小波奇異性檢測

小波奇異性檢測第一頁，共十七頁，2022年，8月28日斷裂分析是地球物理資料解釋中的一個重要環(huán)節(jié)。人們往往根據(jù)斷裂在地球物理場上所產(chǎn)生的各種異常特征來進行定性和定量解釋，還采用相關(guān)分析，水平一階方向?qū)?shù)，垂向二階導(dǎo)數(shù)，總梯度模，希爾伯特變換等各種方法來推斷解釋斷裂位置、產(chǎn)狀及性質(zhì)[1－3]。為了分析深層的斷裂或判斷斷裂向下延深的情況，往往通過向上延拓的方法來分析，但是，隨著延拓高度增加，異常變得平坦光滑，即使再求水平一階導(dǎo)數(shù)，其特征也變得模糊，不僅難以可靠地分析斷裂空間位置，而且異常的信息也大大減少，這就是以往斷裂分析中存在的問題。

第二頁，共十七頁，2022年，8月28日小波分析是近年來發(fā)展起來的一種新的數(shù)學(xué)分析方法，廣泛應(yīng)用于信號與圖象處理和石油地震勘探。利用小波分析人們成功地實現(xiàn)了地震勘探數(shù)據(jù)的壓縮，地震道的奇性反演，分析石油儲層的詳細結(jié)構(gòu)，信號重建與壓制面波以及提高地震資料的信噪比與分辨率；利用小波多尺度分析方法對重力異常進行分解和多尺度反演，顯示了小波分析方法在地球物理信號處理方面的廣闊前景[3－6]。本文利用小波細節(jié)的微分特征對重力場進行斷裂分析。

第三頁，共十七頁，2022年，8月28日小波分析及其微分特征

——小波分析原理及Mallat算法

對信號f(t)∈L2(R)，其連續(xù)小波變換為，

（1）其中，ψ(t)∈L2(R)稱為小波母函數(shù)，ψa,b(t)為由ψ(t)生成的依賴于參數(shù)ａ和ｂ的連續(xù)小波。在ψ(t)的傅立葉變換滿足條件的前提下，有小波逆變換公式：，（2）

取，則有小波變換離散形式

，

（3）

相應(yīng)的小波逆變換為

，

（4）

第四頁，共十七頁，2022年，8月28日在多分辨分析理論基礎(chǔ)上，Mallat提出了所謂的塔式分解算法，簡述如下：設(shè){Vj}是一多分辨分析，分別是相應(yīng)的尺度函數(shù)和小波函數(shù)，對于整數(shù)J1<J2∈Z，函數(shù)，有以下分解，（5）其中，（6），（7）而

，（8），（9）定義無窮矩陣和，則（8）和（9）式可寫成矩陣形式

小波分析及其微分特征

——小波分析原理及Mallat算法

第五頁，共十七頁，2022年，8月28日，

（10）對（10）式兩端同時與函數(shù)作內(nèi)積，則可得Mallat重構(gòu)算法：，（11）

上述一維空間的多分辨分析及Mallat算法可以很容易推廣到二維空間[11]，只要將原來的{Vj}用{Vj2}取代就可以了。對于信號f(x,y)有類似一維的Mallat分解算法：

，（12）和重構(gòu)算法：

，（13）小波分析及其微分特征

——小波分析原理及Mallat算法

第六頁，共十七頁，2022年，8月28日小波分析及其微分特征

——小波細節(jié)的微分特征與信號奇異性檢測在信號處理中，信號中的奇異點及不規(guī)則的突變部分經(jīng)常帶有比較重要的信息，它是信號重要的特征之一。通常情況下，信號奇異性分兩類：一類是信號在某一時刻內(nèi)，其幅值發(fā)生突變；一類是信號幅值沒有突變，但是，信號一階微分有突變產(chǎn)生。通常用李普西茲指數(shù)（Lipschitz）來描述函數(shù)的局部奇異性。我們知道，小波變換具有空間局部化和頻率局部化性質(zhì)，因此，利用小波變換來分析信號的奇異性是比較有效的。第七頁，共十七頁，2022年，8月28日對一個信號f進行小波分解后，低頻部分a是對信號輪廓的描述，而高頻部分d則是對信號變化的描述，信號變化大，d的值大，變化小，d的值小，在信號突變的位置上，小波變換后的系數(shù)具有模量極大值，因此，小波細節(jié)這一特征與一階微分類似，我們稱之為小波細節(jié)的微分特征。小波分析及其微分特征

——小波細節(jié)的微分特征與信號奇異性檢測第八頁，共十七頁，2022年，8月28日理論模型計算圖1斷裂模型及其產(chǎn)生的重力異常斷裂模型：△σ＝0.1g/cm3,厚2.5km,埋深1和5km.第九頁，共十七頁，2022年，8月28日圖2小波變換結(jié)果：f重力異常；D1f～D5f一階～

五階小波變換重力異常細節(jié)；A5f重力異常五階逼近.可以看到，小波變換后的各階重力異常

細節(jié)突出了原重力異常變化大的部位，

即通常所說的梯度帶或曲線拐點位置，

而其極值點位置正好對應(yīng)著斷裂錯開的

水平位置。由此可見，小波細節(jié)與水平

一階導(dǎo)數(shù)一樣，具有突出地質(zhì)體邊界的

作用。

第十頁，共十七頁，2022年，8月28日實際應(yīng)用

——東秦嶺1：20萬重力斷裂分析圖3東秦嶺1：20萬布格重力異常圖

等值線單位：g.u.(10g.u.=1mGal)第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日（a）一階小波變換細節(jié)

（b）小波變換一階細節(jié)功率譜

（c）原平面水平一次導(dǎo)數(shù)

第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日（a）二階小波變換細節(jié)

（b）小波變換二階細節(jié)功率譜

（c）上延3km后水平一次導(dǎo)數(shù)

第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日（a）三階小波變換細節(jié)

（b）小波變換三階細節(jié)功率譜

（c）上延5km后水平一次導(dǎo)數(shù)

第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日（a）四階小波變換細節(jié)

（b）小波變換四階細節(jié)功率譜

（c）上延10km后水平一次導(dǎo)數(shù)

第十五頁，共十七頁，2022年，8月28日小波變換不但具有“數(shù)學(xué)顯微鏡”的作用，而且小波變換細節(jié)具有微分特征。利用小波變換細節(jié)的微分