小波變換課件雙正交小波

小波變換課件雙正交小波第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日正交小波的性質(zhì)對稱性（√），緊支撐（×）對稱性（×），緊支撐（√）對稱性（√），緊支撐（√）光滑性（×）→Harr小波緊支撐且線性相位(對稱性)？雙正交小波！第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.1濾波器的相位特性在線性系統(tǒng)理論中,濾波器的傳遞函數(shù)可表達為

為幅頻特性，為相頻特性。如果可以表示為

式中α和β為常數(shù)，那么稱為具有線性相位特性第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日輸出信號的相位特性，除了常數(shù)β外，與延時為α的輸入信號的相位特性完全一致hf(x)g(x)第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日當濾波器具有線性相位特性時,輸出信號將不產(chǎn)生相位畸變。這一點對圖像信號十分重要，因為視覺對于相位畸變非常敏感

線性相位，振幅畸變非線性相位，振幅無畸變?yōu)V波器如何具有線性相位特性？

第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日定理5.1

濾波器具有線性相位的必要與充分條件是它的脈沖響應函數(shù)具有如下關(guān)于的共軛對稱性：證明：必要性：

……

充分性：第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日推論5.1如果限定脈沖響應為實函數(shù)，那么由式(5.1.3)可知，這時必為實數(shù),即

所以實脈沖響函數(shù)具有線性相位的必要與充分條件是任何實值脈沖響應的數(shù)字濾波器具有線性相位的必充條件是第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日正交小波：緊支撐＋線性相位？定理5.2

緊支撐正交小波，除Haar小波之外，不可能是線性相位的。第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.2雙正交小波的基本性質(zhì)如果有兩對函數(shù)與，其中，尺度函數(shù)和分別生成MRA和MRA，而和則分別張成在下述意義上的補空間和：

并且它們之間還滿足如下正交關(guān)系：

那么這兩對函數(shù)稱為互為對偶的雙正交小波。第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.2.2雙正交小波的二尺度關(guān)系二尺度關(guān)系第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日令則雙正交基本條件若令則正交基本條件第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日緊支撐線性相位雙正交小波的和之間的長度關(guān)系定理5.3

序列{}，除之外，所有下標為偶數(shù)的元素取值為0。證明：利用雙正交基本條件第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

和的長度和之間的關(guān)系

（1）兩者長度均為奇數(shù)，并且長度相差２的奇數(shù)倍，因而兩者不可能等長。小波和是一對偶對稱雙正交小波。第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日（2）；兩者長度均為偶數(shù)，并且長度相差２的偶數(shù)倍，兩者等長是可能的。小波和是一對反對稱雙正交小波。第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日（3）L為奇數(shù),為偶數(shù)或為L偶數(shù),為奇數(shù)序列的終點下標和起點下標關(guān)于奇偶性出現(xiàn)矛盾，故此種情況不存在第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.3構(gòu)造雙正交小波的CDF方法Step1給定2M，根據(jù)下式計算Step2Step3當和均為偶數(shù)，當和均為奇數(shù)，Step4

②①①②第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日function[y,t]=biofilter1(n)t(1)=sym(1);%syms是定義符號變量；sym則是將字符或者數(shù)字轉(zhuǎn)換為字符。fori=1:nt(i+1)=t(i)*(n+1-i)/i;endfori=1:nt=t/2;endy=sym(0);symsz;n2=floor(n/2);%朝負無窮方式舍入fori=-n2:n-n2y=y+t(n2+i+1)*z^i;end第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日functiony=biofilter2(n,m)k=(n+m)/2;t(1)=sym(1);forp=2:kt(p)=sym(1);forj=1:p-1t(p)=t(p)*(k-1+p-1+1-j)/j;endendm0=sym(0);symsz;forj=1:km0=m0+t(j)*((z^(-1/2)-z^(1/2))/(2*i))^(2*(j-1));endifn/2==fix(n/2)%fix(n)的意義是取小于n的整數(shù)(是向零點舍入）

m0=m0*((z^(1/2)+z^(-1/2))/2)^m;elsem0=m0*z^(1/2)*((z^(1/2)+z^(-1/2))/2)^m;endy=collect(m0);%返回系數(shù)整理后的多項式

第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日>>biofilter2(2,4)ans=1/4/z+1/2+1/4*zans=3/128*z^4-3/64*z^3-1/8*z^2+19/64*z+45/64+19/64/z-1/8/z^2-3/64/z^3+3/128/z^4

>>biofilter2(4,2)

ans=1/16/z^2+1/4/z+3/8+1/4*z+1/16*z^2ans=3/32*z^3-3/8*z^2+5/32*z+5/4+5/32/z-3/8/z^2+3/32/z^3第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日>>biofilter2(3,3)ans=1/8/z+3/8+3/8*z+1/8*z^2ans=3/64*z^4-9/64*z^3-7/64*z^2+45/64*z+45/64-7/64/z-9/64/z^2+3/64/z^3第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日

>>biofilter2(1,5)ans=1/2+1/2*zans=3/256*z^5-3/256*z^4-11/128*z^3+11/128*z^2+1/2*z+1/2+11/128/z-11/128/z^2-3/256/z^3+3/256/z^4

>>biofilter2(5,1)ans=1/32/z^2+5/32/z+5/16+5/16*z+5/32*z^2+1/32*z^3ans=3/16*z^3-15/16*z^2+5/4*z+5/4-15/16/z+3/16/z^2

第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.4基于雙正交小波的分解與重構(gòu)任給重構(gòu)基分解基在雙正交小波情況下，信號的分解與重構(gòu)采用不同的基第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

(a)分解(b)重構(gòu)第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.5小波函數(shù)的消失矩性質(zhì)定義5.1當小波函數(shù)滿足如下條件時稱具有N階消失矩定理5.4具有N階消失矩，則以為其N重零點。推論5.2具有N階消失矩，則以為其N重零點。

第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.5.2小波函數(shù)的光滑性與消失矩的關(guān)系數(shù)學上用函數(shù)的頻譜在足夠大時的衰減快慢來刻畫的光滑程度定義5.2

如果存在盡可能大的正常數(shù)，使成立，則稱具有光滑指數(shù)，并記為越大，則表明衰減愈快，因而的頻域定域性愈好第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.6提升方案1994年WimSweldens提出了一種新的小波構(gòu)造方法——提升方案(liftingscheme)，也叫第二代小波變換(secondgenerationwavelettransform,SGWT)或[整數(shù)到]整數(shù)小波變換([integer-to-]integerwavelettransform,[IT]IWT)。第二代小波變換構(gòu)造方法的特點是：

1、繼承了第一代小波的多分辨率的特性；

2、不依賴傅立葉變換,直接在時域完成小波變換；

3、小波變換后的系數(shù)可以是整數(shù)；

4、圖象的恢復質(zhì)量與變換時邊界采用何種延拓方式無關(guān)。第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日定理5.6

對于一對給定的雙正交尺度函數(shù)和，其相應的二尺度系數(shù)序列為和，那么所有滿足如下條件的序列將與序列也滿足雙正交關(guān)系。式中是一個三角函數(shù)多項式。提升方案的基本公式第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日簡單的提升步驟：已知：任何一對雙正交尺度函數(shù)和(對應于和)，步驟：選擇合適的三角多項式并根據(jù)下式獲得新的和新的

用戶定制（custom_design)第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日從haar小波出發(fā)的提升已知：要求：提升后小波具有二階消失矩提升：依據(jù)定理5.4，提升后的小波所對應的在應具有二重零點，由此獲得三角多項式的具體表達式，并代入提升方案的基本公式即可。將Lazy小波提升到具有二階消失矩的過程與此相同第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日交替提升：第一次提升：（和不變）第二次提升：（和不變）

第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

Sweldens分解和重構(gòu)算法

1、分解算法推導第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日按照（）提升則對應的序列根據(jù)標準分解算法有（5.6.3）（4.1.5）第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日一次提升的分解步驟關(guān)于（提升和）：第一步：用和對輸入信號按標準算法作一次分解得

第二步：更新

第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日一次提升的分解步驟關(guān)于（提升和）第一步：用和對輸入信號按標準算法作一次分解得

第二步：更新

第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日交替提升的分解步驟第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2、重構(gòu)算法針對圖示的分解算法，推導其重構(gòu)過程第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日按照（5.6.4）提升則對應的序列根據(jù)標準重構(gòu)算法有（5.6.4）（4.2.4）第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日一次提升的重構(gòu)步驟第一步：計算