工程測量第五章 測量誤差的基本知識

工程測量第五章測量誤差的基本知識第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日測量實踐中可以發(fā)現(xiàn)，測量結果不可避免的存在誤差，比如：1、對同一量多次觀測，其觀測值不相同。2、觀測值之和不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準∑h≠0第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、測量誤差的來源等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。1.儀器誤差2.觀測誤差3.外界條件的影響觀測條件粗差：因讀錯、記錯、測錯造成的錯誤。第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、測量誤差的分類在相同的觀測條件下，無論在個體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負號保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。1、系統(tǒng)誤差—

誤差的大小、符號相同或按一定的規(guī)律變化。第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日

例：鋼尺—尺長、溫度、傾斜改正水準儀—

i角經(jīng)緯儀—

c角、i角

注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對測量成果影響較大。消除和削弱的方法:

（1）校正儀器；（2）觀測值加改正數(shù)；（3）采用一定的觀測方法加以抵消或削弱。第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

在相同的觀測條件下，對某個固定量作一系列的觀測，如果觀測結果的差異在正負號及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。2、偶然誤差第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日偶然誤差的特性真誤差觀測值與理論值之差第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日③絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會相等，可相互抵消；④同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數(shù)的增加而趨近于零，即：

①在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度;（有界性）②絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日根據(jù)偶然誤差的四個特性推導出誤差概率分布曲線的方程式為：有偶然誤差統(tǒng)計結果可以用較直觀的頻率直方圖來表示：Y頻率組距OΔ閉合差-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.51.01.52.02.53.0第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日誤差處理的原則：1、粗差：舍棄含有粗差的觀測值，并重新進行觀測。2、系統(tǒng)誤差：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱。3、偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測數(shù)據(jù)減少其影響。返回第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日精度：又稱精密度，指在對某量進行多次觀測中，各觀測值之間的離散程度。評定精度的標準中誤差容許誤差相對誤差第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、中誤差

定義在相同條件下，對某量（真值為X）進行n次獨立觀測，觀測值l1，l2，……，ln，偶然誤差（真誤差）Δ1，Δ2，……，Δn，則中誤差m的定義為：式中第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日式中：例：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計算各組觀測值的中誤差。第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日解：第一組觀測值的中誤差：第二組觀測值的中誤差：，說明第一組的精度高于第二組的精度。說明：中誤差越小，觀測精度越高第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日

定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差（極限誤差）從統(tǒng)計意義上來講，中誤差與真誤差之間有一定的聯(lián)系。真誤差落在區(qū)間內的概率：第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

測量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：

區(qū)別誤差和錯誤的界限。同理：第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日偶然誤差的絕對值大于中誤差9?的有14個，占總數(shù)的35%，絕對值大于兩倍中誤差18?的只有一個，占總數(shù)的2.5%，而絕對值大于三倍中誤差的沒有出現(xiàn)。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對誤差。第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日

相對誤差K是中誤差的絕對值m與相應觀測值D之比，通常以分母為1的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即:三、相對誤差

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日[例]

已知：D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：返回第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日

概念

誤差傳播定律：闡述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)中誤差的關系的定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日設非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨立觀測值；為獨立觀測值的中誤差。求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函數(shù)第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日式中：是函數(shù)F對的偏導數(shù)，當函數(shù)式與觀測值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：誤差傳播定律的一般形式第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日[例]已知：測量斜邊D′=50.00±0.05m，測得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離D解：1.函數(shù)式2.全微分3.求中誤差

第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、線性函數(shù)的誤差傳播定律設線性函數(shù)為：式中為獨立的直接觀測值，為常數(shù)，相應的觀測值的中誤差為。

第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日

1.列出觀測值函數(shù)的表達式：2.對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關系式：式中，是用觀測值代入求得的值。求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：三、運用誤差傳播定律的步驟第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

3、根據(jù)誤差傳播率計算觀測值函數(shù)中誤差：

注意：在誤差傳播定律的推導過程中，要求觀測值必須是獨立觀測值。第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日誤差傳播定的幾個主要公式：函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)返回第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日

設在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次，觀測值為l1、l2……ln，中誤差為m1、m2

…mn，則其算術平均值（最或然值、似真值）L為：一、求最或是值L第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日

設未知量的真值為x，可寫出觀測值的真誤差公式為（i=1，2，…，n）將上式相加得

或故

推導過程：第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日由偶然誤差第四特性知道，當觀測次數(shù)無限增多時，即（算術平均值）說明，n趨近無窮大時，算術平均值即為真值。第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日

因為

式中，1／n為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設其中誤差均為m。設平均值的中誤差為mL，則有

二、算術平均值中誤差mL第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日由此可知，算術平均值的中誤差為觀測值的中誤差的倍。

故第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、精度評定

第一公式

第二公式

（白塞爾公式）條件：觀測值真值x已知條件：觀測值真值x未知，算術平均值L已知其中

—觀測值改正數(shù)，第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日證明：（i=1，2，3，…，n）兩式相加，有即解：（i=1，2，3，…，n）設則第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日將上列等式兩端各自平方，并求其和，則將代入上式，則故（P≠Q）