工程力學(xué)第六章桿件的應(yīng)力

工程力學(xué)第六章桿件的應(yīng)力1第一頁，共八十三頁，2022年，8月28日一點(diǎn)的應(yīng)力：當(dāng)面積趨于零時，平均應(yīng)力的大小和方向都將趨于一定極限，得到應(yīng)力的國際單位為Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）1MPa=106Pa1GPa=109Pa應(yīng)力總量P可以分解成:垂直于截面的分量σ－－正應(yīng)力平行于截面的分量τ－－切應(yīng)力應(yīng)力目錄平均應(yīng)力:某范圍內(nèi)單位面積上內(nèi)力的平均集度2第二頁，共八十三頁，2022年，8月28日s>0s<0t>0t<0正負(fù)號規(guī)定：正應(yīng)力拉為正，壓為負(fù)。切應(yīng)力順時針為正，逆時針為負(fù)3第三頁，共八十三頁，2022年，8月28日6-2應(yīng)變的概念(正應(yīng)變和切應(yīng)變),胡克定律正應(yīng)變：微體在某一方向上長度的改變量與原長度的比值的極限值稱為微體在此方向上的正應(yīng)變e。拉伸變細(xì)變長壓縮變短變粗4第四頁，共八十三頁，2022年，8月28日切應(yīng)變：當(dāng)微體的棱長發(fā)生改變時，相鄰棱邊之夾角一般也發(fā)生改變。微體相鄰棱邊所夾直角的改變量稱為切應(yīng)變g切應(yīng)變的單位為rad(弧度)5第五頁，共八十三頁，2022年，8月28日線應(yīng)變:平均線應(yīng)變：6第六頁，共八十三頁，2022年，8月28日角應(yīng)變7第七頁，共八十三頁，2022年，8月28日練習(xí)8第八頁，共八十三頁，2022年，8月28日一拉壓胡克定律實(shí)驗(yàn)表明，在比例極限范圍內(nèi)，正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比，即引入比例系數(shù)E，則胡克定律比例系數(shù)E稱為彈性模量9第九頁，共八十三頁，2022年，8月28日二剪切胡克定律在純剪狀態(tài)下，單元體相對兩側(cè)面將發(fā)生微小的相對錯動，原來互相垂直的兩個棱邊的夾角改變了一個微量。兩正交線段的直角改變量——剪應(yīng)變10第十頁，共八十三頁，2022年，8月28日薄壁圓筒的實(shí)驗(yàn),證實(shí)了剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在著象拉壓胡克定律類似的關(guān)系,即當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限τp時,剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比G稱為材料的剪切彈性模量。上式關(guān)系稱為剪切胡克定律。即：當(dāng)p時引入比例系數(shù)G，則11第十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日6-3拉壓桿的正應(yīng)力一拉壓桿橫截面上的應(yīng)力拉壓桿的平面假設(shè)：在軸向載荷作用下，變形后，橫截面仍保持平面，且仍與桿軸垂直，只是橫截面間沿桿軸作了相對平移。12第十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日PN如果桿的橫截面積為：A根據(jù)平面假設(shè)，我么可以得出結(jié)論，即橫截面上每一點(diǎn)存在相同的拉力在軸向載荷下，橫截面上正應(yīng)力計(jì)算式為：正應(yīng)力與軸力具有相同的正負(fù)符號，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。13第十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日例圖示矩形截面（b

h）桿，已知b=2cm，h=4cm，P1=20KN，P2=40KN，P3=60KN，求AB段和BC段的應(yīng)力ABCP1P2P314第十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日P1N1壓應(yīng)力P3N2壓應(yīng)力15第十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日例圖示為一懸臂吊車，BC為實(shí)心圓管，橫截面積A1=100mm2，AB為矩形截面，橫截面積A2=200mm2，假設(shè)起吊物重為Q=10KN，求各桿的應(yīng)力。ABC16第十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日首先計(jì)算各桿的內(nèi)力：需要分析B點(diǎn)的受力QF1F217第十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABCQF1F2BC桿的受力為拉力，大小等于F1AB桿的受力為壓力，大小等于F2由作用力和反作用力可知：最后可以計(jì)算的應(yīng)力：BC桿：AB桿：18第十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日

二圣維南原理當(dāng)作用在桿端的軸向外力，沿橫截面非均勻分布時，外力作用點(diǎn)附近各截面的應(yīng)力，也是非均勻分布的。但圣維南原理指出，力作用于桿端的分布方式，只影響桿端局部范圍的應(yīng)力分布，影響區(qū)的軸向范圍約離桿端1~2個桿的橫向尺寸。此原理已為大量試驗(yàn)與計(jì)算所證實(shí)。用與外力系靜力等效的合力代替原力系，除在原力系作用區(qū)域內(nèi)有明顯差別外，在離外力作用區(qū)域稍遠(yuǎn)處，上述代替影響非常微小，可以略而不計(jì)。19第十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日

三應(yīng)力集中

應(yīng)力集中：桿件外形突變，引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象由于結(jié)構(gòu)的需要，構(gòu)件的截面尺寸往往會突然變化，例如開孔、溝槽、肩臺和螺紋等，局部的應(yīng)力不再均勻分布而急劇增大1.應(yīng)力集中的概念20第二十頁，共八十三頁，2022年，8月28日應(yīng)力集中系數(shù)平均應(yīng)力

2應(yīng)力集中對構(gòu)件強(qiáng)度的影響對脆性材料而言，應(yīng)力集中現(xiàn)象將一直保持到最大局部應(yīng)力到達(dá)強(qiáng)度極限，故在設(shè)計(jì)脆性材料構(gòu)件時，應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響。對塑性材料而言，應(yīng)力集中對其在靜載作用下的強(qiáng)度幾乎沒有影響，故在研究塑性材料構(gòu)件的靜強(qiáng)度時，一般不考慮應(yīng)力集中的影響。21第二十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日交變應(yīng)力（或循環(huán)應(yīng)力）：隨時間循環(huán)變化的應(yīng)力在交變應(yīng)力作用下的構(gòu)件，雖然所受應(yīng)力小于材料的靜強(qiáng)度極限，但經(jīng)過應(yīng)力的多次重復(fù)后，構(gòu)件將產(chǎn)生可見裂紋或完全斷裂。疲勞破壞：在交變應(yīng)力作用下，構(gòu)件產(chǎn)生可見裂紋或完全斷裂的現(xiàn)象。應(yīng)力集中促使疲勞裂紋的形成與擴(kuò)展，對構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度影響很大22第二十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日6-4切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律一薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

平面假定

應(yīng)變分布

物性關(guān)系應(yīng)力分布

靜力方程應(yīng)力表達(dá)式試驗(yàn)觀察加載前畫橫向圓周線及縱向線23第二十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日TT

加載后：24第二十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日加載后現(xiàn)象：TT

1、各縱向線傾斜同角度2、各圓周線大小形狀間距不變25第二十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABCDABCDtt′

管壁扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形特征上述變形現(xiàn)象表明：微體ABCD既無軸向正應(yīng)變，也無橫向正應(yīng)變，只是相鄰橫截面ab與cd之間發(fā)生相對錯動，即產(chǎn)生剪切變形；而且，沿圓周方向所有的剪切變形相同。由于管壁很薄，故可近似認(rèn)為管的內(nèi)外變形相同，則可認(rèn)為僅存在的垂直于半徑方向的切應(yīng)力t沿圓周大小不變。26第二十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日剪應(yīng)力在截面上均勻分布，方向垂直于半徑與周線相切27第二十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日

根據(jù)精確的理論分析,當(dāng)t≤r/10時,上式的誤差不超過4.52%,是足夠精確的。28第二十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日二純剪切與切應(yīng)力應(yīng)力互等定理微元體單元體純剪切：單元體上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力。29第二十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日剪應(yīng)力互等定理:在相互垂直的兩個平面上,剪應(yīng)力一定成對出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時指向或背離兩平面的交線。30第三十頁，共八十三頁，2022年，8月28日6-5圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式 從三方面考慮：變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系

31第三十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日觀察到下列現(xiàn)象:(1)各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒有變化(2)縱向線仍近似為直線,但都傾斜了同一角度γ（3）表面方格變?yōu)榱庑巍?.變形幾何關(guān)系32第三十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。33第三十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日34第三十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日橫截面上距形心為的任一點(diǎn)處應(yīng)變在外表面上35第三十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日根據(jù)剪切胡克定律,當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時 剪應(yīng)力方向垂直于半徑2.物理關(guān)系36第三十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日3.靜力學(xué)關(guān)系—截面的極慣性矩37第三十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日于是再由物理關(guān)系得二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力當(dāng)＝max時，＝max抗扭截面系數(shù)38第三十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日39第三十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日6-6極慣性矩和抗扭截面系數(shù)一、實(shí)心圓截面40第四十頁，共八十三頁，2022年，8月28日二、空心圓截面=d/D41第四十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;

d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各軸橫截面上的最大剪應(yīng)力。42第四十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日N1=14kW,N2=N3=N1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=1203612=360r/minT1=1114N.mT2=557N.mT3=185.7N.mmax(C)==21.98MPaT3Wp3max(H)==22.69MPaT2Wp2max(E)=T1Wp1=16.54MPa43第四十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日一、概述：當(dāng)梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩M，又有剪力Q。只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素dN=dA才能合成彎矩只有與剪應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dQ=dA才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力§11-1引言QM44第四十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日彎曲切應(yīng)力：梁彎曲時橫截面上的切應(yīng)力彎曲正應(yīng)力：梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力基本變形：拉壓；扭轉(zhuǎn)；彎曲組合變形：對稱彎曲：梁至少有一個縱向?qū)ΨQ面，且外力作用在對稱面內(nèi)，此時變形對稱于縱向?qū)ΨQ面，在這種情況下的變形形式稱為對稱彎曲。45第四十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日§11-2對稱彎曲正應(yīng)力一基本假設(shè)用較易變形的材料制成的矩形截面等直梁作純彎曲試驗(yàn):純彎曲：梁橫截面上只有彎矩而無剪力時的彎曲。46第四十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日觀察到以下變形現(xiàn)象:(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(2)mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)?弧線的aa，bb垂直(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長。梁的平面假設(shè)：梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度。47第四十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。由平面假設(shè)得到的推論：梁在彎曲變形時，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸48第四十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日中性軸中性層中性層49第四十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日二彎曲正應(yīng)力一般公式從三方面考慮：變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系1變形幾何關(guān)系中性軸50第五十頁，共八十三頁，2022年，8月28日由于距中性層等遠(yuǎn)各“纖維”的變形相同，所以，上述正應(yīng)變e即代表縱坐標(biāo)y的任一“纖維”的正應(yīng)變該式說明，和y成正比,而與z無關(guān)。因而，與這些縱向線段沿

z軸的位置無關(guān)。51第五十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日2物理關(guān)系正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比，中性層上的正應(yīng)力為零上式只能用于定性分析，而不能用于定量計(jì)算：1）由于中性軸z的位置未確定，故y無法標(biāo)定；2）式中未知，（若已知M，與M有何關(guān)系？）52第五十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日將梁的軸線取為x軸，橫截面的對稱軸取為

y軸，中性軸取為

z軸。OxyZ3靜力學(xué)關(guān)系53第五十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日在橫截面上法向內(nèi)力元素dA

構(gòu)成了空間平行力系。因此，只可能組成三個內(nèi)力分量通過截面法，根據(jù)梁上只有外力偶m這一條件可知，上式中的

N

和My均等于零，而Mz就是橫截面上的彎矩M。54第五十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日截面幾何參數(shù)的定義，可得將正應(yīng)力代入以上三個條件，并根據(jù)有關(guān)的55第五十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日這就確定了中性軸的位置。即過形心與y軸垂直。ZCZ中性軸C橫截面對Z軸的靜矩56第五十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日中性軸將橫截面分為受拉和受壓兩部分。因?yàn)閥是對稱軸，所以該式自動滿足截面對yz軸的慣性積57第五十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日由式可得EIz稱為抗彎剛度將上式代入得截面對z軸的慣性矩58第五十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日中性軸過截面形心中性層的曲率公式：正應(yīng)力計(jì)算公式：：梁截面的彎曲剛度，簡稱彎曲剛度M橫截面上的彎矩橫截面對中性軸的慣性矩y求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離式中：59第五十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日橫截面上某點(diǎn)正應(yīng)力該點(diǎn)到中性軸距離該截面彎矩該截面慣性矩60第六十頁，共八十三頁，2022年，8月28日當(dāng)梁上有橫向力作用時，橫截面上既又彎矩又有剪力。梁在此

剪應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲。橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力。橫力彎曲時，梁的橫截面上既又正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力。純彎曲時所作的平面假設(shè)和各縱向線段間互不擠壓的假設(shè)都不成立。但工程中常用的梁，純彎曲時的正應(yīng)力計(jì)算公式可以精確的計(jì)算橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力。等直梁橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力公式為種情況下的彎曲稱為橫力彎曲。61第六十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日橫截面上的最大正應(yīng)力：當(dāng)中性軸是橫截面的對稱軸時：三最大彎曲正應(yīng)力62第六十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日稱為抗彎截面系數(shù)，僅與截面的形狀和尺寸有關(guān)公式適用條件：1）符合平面彎曲條件（平面假設(shè)，橫截面具有一根對稱軸）2）p(材料服從虎克定律）63第六十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日1）沿y軸線性分布，同一坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零。2）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個區(qū)域。3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處。64第六十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日梁的彎矩圖如圖b所示，由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大，其值為

例11-1圖a所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長l=1m，均布載荷集度q=6kN/m；梁由10號槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。（1）作彎矩圖，求最大彎矩65第六十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日

因危險截面上的彎矩為負(fù)，故截面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為（2）求最大應(yīng)力66第六十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日§11-3慣性矩與平行軸定理同理:一簡單截面的慣性矩1矩形：67第六十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日2圓及圓環(huán)Zy0ydy(實(shí)際：68第六十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日圓環(huán)：yxDd69第六十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日70第七十頁，共八十三頁，2022年，8月28日11-4對稱彎曲切應(yīng)力一、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力圖所示一矩形截面梁P1P2q(x)mmnnxdx用橫截面

m—m,n—n從梁中截取dx一段。兩橫截面上的彎矩不等

。所以兩截面同一y處的正應(yīng)力也不等。mmnnQQMM+dMdxmmnndx（1）推導(dǎo)公式的思路受任意橫向荷載作用。71第七十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日（2）兩個假設(shè)橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)處剪應(yīng)力大小相等。各點(diǎn)的剪應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?。?）公式推導(dǎo)假設(shè)m—m,n—n上的彎矩為M和M+dM。兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為和72第七十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日mbbmb1a1adx(1)取圖示分離體，進(jìn)行受力分析ydcd'c'zy'1dAy1BAB'A'nmm1dxdQFN1FN2A*73第七十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日（2）公式推導(dǎo)假設(shè)m-m,n-n上的彎矩為M和M+dM。兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為1和2ABB1A1mnxzyyAdAy174第七十四頁，共八十三頁