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m

與速度v

的乘積mv

稱為該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。動(dòng)量是矢量，方向與質(zhì)點(diǎn)速度方向一致。（2）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和稱為該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。用p

表示，即有單位§10-1動(dòng)量與沖量

（2）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的投影式

以px，py和pz分別表示質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在固定直角坐標(biāo)軸x，y和z上的投影，則有例如：射出的子彈、船的靠岸§10-1動(dòng)量與沖量2、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的簡(jiǎn)捷求法

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

§10-1動(dòng)量與沖量質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C的矢徑表達(dá)式為

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的質(zhì)心一般也是運(yùn)動(dòng)的，將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，即得

能得到什么結(jié)論？質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。投影到各坐標(biāo)軸上有

§10-1動(dòng)量與沖量

可見，如質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量主矢=0，只說明其質(zhì)心靜止不動(dòng)，而質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)可各自運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量是描述質(zhì)點(diǎn)系隨質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的一個(gè)物理量，它不能描述質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)問題將在動(dòng)量矩定理討論?！?0-1動(dòng)量與沖量例10-1：橢圓規(guī)尺BD的質(zhì)量為2m1；曲柄OA的質(zhì)量為m1；滑塊B和D的質(zhì)量均為m2，已知：OA=BA=AD=l；曲柄和尺的質(zhì)心分別在其中點(diǎn)上；曲柄繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為常量，試求當(dāng)曲柄OA與水平成角

時(shí)整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量。例10-1§10-1動(dòng)量與沖量例10-1§10-1動(dòng)量與沖量例10-1§11-1動(dòng)量與沖量例10-1曲柄OA的動(dòng)量大小：方向：與vE方向一致，垂直 于OA并順著ω的方向§10-1動(dòng)量與沖量例10-1由于動(dòng)量pOA的方向也與vA的方向一致，所以整個(gè)橢圓機(jī)構(gòu)的動(dòng)量方向與vA相同，而大小等于§10-1動(dòng)量與沖量二、沖量1、常力的沖量

常力與作用時(shí)間t的乘積F·t稱為常力的沖量。并用I表示，沖量是矢量，方向與力相同。2、變力的沖量

若力F是變力，可將力的作用時(shí)間t分成無數(shù)的微小時(shí)間dt，在每個(gè)dt內(nèi)，力F可視為不變。元沖量——力F在微小時(shí)間段dt內(nèi)的沖量稱為力F的元沖量。變力F

在t1~t2

時(shí)間間隔內(nèi)的沖量為：?jiǎn)挝唬篘·s從起始點(diǎn)開始的沖量為：

上式為一矢量積分，具體計(jì)算時(shí)，可投影于固定坐標(biāo)系上

§10-1動(dòng)量與沖量§10-2動(dòng)量定理

因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為，對(duì)該式兩端求導(dǎo)數(shù)，得分析右端，把作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力F分為內(nèi)力F(i)和外力F(e)，則得：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式§10-2動(dòng)量定理

即，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于它上所有外力的矢量和，這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式。常稱為動(dòng)量定理。

具體計(jì)算時(shí)，往往寫成投影形式，即即，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在固定軸上的投影對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于該質(zhì)點(diǎn)系所有外力在同一軸上的投影的代數(shù)和?！?0-2動(dòng)量定理一、動(dòng)量定理二、沖量定理設(shè)在t1到t2過程中，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量由p1變?yōu)閜2，則對(duì)上式積分，可得即，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在一段時(shí)間內(nèi)的變化量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在同一段時(shí)間內(nèi)的沖量的矢量和，這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式。常稱為質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式§10-2動(dòng)量定理二、沖量定理具體計(jì)算時(shí)，往往寫成投影形式，即即，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在某固定軸上投影的變化量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔內(nèi)的沖量在同一軸上的投影的代數(shù)和?！?0-2動(dòng)量定理三、動(dòng)量守恒定理

1、如果在上式中，則有 在運(yùn)動(dòng)過程中，如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和始終等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定理結(jié)論其中：p0

為質(zhì)點(diǎn)系初始瞬時(shí)的動(dòng)量動(dòng)量定理

§10-2動(dòng)量定理§10-2動(dòng)量定理§10-2動(dòng)量定理例10-2：火炮(包括炮車與炮筒)的質(zhì)量是m1，炮彈的質(zhì)量是m2，炮彈相對(duì)炮車的發(fā)射速度是vr，炮筒對(duì)水平面的仰角是α(圖a)。設(shè)火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車相固連，試求火炮的后坐速度和炮彈的發(fā)射速度。例10-2§10-2動(dòng)量定理例10-2解：取火炮和炮彈(包括炸藥)為研究對(duì)象

設(shè)火炮的反坐速度是u，炮彈的發(fā)射速度是v，對(duì)水平面的仰角是θ。

炸藥(其質(zhì)量略去不計(jì))的爆炸力是內(nèi)力，作用在系統(tǒng)上的外力在水平軸x的投影等于零，即有

可見，系統(tǒng)的動(dòng)量在x軸上的投影守恒，考慮到初始瞬時(shí)系統(tǒng)處于靜止，即有，于是有§10-2動(dòng)量定理例10-2

另一方面，對(duì)于炮彈應(yīng)用速度合成定理，可得

考慮，并將上式投影到軸x和y上，就得到：

聯(lián)立求解上列三個(gè)方程，即得§10-2動(dòng)量定理例10-2

討論

由上式可見，v與vr方向不同，當(dāng)m1>>m2

時(shí)，。但在軍艦或車上時(shí)，應(yīng)該考慮修正量

例3質(zhì)量為M的大三角形柱體,放于光滑水平面上,斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時(shí),大三角形柱體的位移。動(dòng)力學(xué)解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。受力分析，水平方向常量。由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；則設(shè)大三角塊速度，小三角塊相對(duì)大三角塊速度為，則小三角塊運(yùn)動(dòng)分析，§10-2動(dòng)量定理運(yùn)動(dòng)分析，設(shè)經(jīng)過ｔ時(shí)間后，流體AB運(yùn)動(dòng)到位置ab，

例4

流體流過彎管時(shí)，在截面A和B處的平均流速分別為求流體對(duì)彎管產(chǎn)生的動(dòng)壓力(附加動(dòng)壓力)。設(shè)流體不可壓縮，流量Q(m3/s)為常量，密度為(kg/m3）。動(dòng)力學(xué)解：取截面A與B之間的流體作為研究的質(zhì)點(diǎn)系。受力分析如圖示。由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理；得§10-2動(dòng)量定理靜反力，動(dòng)反力

計(jì)算時(shí)，常采用投影形式與相反的力就是管壁上受到的流體作用的動(dòng)壓力．動(dòng)力學(xué)即§10-2動(dòng)量定理§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)量中心(質(zhì)心)

計(jì)算質(zhì)心位置時(shí)，常采用直角坐標(biāo)的投影形式，即

§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

1、定理的表達(dá)式

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量：

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：

即，質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系所有外力的矢量和(主矢)，這就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理2、定理的轉(zhuǎn)化形式

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

假設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)部分構(gòu)成

3、投影表達(dá)式

§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

三、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理

1、如果定理的表達(dá)式，則有上式可知，從而有

思考題：這時(shí)會(huì)有什么現(xiàn)象？即，如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和(主矢)始終等于零，則質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒，即質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)；如果在初瞬時(shí)質(zhì)心處于靜止，則它將停留在原處。

§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理投影表達(dá)式

2、如果定理的表達(dá)式，則由上式可知，從而有

即，如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某固定軸上投影的代數(shù)和始終等于零，則質(zhì)心在該軸方向的運(yùn)動(dòng)守恒；另，如初瞬時(shí)質(zhì)心的速度在該軸上的投影也等于零，則質(zhì)心沿該軸的位置坐標(biāo)不變。

思考題：這時(shí)會(huì)有什么現(xiàn)象？§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理內(nèi)力（發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生）不能改變汽車的運(yùn)動(dòng)輪胎做成各種花紋，提高摩擦力哈爾濱的冬天，汽車打滑；火車鐵軌上加沙子；§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理例10-5：如圖所示，在靜止的小船上，一人自船頭走到船尾，設(shè)人的質(zhì)量為m2，船的質(zhì)量為m1，船長(zhǎng)l，水的阻力不計(jì)。求船的位移?！?0-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解：人與船組成質(zhì)點(diǎn)系因不計(jì)水的阻力，故外力在水平軸上的投影之和等于零，即。則有又因系統(tǒng)初瞬時(shí)靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。有取坐標(biāo)軸如圖所示，人在走動(dòng)前，系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為人走到船尾時(shí)，船移動(dòng)的距離為s，則質(zhì)心坐標(biāo)為§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求得小船移動(dòng)的位移

討論1、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力（鞋底與船間摩擦力）雖不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但能改變系統(tǒng)中各部分的（人與船）的運(yùn)動(dòng)。2、靠碼頭的小船會(huì)因人上岸而離岸后退，為防止，應(yīng)在岸上將船拴住。例10-6

均質(zhì)曲柄AB長(zhǎng)為r,質(zhì)量為m1,假設(shè)受力偶作用以不變的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活塞D,如圖所示。滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為m2,質(zhì)心在點(diǎn)C

.在活塞上作用一恒力F。不計(jì)摩擦及滑塊B的質(zhì)量,求:作用在曲柄軸A處的最大水平約束力Fx。

§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理顯然,最大水平約束力為應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,解得解:如圖所示§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理對(duì)前邊的例題修改：考慮滑槽內(nèi)滑塊的質(zhì)量m，滑槽、連桿和活塞的質(zhì)量為m2，求水平約束力和垂直約束力。解：應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,解得得§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求作用在曲柄軸A處垂直約束力。選取桿AB和滑塊B為研究的質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,解得得

例10-7電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子和外殼的質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為。定子和機(jī)殼質(zhì)心,轉(zhuǎn)子質(zhì)心

,角速度為常量。求基礎(chǔ)的水平及鉛直約束力.§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得解:由§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理方向:動(dòng)約束力-靜約束力=附加動(dòng)約束力本題的附加動(dòng)約束力為方向:

電機(jī)不轉(zhuǎn)時(shí),,稱靜約束力;電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的約束力稱動(dòng)約束力,上面給出的是動(dòng)約束力.§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求:(1)電機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng).(2)電機(jī)跳起的最小角速度

例10-8

地面水平,光滑,已知,,,初始靜止,

常量.§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由

,得§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理電機(jī)在水平方向沒有受到外力，且初始靜止，因此系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)xc保持不變。解:（1）電機(jī)在水平方向的運(yùn)動(dòng)§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解:（2）電機(jī)跳起的最小角速度在上一例題中求得支撐面的鉛直反力鉛直反力的最小值為

思考題電機(jī)是否會(huì)跳起？起跳的條件是什么？電機(jī)起跳的條件為：起跳的最小角速度為：§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理實(shí)例分析§10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理例10-9:單擺B的支點(diǎn)固定在一可沿光滑的水平直線軌道平移的滑塊A上，設(shè)A，B的質(zhì)量分別為mA，mB。運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，試求單擺B的軌跡方程§10-3質(zhì)