第03章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制

第3章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制

3.1滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)條件

3.2等效控制及滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

3.3滑模變結(jié)構(gòu)控制匹配條件及不變性

3.4滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)基本方法

3.5基于比例切換的滑模變結(jié)構(gòu)控制

3.6基于趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制

3.7基于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

若系統(tǒng)初始狀態(tài)點(diǎn)處在切換面之外，則要求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)必須趨向切換面，且在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面，即滿足到達(dá)條件。否則，系統(tǒng)就無法啟動(dòng)滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)。

一般滑動(dòng)模態(tài)的到達(dá)條件為

即

其中為切換函數(shù)

3.1滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)條件(3.1.1)(3.1.2)

由于狀態(tài)離切換面可以任意遠(yuǎn),故到達(dá)條件式(3.1.1)也稱為廣義(全局)到達(dá)條件。

3.1滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)條件

為了保證在有限時(shí)刻到達(dá)，避免漸近趨近的情況出現(xiàn)。可對式(3.1.1)進(jìn)行修正，取為

其中為任意小正數(shù)。(3.1.3)通常將式(3.1.1)表達(dá)成李雅普諾夫函數(shù)型到達(dá)條件

(3.1.4)

滿足上述到達(dá)條件的滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，其狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡都將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面，并啟動(dòng)滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)。3.2.1等效控制設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

3.2等效控制及滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程如果達(dá)到理想的滑動(dòng)模態(tài)，則其中為控制輸入，為時(shí)間。

即

或(3.2.1)(3.2.2)式(3.2.2)中稱為系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)區(qū)內(nèi)的等效控制，一般用表示。

3.2.1等效控制例如，對于線性系統(tǒng)取切換函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)后的等效控制為，

(3.2.3)

(3.2.4)則由式(3.2.3)有(3.2.5)若矩陣滿秩，

則可解出等效控制(3.2.6)

3.2.2滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

將等效控制代入系統(tǒng)的狀態(tài)方程式(3.2.1)，可得系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

將式(3.2.6)代入式(3.2.3)可得線性系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程如下：(3.2.7)為單位矩陣。(3.2.8)其中補(bǔ)充：滑模變結(jié)構(gòu)控制MatlabP50&2.6在滑?？刂浦校刃Э刂票ＷC系統(tǒng)的狀態(tài)在滑模面上，切換控制保證系統(tǒng)的狀態(tài)不離開滑模面。

3.3滑模變結(jié)構(gòu)控制匹配條件及不變性

不變性：實(shí)現(xiàn)滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)不依賴于外部擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)的性質(zhì)，也可叫魯棒性、自適應(yīng)性。是滑模變結(jié)構(gòu)控制受到重視的最主要原因。對于線性系統(tǒng)，不變性的成立需滿足滑動(dòng)模態(tài)的匹配條件。對于擾動(dòng)和攝動(dòng)的作用的不同情況，分三種情況予以討論：

（1）當(dāng)系統(tǒng)受到外干擾時(shí)

(3.3.1)

其中表示系統(tǒng)所受的外干擾。滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)不受干擾影響的充要條件為(3.3.2)

3.3滑模變結(jié)構(gòu)控制匹配條件及不變性

假如式(3.3.2)滿足，則系統(tǒng)可化為其中有，通過設(shè)計(jì)控制律可實(shí)現(xiàn)對干擾的完全補(bǔ)償。條件式(3.3.2)稱為干擾和系統(tǒng)的完全匹配條件。（2）當(dāng)系統(tǒng)存在不確定性時(shí)(3.3.3)(3.3.4)滑動(dòng)模態(tài)與不確定性無關(guān)的充分必要條件為(3.3.5)假如式(3.3.5)滿足，則系統(tǒng)可化為

3.3滑模變結(jié)構(gòu)控制匹配條件及不變性

(3.3.6)其中有。通過設(shè)計(jì)控制律可實(shí)現(xiàn)對不確定性的完全補(bǔ)償。條件式(3.3.5)稱為不確定性和系統(tǒng)的完全匹配條件。（3）當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)存在外干擾和不確定性時(shí)(3.3.7)若同時(shí)滿足匹配條件式（3.3.2）和（3.3.5），則系統(tǒng)可化為(3.3.8)通過設(shè)計(jì)控制律實(shí)現(xiàn)同時(shí)對不確定性和外干擾的完全補(bǔ)償。

3.4滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)基本方法1.設(shè)計(jì)切換函數(shù)，使得所確定的滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)漸近穩(wěn)定且具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

1)二階單輸入系統(tǒng)（規(guī)范空間）線性切換函數(shù)為

由于選擇和為狀態(tài)，所以，只有時(shí)，在切換面上的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡才會(huì)漸近趨向原點(diǎn)，即保證了系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。

【注】規(guī)范空間：以狀態(tài)和狀態(tài)變化率為坐標(biāo)構(gòu)成的空間(3.4.1)

3.4滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)基本方法而選擇不同的值時(shí)，切換面上的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡趨向原點(diǎn)的速度是不同的，越大，對于相同的，的變化率越大，從而趨近速度越快。圖3.4.1，切換函數(shù)的參數(shù)分別選取和作出圖示說明。圖3.4.1

3.4滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)基本方法2)高階單輸入系統(tǒng)（一般狀態(tài)空間）

線性切換函數(shù)為

參數(shù)的確定是至關(guān)重要的，所設(shè)計(jì)的參數(shù)必須使系統(tǒng)在切換面上的滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)是漸近穩(wěn)定的。一般地，考慮如下系統(tǒng)：(3.4.2)(3.4.3)在滑模控制中，參數(shù)應(yīng)滿足多項(xiàng)式：當(dāng)n=2，

3.4滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)基本方法2.設(shè)計(jì)控制律，使到達(dá)條件得到滿足，從而在切換面上形成滑動(dòng)模態(tài)區(qū)。

下面給出幾種常用的控制結(jié)構(gòu)形式

通過Ackermann公式來求解其參數(shù)，具體方法如下：其中為期望選取的特征值。(3.4.4)

3.4滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)基本方法1)常值切換控制（bang-bang控制）(3.4.5)其中為待求常數(shù)。2)函數(shù)切換控制(3.4.6)這是以等效控制為基礎(chǔ)的控制結(jié)構(gòu)形式。3)比例切換控制其中，，和為常數(shù)。(3.4.7)

3.5基于比例切換的滑模變結(jié)構(gòu)控制控制對象

【例3.5.1】考慮如下被控對象模型：(3.5.1)其中，，。相應(yīng)狀態(tài)空間模型方程為：其中，，。即有(3.5.2)(3.5.3)

3.5基于比例切換的滑模變結(jié)構(gòu)控制2.控制器設(shè)計(jì)（以位置跟蹤系統(tǒng)為例）設(shè)位置給定信號(hào)為，將系統(tǒng)的位置誤差和位置誤差變化率作為狀態(tài)變量，即：取切換函數(shù)為根據(jù)比例切換控制方法，取控制律為(3.5.4)(3.5.5)(3.5.6)其中和為大于零的常數(shù)。Matlab仿真案例：基于比例切換函數(shù)的滑模控制

考慮如下時(shí)變函數(shù)：其中將傳遞函數(shù)描述為狀態(tài)方程的形式：

其中預(yù)備知識(shí)：關(guān)于Matlab的ODE45函數(shù)的用法。

clearall;closeall;globalSAFcalfabetaxk=[0,0];ts=0.001;T=1;TimeSet=[0:ts:T];[t,y]=ode45('chap2_1eq',TimeSet,xk,[],[]);x1=y(:,1);x2=y(:,2);ifS==1rin=1.0;drin=0;elseifS==2rin=A*sin(F*2*pi*t);drin=A*F*2*pi*cos(F*2*pi*t);ende1=rin-x1;e2=drin-x2;s=c*e1+e2;fork=1:1:T/ts+1u(k)=(alfa*abs(e1(k))+beta*abs(e2(k)))*sign(s(k));endfigure(1);plot(t,rin,'r',t,y(:,1),'b');xlabel('time(s)');ylabel('Positiontracking');figure(2);plot(t,u,'r');xlabel('time(s)');ylabel('u');figure(3);plot(e1,e2,'r',e1,-c*e1,'b');xlabel('time(s)');ylabel('Phasetrajectory');functiondx=PlantModel(t,x,flag,para)globalSAFcalfabetadx=zeros(2,1);S=1;%S=1時(shí)為階躍響應(yīng)，S=2時(shí)為正弦響應(yīng)%ifS==1rin=1.0;drin=0;elseifS==2A=0.5;F=3;rin=A*sin(F*2*pi*t);drin=A*F*2*pi*cos(F*2*pi*t);endc=30;alfa=500;beta=10;e1=rin-x(1);e2=drin-x(2);s=c*e1+e2;u=(alfa*abs(e1)+beta*abs(e2))*sign(s);dx(1)=x(2);dx(2)=-(25+5*sin(3*2*pi*t))*x(2)+(133+50*sin(1*2*pi*t))*u;案例分析：見教材P25（滑模變結(jié)構(gòu)控制Matlab）.

一個(gè)簡單的滑?？刂瓢咐?。

3.6基于趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)包括趨近運(yùn)動(dòng)和滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)兩個(gè)過程。根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制原理，滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)條件僅保證狀態(tài)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)由狀態(tài)空間中任意初始位置在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面，而對于趨近運(yùn)動(dòng)的具體軌跡未做任何限制，若采用趨近律的方法，則可以改善趨近運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

在2.3.4節(jié)中介紹了常見的幾種趨近律。3.6.1基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)

1.控制器的設(shè)計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：(3.6.1)3.6.1基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)采用趨近律的控制方式，設(shè)切換函數(shù)為從而其中slaw代表趨近律，例如，采用指數(shù)趨近律，則有其中和皆為正實(shí)數(shù)。將式(3.6.1)代入(3.6.3)中，即有(3.6.2)(3.6.3)(3.6.4)(3.6.5)從而可以得到控制作用如下：(3.6.7)幾種常見的趨近律:3.6.1基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)2.實(shí)例

【例3.6.1】選擇被控對象為(3.6.8)其中，。即有(3.6.9)采用指數(shù)趨近律為例。選擇切換函數(shù)為取，即。指數(shù)趨近律為

，其中取，。3.6.1基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)將的值代入(3.6.7)式，可得控制律式為(3.6.10)采用Matlab的M語言建立仿真程序，可得到直觀結(jié)果?！痘Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真》，劉金琨，清華大學(xué)出版社，2005。

趨近律參數(shù)選擇原則：以如下指數(shù)趨近律為例：指數(shù)趨近律是趨近效果比較好的一種趨近律。在趨近過程中，指數(shù)趨近律的趨近速度是變化的，具有既可以加快趨近時(shí)間又也可以削弱抖振的優(yōu)點(diǎn)。(3.6.11)3.6.1基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)

當(dāng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)遠(yuǎn)離切換面時(shí)，趨近速度主要取決于項(xiàng)。而當(dāng)?shù)竭_(dá)切換面附近時(shí)，由于變得很小，趨近速度則主要取決于項(xiàng)的大小。常將值取得較大，使?fàn)顟B(tài)點(diǎn)快速趨近切換面；而將值取得較小，從而使切換面附近的趨近速度較小，這樣就可以保證系統(tǒng)以較小的速度到達(dá)切換面，削弱了抖振?；谮吔傻幕？刂芃atlab分析案例：clearall;closeall;globalMABCeqkts=0.001;T=2;TimeSet=[0:ts:T];c=15;C=[c,1];para=[c];[t,x]=ode45('chap2_4eq',TimeSet,[0.500.50],[],para);x1=x(:,1);x2=x(:,2);s=c*x(:,1)+x(:,2);ifM==2forkk=1:1:T/ts+1xk=[x1(kk);x2(kk)];sk(kk)=c*x1(kk)+x2(kk);slaw(kk)=-eq*sign(sk(kk))-k*sk(kk);%Exponentialtrendinglawu(kk)=inv(C*B)*(-C*A*xk+slaw(kk));endendfigure(1);plot(x(:,1),x(:,2),'r',x(:,1),-c*x(:,1),'b');xlabel('x1');ylabel('x2');figure(2);plot(t,x(:,1),'r');xlabel('time(s)');ylabel('x1');figure(3);plot(t,x(:,2),'r');xlabel('time(s)');ylabel('x2');figure(4);plot(t,s,'r');xlabel('time(s)');ylabel('s');ifM==2figure(5);plot(t,u,'r');xlabel('time(s)');ylabel('u');end子程序functiondx=DynamicModel(t,x,flag,para)globalMABCeqka=25;b=133;c=para(1);s=c*x(1)+x(2);A=[01;0-a];B=[0;b];M=2;eq=5.0;ifM==1%M=1為等速趨近律，M=2為指數(shù)趨近律，

M=3為冪次趨近律，M=4為一般趨近律slaw=-eq*sign(s);%EqualvelocitytrendinglawelseifM==2k=10;slaw=-eq*sign(s)-k*s;%ExponentialvelocitytrendinglawelseifM==3k=10;alfa=0.50;slaw=-k*abs(s)^alfa*sign(s);%PowertrendinglawelseifM==4k=1;slaw=-eq*sign(s)-k*s^3;%Generaltrendinglawendu=inv(C*B)*(-C*A*x+slaw);dx=zeros(2,1);dx(1)=x(2);dx(2)=-a*x(2)+b*u;3.6.2基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)1.控制器設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)方程如下(3.6.12)其中此時(shí)的系統(tǒng)稱為滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的簡約型，對于任意能控系統(tǒng)，均可以選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變換將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為簡約型。此處，設(shè)定上式中的，，即系統(tǒng)為單輸入二階系統(tǒng)。3.6.2基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)則(3.6.13)設(shè)給定信號(hào)為，則誤差為誤差變化率為(3.6.14)設(shè)，誤差向量為，則切換函數(shù)為

即有(3.6.15)(3.6.16)3.6.2基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)采用趨近律slaw，將式(3.6.13)代入式（3.6.16）中，得控制律為(3.6.17)2.實(shí)例

【例3.6.2】選擇被控對象為(3.6.18)其中，。即有(3.6.19)按照控制器的設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。3.6.2基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)誤差為誤差變化率為(3.6.21)

切換函數(shù)為取，從而，由式(3.6.15)得系統(tǒng)控制作用為(3.6.20)(3.6.22)(3.6.23)slaw取為指數(shù)趨近律：3.6.2基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)(3.6.23)其中，。補(bǔ)充P29&2.2基于趨近律的滑模控制。P29&2.2基于趨近律的滑模魯棒控制。

3.7基于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

1準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)定義

所謂準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)，是指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡被限制在切換面的某一鄰域內(nèi)的模態(tài)。從相軌跡方面來說，具有理想滑動(dòng)模態(tài)的控制是使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)均被吸引至切換面。而準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制則是使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)均被吸引至切換面的某一鄰域內(nèi)。通常稱此鄰域?yàn)榛瑒?dòng)模態(tài)切換面的邊界層。在邊界層內(nèi)，準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)不要求滿足滑動(dòng)模態(tài)的存在條件。因此，準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)不要求在切換面上進(jìn)行控制的切換。它可以是在邊界層上進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換的控

控制系統(tǒng)，也可以是根本不進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換的連續(xù)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制在實(shí)現(xiàn)上的這種差別，使它從根本上避免或削弱了抖振（作用），從而在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用。在連續(xù)系統(tǒng)中，常用的準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制有以下兩種方法。

(1)用飽和函數(shù)代替理想滑動(dòng)模態(tài)控制作用中的符號(hào)函數(shù)。

3.7基于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

3.7基于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

其中稱為“邊界層”。飽和函數(shù)如圖3.7.1所示。圖3.7.1(3.7.1)

3.7基于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

控制律中采用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，其控制作用在本質(zhì)上已變?yōu)椋涸谶吔鐚油猓捎们袚Q控制；在邊界層內(nèi)采用線性化反饋控制。，(2)將繼電特性連續(xù)化，用連續(xù)函數(shù)取代符號(hào)函數(shù)其中是很小的正常數(shù)。2.實(shí)例

【例3.7.1】仍選擇被控對象為(3.7.2)其中，。即有

3.7基于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

(3.7.3)(3.7.4)

按照3.6節(jié)控制器的設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)一個(gè)基于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的位置跟蹤滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)。由式(3.6.22)得系統(tǒng)控制作用為(3.7.5)

3.7基于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

slaw取為指數(shù)趨近律：(3.7.6)其中，。

現(xiàn)采用飽和函數(shù)取代控制作用中的符號(hào)函數(shù)，即可實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)下的滑模變結(jié)構(gòu)控制。作用：準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)下的滑模變結(jié)構(gòu)控制具有削弱抖振的效果globalabcAFMepkdeltats=0.001;T=5;TimeSet=[0:ts:T];c=5.0;para=[];[t,x]=ode45('figure2_8eq',TimeSet,[-0.50],[],para);x1=x(:,1);x2=x(:,2);r=A*sin(2*pi*F*t);dr=A*2*pi*F*cos(2*pi*F*t);ddr=-A*(2*pi*F)^2*sin(2*pi*F*t);s=c*(r-x(:,1))+dr-x(:,2);ifM==1slaw=-ep*sign(s)-k*s;%Exponentialvelocitytrendinglawu=1/b*(c*(dr-x(2))+ddr-slaw+a*x(2));elseifM==2kk=1/delta;fori=1:1:T/ts+1;ifs(i)>deltasats(i)=1;elseifabs(s(i))<=deltasats(i)=kk*s(i);elseifs(i)<-deltasats(i)=-1;endslaw(i)=-ep*sats(i)-k*s(i);u(i)=1/b*(c*(dr(i)-x2(i))+ddr(i)-slaw(i)+a*x2(i));endelseifM==3fori=1:1:T/ts+1;ths(i)=s(i)/(abs(s(i))+delta);slaw(i)=-ep*ths(i)-k*s(i);u(i)=1/b*(c*(dr(i)-x2(i))+ddr(i)-slaw(i)+a*x2(i));endendfigure(1);plot(t,r,'r',t,x(:,1),'b');xlabel('time(s)');ylabel('r,yout');figure(2);plot(t,r-x(:,1),'r');xlabel('time(s)');ylabel('error');figure(3);plot(r-x(:,1),dr-x(:,2),'r',r-x(:,1),-c*(r-x(:,1)),'b');%drawline(s=0)xlabel('e');ylabel('de');figure(4);plot(t,s,'r');xlabel('time(s)');ylabel('s');figure(5);plot(t,u,'r');xlabel('time(s)');ylabel('u');functiondx=DynamicModel(t,x,flag,para)globalabcAFMepkdeltaa=25;b=133;A=0.50;F=1.0;r=A*sin(2*pi*F*t);dr=A*2*pi*F*cos(2*pi*F*t);ddr=-A*(2*pi*F)^2*sin(2*pi*F*t);s=c*(r-x(1))+dr-x(2);k=30;ep=15;M=3;ifM==1slaw=-ep*sign(s)-k*s;%ExponentialvelocitytrendinglawelseifM==2%Saturatedfunctiondelta=0.05;kk=1/delta;ifs>deltasats=1;elseifabs(s)<=deltasats=kk*s;elseifs<-deltasats=-1;endslaw=-ep*sats-k*s;elseifM==3delta=0.05;ths=s/(abs(s)+delta);slaw=-ep*ths-k*s;endu=1/b*(c*(dr-x(2))+ddr-slaw+a*x(2));%StateEquationdx=zeros(2,1);dx(1)=x(2);dx(2)=-a*x(2)+b*u;仿真程序如下主程序：figure2_8.mclearall;closeall;globalabcAFMepkdeltats=0.001;T=5;TimeSet=[0:ts:T];c=5.0;para=[];[t,x]=ode45('figure2_8eq',TimeSet,[-0.50],[],para);x1=x(:,1);x2=x(:,2);r=A*sin(2*pi*F*t);dr=A*2*pi*F*cos(2*pi*F*t);ddr=-A*(2*pi*F)^2*sin(2*pi*F*t);s=c*(r-x(:,1))+dr-x(:,2);ifM==1slaw=-ep*sign(s)-k*s;%Exponentialvelocitytrendinglawu=1/b*(c*(dr-x(2))+ddr-slaw+a*x(2));elseifM==2kk=1/delta;fori=1:1:T/ts+1;ifs(i)>deltasats(i)=1;elseifabs(s(i))<=deltasats(i)=kk*s(i);elseifs(i)<-deltasats(i)=-1;endslaw(i)=-ep*sats(i)-k*s(i);u(i)=1/b*(c*(dr(i)-x2(i))+ddr(i)-slaw(i)+a*x2(i));endelseifM==3fori=1: