第6章剛體力學(xué)

第6章剛體力學(xué)（1）提要?jiǎng)傮w的性質(zhì)剛體的力和力矩剛體的定軸運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)舉例1.剛體的性質(zhì)剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系。剛體中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置始終不變——形變忽略不計(jì)剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體的運(yùn)動(dòng)方式分為：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)（繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）和滾動(dòng)（平動(dòng)＋轉(zhuǎn)動(dòng)）轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動(dòng)。剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為：基點(diǎn)的平動(dòng)+繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)：1）自由剛體的自由度為6，非自由剛體的自由度小于6。2）對(duì)稱剛體的質(zhì)心在對(duì)稱軸上，非對(duì)稱剛體可先設(shè)法分割為若干對(duì)稱剛體，再找其質(zhì)心位置。3）剛體內(nèi)力作功為零。4）剛體內(nèi)力矩為零。剛體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：（自學(xué)并證明）由于剛體不形變的特點(diǎn)，使其具有下列力學(xué)特性：剛體運(yùn)動(dòng)的描述方法：通常以角量描述剛體的運(yùn)動(dòng)?。ń俏恢忙取⒔撬俣圈?/p>

、角加速度β）為什么？1).角速度矢量2).角位置(是矢量還是標(biāo)量？）請(qǐng)思考？但是······證明角速度的矢量性。第一步(合運(yùn)動(dòng)方向滿足矢量合成法則)

：證明合運(yùn)動(dòng)繞OC軸，即OC為定軸。Vo=Vc=0(C為OA和OB構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線上的頂點(diǎn)。)第二步：證明某點(diǎn)P繞OC軸運(yùn)動(dòng)的角速度為：一剛體同時(shí)參與兩種轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為思路凡是矢量就應(yīng)該服從平行四邊形合成法則，而平行四邊形法則服從交換率。請(qǐng)看下圖：應(yīng)該怎樣思考如何解決這一矛盾？（請(qǐng)同學(xué)們展開討論）結(jié)論：當(dāng)角位移為無(wú)窮小量時(shí)，為矢量，否則為標(biāo)量。（可與路程對(duì)照）3).角加速度請(qǐng)根據(jù)角位置θ、角速度ω

、角加速度β一般關(guān)系導(dǎo)出勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角運(yùn)動(dòng)方程。剛體角速度的絕對(duì)性：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。注意！證明剛體角速度的絕對(duì)性3.O2

相對(duì)O1

的運(yùn)動(dòng)的角速度隨O1

的平動(dòng)+繞O1的轉(zhuǎn)動(dòng)1.以O(shè)1為基點(diǎn)研究剛體運(yùn)動(dòng)的角速度：2.以O(shè)2

為基點(diǎn)研究剛體運(yùn)動(dòng)的角速度：4.結(jié)論：角量關(guān)系及角量和線量的關(guān)系、β本來(lái)是矢量，但是在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中軸的方位不變，故只有沿軸的正負(fù)兩個(gè)方向，可以用標(biāo)量代替。2.施于剛體的力系的簡(jiǎn)化（自學(xué)）作用在剛體上的力是滑移矢量作用在剛體上的力不能隨便平移，但可以沿力的作用線滑動(dòng)。幾種特殊力系共點(diǎn)力系：可以等效為一個(gè)力。

所有力的作用線（或其延長(zhǎng)線）交于一點(diǎn)的力系稱為共點(diǎn)力系。顯然，這樣的力系可以等效為大小和方向等于諸力矢量和、作用點(diǎn)就是該交點(diǎn)的一個(gè)力，這就是合力。平行力系：當(dāng)兩平行力同向等大或反向但大小不等時(shí)，可等效為一個(gè)力。（求重心）當(dāng)其等大反向時(shí)，稱為力偶。(1)F1,F2同向，如圖6.5所示。(2)F1,F2反向，但大小不等。(3)F1,F2反向，且F1=﹣F2。

沒(méi)有合力，這一對(duì)平行力稱為力偶。容易驗(yàn)證，該力偶對(duì)于垂直于該平面的任何軸線的力矩相同。（稱該力矩為力偶矩）

仍可用上法求合力。合力F=F1+F2與F1,F2平行，大小為F1,F2大小之差，方向與F1,F2中的較大者相同，但作用線發(fā)生了改變。討論：

求多個(gè)平行力的力系的合力，先求F1,F2的合力，再求該合力與F3的合力，等等。由上述可知，其結(jié)果或?yàn)橐粋€(gè)合力，或?yàn)橐粋€(gè)力偶矩?？捎么朔ㄇ笕舾蒼個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心，即n個(gè)重力的合力。選取平動(dòng)參考系統(tǒng)研究剛體時(shí)，剛體中各質(zhì)點(diǎn)所受的慣性力系為平行力系，各力的大小正比于質(zhì)量。這好象出現(xiàn)了某種“附加重力場(chǎng)”，該力場(chǎng)的合力自然作用于“重心”，即作用于質(zhì)心。因而慣性力系對(duì)于通過(guò)質(zhì)心的任一軸線的力矩當(dāng)然為零。異面力系：所有力的作用線不在同一平面內(nèi)?？傻刃樽饔糜谀骋稽c(diǎn)的一個(gè)力和一對(duì)力偶，其力偶矩等于各力對(duì)該點(diǎn)的力矩的矢量和。F1F2F3F3’F剛體力系簡(jiǎn)化原則：作用在剛體上的任何力系，最終可以等效為一個(gè)作用于剛體上某一點(diǎn)的力和一個(gè)力偶矩方向與之平行的力偶。共面力系：所有力的作用線位于同一平面。可分解為共點(diǎn)力系或平行力系處理。zOirifiFitFi3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)切向分量式為：Fit+fit=miait=miriβ切向分力與圓的半徑及轉(zhuǎn)軸三者互相垂直兩邊乘以ri,有：Fitri

+fitri

=miri2β外力矩內(nèi)力矩mifit轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)mi用牛頓第二定律：對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和：∑Fitri

+∑fitri

=∑miri2β一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零，所以有:∑Fitri

=（∑miri2）β令I(lǐng)＝∑miri2

，I為剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用M表示∑Fitri

（合外力矩）則有M＝I

βfijmjmifjirorjriOiZ剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的合外力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。幾點(diǎn)說(shuō)明：M＝Iβ與

地位相當(dāng)2）1）剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)組，所有質(zhì)點(diǎn)組的規(guī)律均適用于剛體。但由于剛體不形變的特點(diǎn)，在研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)可借用角量簡(jiǎn)化對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述。3）

m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，I反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素為剛體的質(zhì)量分布和軸的位置。4）

借助轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可討論剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量前，必須先明確定軸的位置。若質(zhì)量連續(xù)分布dm為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱質(zhì)元。其計(jì)算方法如下：質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布面分布體分布轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。RdmO例2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。lORrdr例3、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX前例中I

C表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，I

A表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距L/2。可見(jiàn)：推廣上述結(jié)論：若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，則有：I＝I

C＋md2。這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。1）平行軸定理平行軸定理證明

ABCdxmi=dmriiri對(duì)CA軸平行C軸（質(zhì)心軸）對(duì)A由圖

故：

——平行軸定理

定理表述：質(zhì)量平面分布的剛體，繞垂直于平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。2）垂直軸定理3）主軸慣量定理為剛體相對(duì)于三根相互垂直的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為任意軸與三根主軸的夾角的余弦定理表述：剛體相對(duì)于任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和方向余弦有如下關(guān)系：幾種常見(jiàn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的I右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、圓半徑為R）例4、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。mg類比法——質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)慣性轉(zhuǎn)動(dòng)慣性質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)角位移位移速度角速度角加速度加速度動(dòng)量角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)量的類比動(dòng)力學(xué)量的類比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)類比法——質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)規(guī)律的類比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)類比法——質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的重力勢(shì)能hhihcxOmCm一個(gè)質(zhì)元：整個(gè)剛體：一個(gè)不太大的剛體（重心相對(duì)位置不變）的重力勢(shì)能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能。轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能力矩的功力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體作的功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。稱為力矩的功。xOrvFPdrd功的另一種表示方法剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能變化的原因可以用力矩做功的效果來(lái)解釋。剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和為：將定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律兩邊乘以d再同時(shí)對(duì)積分有:合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。上式即為：這個(gè)結(jié)論稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之差剛體的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理1）剛體的角動(dòng)量剛體上的一個(gè)質(zhì)元,繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為：質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為：所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為：剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量L,等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I和角速度的乘積。2）剛體的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理為：A：微分形式：對(duì)質(zhì)點(diǎn)組討論:ZmjmifjirorjriOifij剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)組,在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中只考慮力矩和角動(dòng)量平行于轉(zhuǎn)軸的分量，設(shè)轉(zhuǎn)軸為z軸,取角動(dòng)量定理沿z軸的分量式有:在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可用標(biāo)量表示：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)質(zhì)是角動(dòng)量定理的沿固定軸方向的分量式的一種特殊形式。B:積分形式左邊為對(duì)某個(gè)固定軸的外力矩的作用在某段時(shí)間內(nèi)的積累效果，稱為沖量矩；右邊為剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的守恒定律動(dòng)量守恒對(duì)于含有剛體的系統(tǒng),如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受合外力為零,則此系統(tǒng)的動(dòng)量為恒矢量。動(dòng)量守恒的剛體，質(zhì)心速度不變。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的守恒定律機(jī)械能守恒對(duì)于含有剛體的系統(tǒng),如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有保守內(nèi)力作功,則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體機(jī)械能包括繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和勢(shì)能。而剛體的總動(dòng)能等于質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。例5、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求