第一講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

高二數(shù)學(xué)寒假銜接天津新東方郭保桐

2013.2.15新東方高中數(shù)學(xué)部主講教師郭保桐

教師簡(jiǎn)介：●南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院學(xué)士、碩士；●初中就讀于耀華中學(xué)理科實(shí)驗(yàn)班，并獲全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)（預(yù)賽滿分）；●高中就讀于南開(kāi)中學(xué)理科實(shí)驗(yàn)班，并獲全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二等獎(jiǎng)（與一等獎(jiǎng)差5分），全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽二等獎(jiǎng)，高考物理滿分；●高考以655分的成績(jī)考入南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)系（為該系在津招生第一名）并以?xún)?yōu)異成績(jī)免試攻讀碩士研究生。第一講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入知識(shí)回顧對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根．我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問(wèn)題能得到圓滿解決呢？

解決這一問(wèn)題，其本質(zhì)就是解決一個(gè)什么問(wèn)題呢？一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念自然數(shù)有理數(shù)整數(shù)無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充引入一個(gè)新數(shù)，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：（1）它的平方等于-1，即（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立．一、復(fù)數(shù)的概念根據(jù)對(duì)虛數(shù)單位i的運(yùn)算規(guī)定易知：形如的數(shù)，叫做復(fù)數(shù)．全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示.NZQRCNZQRC復(fù)數(shù)的表示：通常用字母z表示，即當(dāng)時(shí)，z是實(shí)數(shù)a．當(dāng)時(shí)，z

叫做虛數(shù)．實(shí)部虛部復(fù)數(shù)當(dāng)

且時(shí)，叫做純虛數(shù)．復(fù)數(shù)集C實(shí)數(shù)集R虛數(shù)集I例1：實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解：（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當(dāng)，且，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．即如果，那么例2：已知，其中，求解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組所以

從復(fù)數(shù)相等的定義，我們知道，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi，都可以由一個(gè)有序的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)唯一確定；同時(shí)，有序的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。因此我們可以建立復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間的一一對(duì)應(yīng)。xy0Z(a,b)abz=a+bi

建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面——復(fù)平面x軸——實(shí)軸y軸——虛軸復(fù)數(shù)z=a+bi?復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一確定的點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面上的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一確定的復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。即復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)所組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的。xy0abz=a+bi例3：實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1）位于第一象限？（2）位于第四象限？1.復(fù)數(shù)加、減法的運(yùn)算法則：已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是實(shí)數(shù)）即:兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減).(1)加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)減法法則：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算注：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).例1、計(jì)算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)2.復(fù)數(shù)的乘法法則：注：復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律即對(duì)于任何z1,z2,z3∈C,有例2.計(jì)算(－2－i)(3－2i)(－1+3i)3.復(fù)數(shù)的除法法則分母實(shí)數(shù)化例3.計(jì)算解:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),那么定義:實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)記作不難證明:設(shè)z1=a+bi

z2=c+di,則z1+z2=(a+c)+(b+d)ixOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義類(lèi)似地,復(fù)數(shù)減法:Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZOZ1-OZ2這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義習(xí)題課1.已知方程x2-2x+2=0有兩虛根為x1,x2,求x14+x24的值.解:注:在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根與系數(shù)的關(guān)系仍適用.2.已知復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)，求x的值．

解：因?yàn)?/p>