第6章剛體力學

第6章剛體力學（1）提要剛體的性質剛體的力和力矩剛體的定軸運動剛體定軸轉動舉例1.剛體的性質剛體是一種特殊的質點系。剛體中各質點的相對位置始終不變——形變忽略不計剛體運動的描述剛體的運動方式分為：平動、轉動（繞定軸轉動、繞定點轉動）和滾動（平動＋轉動）轉動：剛體上所有質點都繞同一直線（轉軸）作圓周運動。剛體的一般運動可以分解為：基點的平動+繞基點的轉動。平動：1）自由剛體的自由度為6，非自由剛體的自由度小于6。2）對稱剛體的質心在對稱軸上，非對稱剛體可先設法分割為若干對稱剛體，再找其質心位置。3）剛體內力作功為零。4）剛體內力矩為零。剛體運動的性質：（自學并證明）由于剛體不形變的特點，使其具有下列力學特性：剛體運動的描述方法：通常以角量描述剛體的運動！（角位置θ、角速度ω

、角加速度β）為什么？1).角速度矢量2).角位置(是矢量還是標量？）請思考？但是······證明角速度的矢量性。第一步(合運動方向滿足矢量合成法則)

：證明合運動繞OC軸，即OC為定軸。Vo=Vc=0(C為OA和OB構成的平行四邊形的對角線上的頂點。)第二步：證明某點P繞OC軸運動的角速度為：一剛體同時參與兩種轉動，角速度分別為思路凡是矢量就應該服從平行四邊形合成法則，而平行四邊形法則服從交換率。請看下圖：應該怎樣思考如何解決這一矛盾？（請同學們展開討論）結論：當角位移為無窮小量時，為矢量，否則為標量。（可與路程對照）3).角加速度請根據(jù)角位置θ、角速度ω

、角加速度β一般關系導出勻角加速轉動的剛體的角運動方程。剛體角速度的絕對性：剛體轉動的角速度與基點的選擇無關。注意！證明剛體角速度的絕對性3.O2

相對O1

的運動的角速度隨O1

的平動+繞O1的轉動1.以O1為基點研究剛體運動的角速度：2.以O2

為基點研究剛體運動的角速度：4.結論：角量關系及角量和線量的關系、β本來是矢量，但是在定軸轉動中軸的方位不變，故只有沿軸的正負兩個方向，可以用標量代替。2.施于剛體的力系的簡化（自學）作用在剛體上的力是滑移矢量作用在剛體上的力不能隨便平移，但可以沿力的作用線滑動。幾種特殊力系共點力系：可以等效為一個力。

所有力的作用線（或其延長線）交于一點的力系稱為共點力系。顯然，這樣的力系可以等效為大小和方向等于諸力矢量和、作用點就是該交點的一個力，這就是合力。平行力系：當兩平行力同向等大或反向但大小不等時，可等效為一個力。（求重心）當其等大反向時，稱為力偶。(1)F1,F2同向，如圖6.5所示。(2)F1,F2反向，但大小不等。(3)F1,F2反向，且F1=﹣F2。

沒有合力，這一對平行力稱為力偶。容易驗證，該力偶對于垂直于該平面的任何軸線的力矩相同。（稱該力矩為力偶矩）

仍可用上法求合力。合力F=F1+F2與F1,F2平行，大小為F1,F2大小之差，方向與F1,F2中的較大者相同，但作用線發(fā)生了改變。討論：

求多個平行力的力系的合力，先求F1,F2的合力，再求該合力與F3的合力，等等。由上述可知，其結果或為一個合力，或為一個力偶矩。可用此法求若干n個質點的重心，即n個重力的合力。選取平動參考系統(tǒng)研究剛體時，剛體中各質點所受的慣性力系為平行力系，各力的大小正比于質量。這好象出現(xiàn)了某種“附加重力場”，該力場的合力自然作用于“重心”，即作用于質心。因而慣性力系對于通過質心的任一軸線的力矩當然為零。異面力系：所有力的作用線不在同一平面內?？傻刃樽饔糜谀骋稽c的一個力和一對力偶，其力偶矩等于各力對該點的力矩的矢量和。F1F2F3F3’F剛體力系簡化原則：作用在剛體上的任何力系，最終可以等效為一個作用于剛體上某一點的力和一個力偶矩方向與之平行的力偶。共面力系：所有力的作用線位于同一平面?？煞纸鉃楣颤c力系或平行力系處理。zOirifiFitFi3.剛體定軸轉動切向分量式為：Fit+fit=miait=miriβ切向分力與圓的半徑及轉軸三者互相垂直兩邊乘以ri,有：Fitri

+fitri

=miri2β外力矩內力矩mifit轉動定律對mi用牛頓第二定律：對所有質元的同樣的式子求和：∑Fitri

+∑fitri

=∑miri2β一對內力的力矩之和為零，所以有:∑Fitri

=（∑miri2）β令I＝∑miri2

，I為剛體對于轉軸的轉動慣量用M表示∑Fitri

（合外力矩）則有M＝I

βfijmjmifjirorjriOiZ剛體所受的對于某一固定轉動軸的合外力矩等于剛體對此轉軸的轉動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。幾點說明：M＝Iβ與

地位相當2）1）剛體是特殊的質點組，所有質點組的規(guī)律均適用于剛體。但由于剛體不形變的特點，在研究剛體轉動問題時可借用角量簡化對運動的描述。3）

m反映質點的平動慣性，I反映剛體的轉動慣性。與轉動慣量有關的因素為剛體的質量分布和軸的位置。4）

借助轉動慣量可討論剛體定軸轉動問題，計算轉動慣量前，必須先明確定軸的位置。若質量連續(xù)分布dm為質量元，簡稱質元。其計算方法如下：質量為線分布質量為面分布質量為體分布其中、、分別為質量的線密度、面密度和體密度。線分布面分布體分布轉動慣量的計算例1、求質量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。RdmO例2、求質量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。lORrdr例3、求長為L、質量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉動慣量。ABLXABL/2L/2CX前例中I

C表示相對通過質心的軸的轉動慣量，I

A表示相對通過棒端的軸的轉動慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結論：若有任一軸與過質心的軸平行，相距為d，剛體對其轉動慣量為I，則有：I＝I

C＋md2。這個結論稱為平行軸定理。1）平行軸定理平行軸定理證明

ABCdxmi=dmriiri對CA軸平行C軸（質心軸）對A由圖

故：

——平行軸定理

定理表述：質量平面分布的剛體，繞垂直于平面軸的轉動慣量等于平面內兩正交軸的轉動慣量之和。2）垂直軸定理3）主軸慣量定理為剛體相對于三根相互垂直的對稱軸的轉動慣量為任意軸與三根主軸的夾角的余弦定理表述：剛體相對于任意軸的轉動慣量與其主轉動慣量和方向余弦有如下關系：幾種常見剛體定軸轉動的I右圖所示剛體對經過棒端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算？(棒長為L、圓半徑為R）例4、一個質量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時的速度和此時滑輪的角速度。mg類比法——質點直線運動與剛體定軸轉動平動慣性轉動慣性質點直線運動角位移位移速度角速度角加速度加速度動量角動量剛體定軸轉動運動學量的類比動力學量的類比質點直線運動剛體定軸轉動類比法——質點平動與剛體定軸轉動力學規(guī)律的類比質點直線運動剛體定軸轉動類比法——質點平動與剛體定軸轉動剛體的重力勢能hhihcxOmCm一個質元：整個剛體：一個不太大的剛體（重心相對位置不變）的重力勢能相當于它的全部質量都集中在質心時所具有的勢能。轉動中的功和能力矩的功力矩對轉動物體作的功等于相應力矩和角位移的乘積。稱為力矩的功。xOrvFPdrd功的另一種表示方法剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能變化的原因可以用力矩做功的效果來解釋。剛體上所有質元的動能之和為：將定軸轉動的轉動定律兩邊乘以d再同時對積分有:合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛體所做的功等于剛體的轉動動能的增量。上式即為：這個結論稱為定軸轉動的動能定理。轉動動能之差剛體的角動量、角動量定理1）剛體的角動量剛體上的一個質元,繞固定軸做圓周運動角動量為：質點對點的角動量為：所以剛體繞此軸的角動量為：剛體對固定轉動軸的角動量L,等于它對該軸的轉動慣量I和角速度的乘積。2）剛體的角動量定理質點的角動量定理為：A：微分形式：對質點組討論:ZmjmifjirorjriOifij剛體是特殊的質點組,在定軸轉動中只考慮力矩和角動量平行于轉軸的分量，設轉軸為z軸,取角動量定理沿z軸的分量式有:在定軸轉動中，可用標量表示：剛體定軸轉動的轉動定律實質是角動量定理的沿固定軸方向的分量式的一種特殊形式。B:積分形式左邊為對某個固定軸的外力矩的作用在某段時間內的積累效果，稱為沖量矩；右邊為剛體對同一轉動軸的角動量的增量。剛體定軸轉動中的守恒定律動量守恒對于含有剛體的系統(tǒng),如果在運動過程中所受合外力為零,則此系統(tǒng)的動量為恒矢量。動量守恒的剛體，質心速度不變。剛體定軸轉動中的守恒定律機械能守恒對于含有剛體的系統(tǒng),如果在運動過程中只有保守內力作功,則此系統(tǒng)的機械能守恒。做定軸轉動的剛體機械能包括繞定軸的轉動動能和勢能。而剛體的總動能等于質心的平動動能與繞質心的轉動動能之和。例5、一個質量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求