第2章-信號(hào)與噪聲

第2章信號(hào)與噪聲本章主要內(nèi)容預(yù)備知識(shí):信號(hào)與系統(tǒng)、卷積和相關(guān)1、信號(hào)的頻譜分析2、卷積和相關(guān)3、信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)4、隨機(jī)信號(hào)及頻譜分析5、噪聲信號(hào)分類（預(yù)備知識(shí)）數(shù)字信號(hào)和模擬信號(hào)周期信號(hào)和非周期信號(hào)確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)：可以用確定的時(shí)間函數(shù)來(lái)表示；隨機(jī)信號(hào)：不能用確定的時(shí)間函數(shù)來(lái)表示，但具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。信號(hào)分類（續(xù)）能量信號(hào)和功率信號(hào)功率：電壓u(t)或電流i(t)在電阻R上的瞬時(shí)功率。其歸一化功率為：p（t）=f2（t）， 其中f（t）為電壓或電流信號(hào)。能量：功率對(duì)時(shí)間的積分。P=0E=∞能量信號(hào)：指的是一個(gè)有界的、持續(xù)時(shí)間有限的信號(hào)，信號(hào)能量為有限值，全部時(shí)間的平均功率為零。功率信號(hào)：周期信號(hào)在正負(fù)無(wú)窮大的全部時(shí)間內(nèi)存在，因此它有無(wú)限的能量，但是它的平均功率為有限值。一般說(shuō)來(lái)，周期信號(hào)都是功率信號(hào)，非周期信號(hào)或是能量信號(hào)或是功率信號(hào)，或者既非能量信號(hào)又非功率信號(hào)。系統(tǒng)分類線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)時(shí)不變和時(shí)變系統(tǒng)1、信號(hào)的頻譜分析（確知信號(hào)）（1）周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)形式（通信中廣泛應(yīng)用，是傅里葉變換的基礎(chǔ)）【例】幅度為A，寬度為τ，周期為T(mén)的脈沖序列，用指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)：頻譜（幅度譜）是離散的，脈沖周期越長(zhǎng)，譜線間隔越小。（2）非周期信號(hào)的傅里葉變換非周期信號(hào)可以看成是周期T為無(wú)窮大的信號(hào)。【例】求圖示脈沖的頻譜解:（3）信號(hào)的能量譜密度與功率譜密度能量譜密度結(jié)論：信號(hào)的能量在時(shí)域和頻域是守恒的。為什么要截短？（4）常用信號(hào)的傅里葉變換正弦和余弦信號(hào)2、卷積和相關(guān)（1）卷積時(shí)域卷積定理頻域卷積定理（2）相關(guān)設(shè)兩個(gè)信號(hào)f1(t)和f2(t)

，如果f1(t)和f2(t)不同，是互相關(guān)積分。f1(t)和f2(t)相同，是自相關(guān)積分。相關(guān)是不可交換的，即對(duì)于實(shí)信號(hào)，f*(t)=f(t)，

卷積和相關(guān)的對(duì)比 卷積關(guān)系表明一個(gè)函數(shù)和另一個(gè)折疊函數(shù)的相關(guān)關(guān)系。自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1）能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)R(0)等于信號(hào)的能量2）對(duì)所有τ有

3、信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏敚核^不失真?zhèn)鬏?是指信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后,輸出信號(hào)r(t)與輸入信號(hào)f(t)相比較只是有衰減、放大和時(shí)延,而沒(méi)有波形的失真。用數(shù)學(xué)式表示信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)不產(chǎn)生波形失真,要求系統(tǒng)應(yīng)具備以下兩個(gè)條件:

(1)系統(tǒng)的幅頻特性應(yīng)該是一個(gè)不隨頻率變化的常數(shù)。

(2)系統(tǒng)的相頻特性應(yīng)與頻率成直線關(guān)系。無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件要求系統(tǒng)帶寬無(wú)限寬。顯然這樣的系統(tǒng)在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的。 實(shí)際中，信號(hào)能量總是隨著頻率的增高而減小，因此，只要系統(tǒng)允許信號(hào)絕大多數(shù)能量通過(guò)，就認(rèn)為該系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏敗?補(bǔ)充)信號(hào)帶寬的常用定義3dB帶寬3dB帶寬：指的是比峰值功率小3dB（就是峰值的50％）的頻譜范圍的帶寬；6dB帶寬同上，6dB對(duì)應(yīng)的是峰值功率的25％。當(dāng)計(jì)算A的功率相比于B大或小多少個(gè)dB時(shí)，可按公式10lgA／B計(jì)算。例如：A功率比B功率大一倍，那么10lgA／B＝10lg2＝3dB，也就是說(shuō)，A的功率比B的功率大3dB。4、隨機(jī)信號(hào)分析確定信號(hào)信號(hào)在指定時(shí)間取值為一定值。隨機(jī)信號(hào)信號(hào)參數(shù)不確定，不能預(yù)先確定信號(hào)在任意時(shí)刻的取值，取值具有隨機(jī)性。（1）隨機(jī)過(guò)程無(wú)窮多隨機(jī)函數(shù)的總體在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為隨機(jī)過(guò)程。每一個(gè)隨機(jī)函數(shù)叫做隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)或者一次實(shí)現(xiàn)。無(wú)窮多隨機(jī)函數(shù)的總體在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為隨機(jī)過(guò)程。每一個(gè)隨機(jī)函數(shù)叫做隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)或者一次實(shí)現(xiàn)。（1）隨機(jī)過(guò)程（2）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（補(bǔ)充）隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性分布函數(shù)和概率密度函數(shù)了解隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維分布函數(shù)F(x1,t)的定義；二維分布函數(shù)F(x1,x2,t1,t2)的定義。了解隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維概率密度函數(shù)p(x1,t)的定義；二維概率密度函數(shù)p(x1,x2,t1,t2)的定義。分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的定義一維概率分布函數(shù)為：一維概率密度函數(shù)可以定義為：一維概率分布和密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過(guò)程在某個(gè)時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)分布特性，不能反映隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻取值間的關(guān)聯(lián)程度。X(t1)為隨機(jī)過(guò)程X(t)在t=t1時(shí)刻的取值。N維分布和概率密度函數(shù)的定義n維概率分布函數(shù)為：n維概率密度函數(shù)可以定義為：隨著n的增大，隨機(jī)過(guò)程描述得就越充分，可問(wèn)題的復(fù)雜性也隨之增加，一般掌握二維就足夠了。

隨機(jī)過(guò)程X(t)，如果它的n維概率密度函數(shù)pn(x1,x2,……,xn；t1,t2,…tn)與時(shí)間起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，對(duì)于任何n和τ，X(t)的n

維概率密度函數(shù)滿足

pn(x1,x2,…，xn;t1,t2,…tn) =pn(x1,x2,…，xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)稱為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于某個(gè)n值成立，稱為n

階平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。若對(duì)所有階都是平穩(wěn)的，則稱為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。本書(shū)只討論廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，特點(diǎn)：一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)；二維概率密度函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)。數(shù)字特征：統(tǒng)計(jì)平均和時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)平均1、數(shù)學(xué)期望mX是時(shí)間t的函數(shù)，它表示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心，又叫均值。（3）隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征2、均方值3、方差方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差，表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t對(duì)于均值的偏離程度。隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望和方差都只是與隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，不能反映隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻之間的內(nèi)在聯(lián)系；為了定量地描述隨機(jī)過(guò)程的內(nèi)在聯(lián)系特征（即在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間的相關(guān)程度），引入自相關(guān)函數(shù)。4、自相關(guān)函數(shù)

設(shè)X(t1)和X(t2)是隨機(jī)過(guò)程X(t)在t1和t2的狀態(tài)，p(x1,x2;t1,t2)=p(x1,x2;τ)是相應(yīng)的二維概率密度函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)的定義： 時(shí)間平均：隨機(jī)過(guò)程X(t)的某一特定實(shí)現(xiàn)，對(duì)時(shí)間求平均。設(shè)x(t)是隨機(jī)過(guò)程X(t)的一個(gè)典型的樣本函數(shù)。

1）平均值（直流分量）

2）均方值（總平均功率）

3）方差（交流功率）4）自相關(guān)函數(shù)樣本函數(shù)x(t)的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)定義為：當(dāng)τ=0時(shí)例：設(shè)隨機(jī)變量在（0，2）內(nèi)均勻分布，求Asin的數(shù)學(xué)期望和方差，其中A為常數(shù)。例：求隨機(jī)相位信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和功率。（是否為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）（4）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的遍歷性設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，如果它的統(tǒng)計(jì)平均可用時(shí)間平均來(lái)代替，它的統(tǒng)計(jì)方差可用時(shí)間方差來(lái)代替，它的統(tǒng)計(jì)自相關(guān)函數(shù)也可用時(shí)間自相關(guān)函數(shù)來(lái)代替，則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有遍歷性（各態(tài)歷經(jīng)）。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的各種可能狀態(tài)，每個(gè)實(shí)現(xiàn)可代替整個(gè)隨機(jī)過(guò)程。一般隨機(jī)信號(hào)和噪聲都滿足遍歷條件。（5）隨機(jī)過(guò)程的功率譜對(duì)于確知信號(hào)，通過(guò)傅里葉變換可用頻譜來(lái)描述，但對(duì)于隨機(jī)信號(hào)和噪聲，由于每一個(gè)樣本函數(shù)都是在整個(gè)事件域內(nèi)存在的，因此屬于功率信號(hào)，不能直接用傅里葉變換進(jìn)行頻譜分析，但可以用功率譜來(lái)描述，它和自相關(guān)函數(shù)也是一對(duì)傅立葉變換。隨機(jī)信號(hào)分析時(shí)域分析（自相關(guān)函數(shù)）頻域分析（功率譜密度）例已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，求該平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜。解：練習(xí)若信號(hào)，試求其自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度、信號(hào)功率P。定義：1、輸出過(guò)程Y(t)的數(shù)學(xué)期望（6）隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)2、Y(t)的功率譜：5、噪聲（1）噪聲的分類：按來(lái)源分:自然噪聲、人為噪聲、電路噪聲；按特征分：脈沖型噪聲和連續(xù)型噪聲；按譜形狀分：白噪聲和有色噪聲；按對(duì)信號(hào)作用的方式分：加性和乘性噪聲；按概率密度函數(shù)分：分布服從高斯分布就稱它為高斯噪聲；所謂白噪聲是指功率譜密度函數(shù)在整個(gè)頻率軸上服從均勻分布的一類噪聲。功率譜密度：?jiǎn)挝皇荳/Hz（單邊功率譜密度？）自相關(guān)函數(shù)：（2）白噪聲白噪聲是一個(gè)理想化模型，實(shí)際中，只要噪聲頻譜比所研究的系統(tǒng)頻帶寬得多，并且功率譜在系統(tǒng)帶寬范圍內(nèi)接近常數(shù)，就可以做為白噪聲處理。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)僅在等于0時(shí)才不為零，而對(duì)于其它任意的時(shí)刻，自相關(guān)函數(shù)都為零，所以它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是不相關(guān)的。(補(bǔ)充高斯過(guò)程)若隨機(jī)過(guò)程X(t)的任意n維分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。高斯過(guò)程在任一時(shí)刻的樣值是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，一維概率密度函數(shù)如下：定義：白噪聲的概率密度函數(shù)服從高斯分布（正態(tài)分布）。

（3）高斯白噪聲標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)a=0，時(shí)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（4）窄帶高斯噪聲當(dāng)高斯白噪聲通過(guò)一個(gè)窄帶系統(tǒng)，其輸出噪聲集中在中心頻率附近的帶寬W內(nèi)，這種噪聲稱為窄帶噪聲。窄帶系統(tǒng)是指帶寬W遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其中心頻率的系統(tǒng)。大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶的，可用一個(gè)帶通濾波器模擬。

將一段時(shí)間長(zhǎng)度的高頻信號(hào)的峰值點(diǎn)連線，就可以得到上方（正的）一條線和下方（負(fù)的）一條線，這兩條線就叫包絡(luò)線。包絡(luò)線就是反映高頻信號(hào)幅度變化的曲線。對(duì)于等幅高頻信號(hào)，這兩條包絡(luò)線就是平行線。

緩慢變化的包絡(luò)頻率近似為根據(jù)窄帶噪聲特點(diǎn)，可以定義如下：其中：同相分量正交分量的性質(zhì)：123例1：設(shè)RC低通濾波器如圖所示，當(dāng)輸入均值為0，雙邊功率譜密度為n0/2的白噪聲時(shí)，求輸出噪聲功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。解（1）低通濾波器的傳輸特性為：由隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)的性質(zhì)可知：例2:將一個(gè)均值為0，功率譜密度為的高斯白噪聲加到一個(gè)帶寬為B，中心角頻率為（遠(yuǎn)大于B）的理想